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3个补充知识

发布时间:2013-12-29 12:01:17  

补充1 状态方程
状态变量:是电路的一组独立的动态变量。

u

C

和 i L 就是电路的状态变量。

对状态变量列出的一阶微分方程称为状态方程。
R
L

du du LC ? RC ?u ?u dt dt
C C 2 C

2

il
S

+

us

C -

uC

如果以

u
C

C


L

i

L

作为变量列上述方程
R

du C ?i dt
L S

L

di L ? u ? Ri ? u dt
L

il us

+

C

C -

uC

du 1 ?0? i ?0 dt C
C L

di 1 R 1 ?? u ? i ? u dt L L L
L C L

S

如果用矩阵形式列写方程,则

du 1 ?0? i ?0 dt C
C L

di 1 R 1 ?? u ? i ? u dt L L L
L C L

S

? du ? dt ? ? di ? dt ?
L

C

? ? 0 ? ? ??? ? ?? 1 ? ? L ? ?

? ?0 ? ? ?u ? ? ? ? ? ? 1 ??u R ? ?i ? ? ? ? ?L? ? L? 1 C
c L

S

?

? X

A

? X ? AX ? BV

状态 向量

B

输入 向量v

X

结论:
1 若某电路具有n个状态变量 ,m个独立电源,上述

? X和X 为n阶列向量,A为
V为m阶列向量, B为

n?n

方阵,

n?m



2

du 要列出包括 项的方程,必须对只接有 dt
c

一个电容的结点或割集写出KCL方程即可。
3

di 要列出包括 项的方程,必须对只包含 dt
L

一个电感的回路列写KVL方程即可。

例:如图, 对单电容树支列KCL
uC

du C ? ?i ? i dt
C 1

2

L2
+

R1

-

i2
L1

iS
2

对单电 感连支 列KVL
1 1

+
us

1

R2

1 1 2

i1

di L ? ?R i ? i ) ? u ? u ( dt di L ? ?R i ? i ) ? u ? u ? R i ? i ) ( ( dt
C S 2 2 1 1 2 C S 2 S 2

di du L ? ?R i ? i ) ? u ? u ( C ? ?i ? i dt dt
C
1

1

2

1

1

1

2

C

S

di L ? ?R i ? i ) ? u ? u ? R i ? i ) ( ( dt
2 2 1 1 2 C S 2 S 2

? du ? dt ? ? di ? dt ? di ? ? dt
1 2

C

? ? ?0 ? ? ? ???1 ? ?L ? ? ? ?1 ? ?L ?

1

1 ? C R ? L
1 1

2

R ? L

1

2

? ? ? ?u ?? ? ?i ? ?i ? R ?R ? ? ? L ? 1 ? C R ? L
1 1 1 1 2 2 2

c

? ?0 ? ? ???1 ? ?L ? ? ? ?1 ?L ?

0 0 R ? L
2

1

2

2

? ? ? ? ?u ? ? ?i ? ?? ? ? ? ?
S S

补充2 拉普拉斯变换及其应用
2-1 拉普拉斯变换的定义
2-2 拉普拉斯变换的基本性质 2-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 2-4 运算电路

2-5 应用拉普拉斯变换分析线性电路

内容提要
重点介绍拉普拉斯变换在线性电路分析中的
应用。主要内容有:拉普拉斯变换与电路分

析有关的基本性质,求拉普拉斯反变换的部分
分式法(分解定理),KCL和KVL定律、运算阻 抗、运算导纳的运算形式和运算电路,并通过 实例说明它们在电路分析中的作用。

2.1 拉普拉斯变换的定义
一、 拉氏变换的定义

时域
复频域

f(t)
F(s)

称为 原函数
称为 象函数

1. 双边拉氏变换
? F ( s ) ? ?? f ( t )e ? st dt 正变换 ??? ? ? ? 1 ? ? j? F ( s

)e st ds 反 变 换 ? f (t ) ? ? 2?j ?? ? j? ?

s ? ? ? j?
复频率

f(t)与F(s)一 一对应

2. 单边拉氏变换
? F ( s ) ? ? f ( t )e ? st dt 正变换 ?0 ? ? ? 1 ? ? j? F ( s )e st ds t ? 0 反 变 换 ? f (t ) ? ? 2?j ?? ? j? ?
积分下限从0? 开始,称为0? 拉氏变换 。
积分下限从0+ 开始,称为0+ 拉氏变换 。

F ( s ) ? ? ? f ( t )e ? st dt
0

?

? ? ? f ( t )e dt ? ? ? f ( t )e dt
? st ? st 0 0

0?

?

f(t)=?(t)时此项 ? 0

? F ( s ) ? ? f ( t )e ? st dt 正 变 换 ?0? ? F ( s ) ? L? f ( t )? ? ? 简写 ? ? 1 ? ? j? st f ( t ) ? L?1 ?F ( s )? ? f (t ) ? ? ?? ? j? F ( s)e ds t ? 0 反 变 换 ? 2?j ?

F(s)称为f(t )的象函数,用大写字母表示 ,

如 I(s)、U(s)。 f(t )为原函数,用小写字母表示,如 i(t ), u(t )。 二、 常用函数的拉氏变换

1.

f (t ) ? ? (t )
?

F ( S ) ? ? ? f ( t )e ? st dt
0
?

??

1 ? st L[? ( t )] ? ? ? ? ( t )e ? st dt ? ?0? e dt ? ? s e 0
? st

?

0?

1 ? s

2. f (t ) ? e ?at ? (t )

L[e

? at

] ? ? ? e e dt
? at ? st 0

?

1 ?( s ? a )t ?? e s?a

?

0

L[e
3.

j? t

f (t ) ? ? (t )

1 ]? s ? j?
0?
?

1 ? s?a

? L[? ( t )] ? ?0? ? ( t )e ? st dt ? ?0 ? (t )dt = 1

f (t ) ? t n n ? t ? n n ? st ? ?? de ? st L[t ] ? ? t e dt 0 s 0 4.
t n ? st ?? e s
tn lim e st ? 0 t ??
?

? udv ? uv ? ? vdu

0

??

?

0

e ? st n n ? n?1 ? st dt ? ? t e dt s 0 s

n n ?1 L[t ] ? L[t ] s
n

1 当n=1 L[t ] ? 2 s 2 2 当n=2 L[t ] ? 3 s n! n L[t ] ? n?1 s

例: 求以下函数的象函数。 (1)单位阶跃函数; (2)单位冲激函数; (3)指数函数。
解:(1)单位阶跃函数的象函数为
f (t ) ? ? (t )
1 F ( S ) ? L[ f (t )] ? ? ? ? (t )e dt ? 0 s
? st ?

(2)单位冲激函数的象函数为
f (t ) ? ? (t )

F ( S ) ? L[ f (t )] ? ? ? ? (t )e ? st dt ? 1
0

?

(3)指数函数的象函数为

f (t ) ? e?t (?为实数)

F ( S ) ? L[ f (t )] ?

?

?
?

0

e e

?t

? st

dt 1 ? s ??

1 ? ( s ?? ) t ? e ? (s ? ? )
此题求的象函数的结

? 0?

切记

论均可当作公式来用。

2.2 拉普拉斯变换的性质
一、线性性质 若L[ f1 (t )] ? F1 ( s) , L[ f 2 (t )] ? F2 ( s)

则 L[a f1 (t ) ? b f 2 (t )] ? aF1 ( s) ? bF2 ( s)
K 例1: [ K ] ? L S
例2: [ K (1 ? e L
??t

1 1 )] ? K ( ? ) s s ??

1 j?t ? j?t )] 例3: [sin t ] ? L[ (e ? e L ? 2j
1 1 1 ? ? [ ? ] ? 2 2 j S ? j? S ? j? S ??2

二、 微分(导数)性质
设:L[ f (t )] ? F ( s)

df (t ) L[ ] ? sF ( s) ? f (0 ? ) dt

1 d 例1:L[cos? t

] ? L[ (sin? t )] ? dt
? ? [s 2 ? sin?t 2 ? s ??
1
0?

s ] ? 2 2 s ??

1 d 例2:L[? ( t )] ? L[ ? ( t )] ? S ? ? ? ( t ) 0? ? 1 S dt

三、积分性质

设:L[ f (t )] ? F ( s)

L[ ? ?
t 0

1 f (? )d? ] ? F ( s ) s
t
?

L[? ( t )] 1 ? 2 例 L[t ] ? L[?0 ? (? )d? ] ? s s

四、 延迟性质
f(t)?(t) f(t-t0)?(t-t0) f(t)?(t-t0)

t t0

t
t0

t

设:L[ f (t )] ? F ( s)

L[ f (t ? t0 )? (t ? t0 )] ? e
与书上略有不同。

? st0

F ( s)

要理 解

例1: f(t)
1

f (t ) ? ? (t ) ? ? (t ? T )
T t

1 1 ? sT F ( s) ? ? e s s

五、复频域平移性质

设:L[ f (t )] ? F ( s)

L[e

??t

f ( t )] ? F ( s ? ? )
??t

例1:L[te

1 ] ? ( s ? ? )2

? 例2:L[e sin?t ] ? ( s ? ? )2 ? ? 2 s ?? ??t 例3:L[e cos?t ] ? ( s ? ? )2 ? ? 2
??t

P294:要熟记表13-1。

2.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开法
一、由象函数求原函数
f(t)=L-1[F(s)]

1 ? ? j? F ( s )e st ds t ? 0 太繁 (1)利用公式 f ( t ) ? 2?j ?? ? j?
(2)经数学处理后查拉普拉斯变换表 有限

F ( s ) ? F1 ( s )? F2 ( s ) ? ? ? ? ? Fn ( s )
f ( t ) ? f1 ( t ) ? f 2 ( t ) ? ? ? ? ? f n ( t )

(3)将F(s)进行部分分式展开

以下重点介绍

典型信号的拉氏变换(1)

典型信号的拉氏变换(2)

二、 将F(s)进行部分分式展开
象函数的一般形式:
N ( s) a0 s m ? a1s m?1 ? ? ? ? ? am F ( s) ? ? D(s) b0 s n ? b1s n?1 ? ? ? ? ? bn (n ? m)

把F(s)分解为若干简单项之和,而这些简单项 可以在拉氏变换表中查到,这种方法称为部分分式 展开法,或称分解定理。 用部分分式展开F(s)时,需要把有理式化为真 分式。若n>m时,F(s)为真分式。若n=m时,则
N 0 ( s) N ( s) F ( s) ? ? A0 ? D( s ) D( s )

反变换为A0δ(t)

用部分分式展开真分式时,需要对分母多项式 进行分解,求出D(s)=0时的根。 D(s)=0的根 可以是单根、共轭根和重根几种情况。

1. D(s) ? 0的根为不等实根 s1 , ,sn ?
( s ? s1 )

F ( s) ?

( s ? s1 ) ( s ? s1 ) k k
1

s ? s1

?

2

s ? s2

? ??? ?

( s ? s1 ) k

n

s ? sn
N ( s)(s ? si ) ki ? lim s ? si D( s )

k1 ? ( s ? s1 )F ( s ) s ? s1

k 2 ? ( s ? s2 ) F ( s ) s ? s2

k n ? ( s ? sn ) F ( s ) s ? sn

?

f (t ) ? ? ki e
i ?1

n

si t

ki也可用分解定理求

N ( s)(s ? si ) ki ? lim s ? si D( s )
'

罗比塔法则

N ( si ) N (s)(s ? si ) ? N ( s) ? ' ? lim ' s ?si D ( si ) D ( s)

N ( si ) ki ? ' D ( si )

N ( si ) sit f (t ) ? ? ' e i ?1 D ( si )

n



? s2 ? s ? 5 F ( s) ? s( s 2 ? 3s ? 2)
? s2 ? s ? 5 ? s( s ? 1)(s ? 2)

K3 k1 k2 ? ? ? s s?1 s? 2
F1 ( s )(s ? si ) ki ? lim s ?

si F2 ( s )

k1 ? F ( s)s

S ?0

? 2.5

k2 ? F ( s)(s ? 1) S ??1 ? ?5 k3 ? F ( s)(s ? 2) S ??2 ? 1.5

f (t ) ? 2.5 ? 5e ? 1.5e

?t

?2 t

t?0



4s ? 5 F ( s) ? 2 s ? 5s ? 6
'

用分解定理求原函数

s1 ? ?2 s2 ? ?3

D ( s ) ? 2s ? 5

N ( si ) ki ? ' D ( si )

N (?2) ?2t N (?3) ?3t f (t ) ? ' e ? ' e ? ?3e ?2t ? 7e ?3t , t ? 0 D (?2) D (?3)

变为真函数

2s 2 ? 7 s ? 7 F ( s) ? 2 s ? 3s ? 2
s?3 ? 2? ( s ? 1)(s ? 2)

2 ?1 ? 2? ? s?1 s? 2

f (t ) ? 2? (t ) ? 2e?t ? e?2t , t ? 0

2. D(S ) ? 0有共轭复根
S1, 2 ? ? ? ? j?
k1 k2 F ( s) ? ? s ? ? ? j? s ? ? ? j?

设k1 ? k ?? ? k e
f (t ) ? ( k e e
? ke
??t

k1,k2也是一对共轭复根 j? 2
j? ? (? ? j? ) t
j (?t ?? )

k ? k ? ??
? j?

? ke
?e

e

? (? ? j? ) t

)
欧拉 公式

[e

? j (?t ?? )

]

? 2k e

??t

cos( t ? ? ) ?



s F ( s) ? 2 s ? 2s ? 5

f (t ) ? 2 k e

??t

cos(?t ?? )

s1 ? ?1 ? j 2
s k1 ? 2s ? 2
s k2 ? 2s ? 2
S ? ?1? j 2

s2 ? ?1 ? j 2

? ? 1, ? ? 2

? 1 ? j2 1 1 ? ? ? j ? 0.559?26.6? ? 2 ? j4 ? 2 2 4

S ? ?1? j 2

? 1 ? j2 1 1 ? ? ? j ? 0.559? ? 26.6? ? 2 ? j4 ? 2 2 4

f (t ) ? 2 ? 0.559e ? t cos(2t ? 26.6? )

? 1.12e cos(2t ? 26.6 ) t ? 0)
?

?t

3.F2 ( S )有相等的实根(重根)
N ( s) k12 k11 F ( s) ? ? ? 2 2 ( s ? s1 ) s ? s1 ( s ? s1 )
F (s)(s ? s1 ) ? k12 (s ? s1 ) ? k11
2

k11 ? [( s ? s1 ) F ( s )] S ? S1
2

k12

d 2 ? [( s ? s1 ) F ( s )] ds

S ? S1



K12 K11 2s ? 5 ? ? F ( s) ? 2 ( S ? 1) ( S ? 1) 2 ( s ? 1)
d K12 ? (2 s ? 5) S ? ?1 ? 2 ds
?t

K11 ? (2S ? 5) S ??1 ? 3
?t

f (t ) ? 2e ? 3te

2

t?0

s ? 2s ? 2 F ( s) ? 3 ( s ? 2) K13 K12 K11 ? ? ? 2 ( s ? 2) ( s ? 2) ( s ? 2)3

s 2 ? 2s ? 4 K11 ? ( s ? 2)3 ( s ? 2)3

S ? ?2

?2

d s 2 ? 2s ? 2 3 K12 ? [ (s ? 2) ] S ??2 ? (2s ? 2) s ??2 ? ?2 3 ds (s ? 2)

1 d (s ? 2s ? 2) K13 ? ? 2 [ ( s ? 1)3 ] S ??2 ? 1 2 ds ( s ? 1)3
2 2

1 ?2 2 F ( s) ? ? ? 2 3 ( s ? 2) ( s ? 2) ( s ? 2)

f (t ) ? e

?2 t

? 2te

?2 t

?t e

2 ?2 t

t?0

一般地:

a0 s ? a1 s ? ? ? ? ? am F(S) ? n ( s ? s1 )
m

m ?1

k1n k1n?1 k12 k11 F ( s) ? ? ? ??? ? ? 2 n ?1 s ? s1 ( s ? s1 ) ( s ? s1 ) ( s ? s1 ) n

k11 ? [( s ? s1 ) F ( s )] S ? S1
n
2

d k12 ? [( s ? s1 ) n F ( s )] S ? S1 ds

1 d k13 ? ? 2 [(s ? s1 ) n F ( s)] S ? S1 2! ds
1 d n?1 n k1n ? ? n?1 [(s ? s1 ) F ( s)] S ? S1 (n ? 1)! ds

2.4 运算电路
? i?I ? u?U
类似地
相量形式KCL、KVL 相量形式 电路模



? ? U ? Z I 元件 ? 复阻抗、复导纳
u( t ) ? U ( s ) i (t ) ? I ( s)

运算形式KCL、KVL

U ( s) ? Z ( s) I ( s)

元件 ? 运算阻抗、 运算导纳

运算形式 电路模型

一、 电路元件的运算形式

R:

i R + u I(s) R

u=Ri
U ( s ) ? RI ( s )

+ U(s) -

I ( s ) ? GU ( s )

L:

iL L

df ( t ) L[ ] ? sF ( s ) ? f (0? ) dt
-

+
IL(s) sL

uL

LiL (0? )
UL(s) sL -

diL uL ? L dt
U L ( s ) ? L( sI L ( s ) ? i L (0 ? )) ? sLI L ( s ) ? Li L (0 ? )
U L ( s ) i L (0 ? ) I L ( s) ? ? sL s

+

i L (0? ) / s
IL(s )

+

UL(s) -

C:

iC + uC uC(0 - )/s
1/sC UC(s)
+

L[ ? ?
t 0

1 f (? )d? ] ? F ( s ) s

I C(s)

1 t uC ? uC (0 ? ) ? ? ? iC dt C 0
uC (0 ? ) 1 U C ( s) ? I C ( s) ? sC s

1/sC
CuC(0-)

IC(s)

UC(s)

IC (s) ? sCU C (s) ? CuC (0 ? )

*M :

i1 +

M

i2 + L2 u 2 -

u 1 L1
-

di1 di2 ? u1 ? L1 ?M ? dt dt ? ? u ? L di2 ? M di1 2 ? 2 dt dt

?U 1 ( S ) ? SL1 I 1 ( s ) ? L1i1 (0 ? ) ? sMI 2 ( s ) ? Mi2 (0 ? ) ? ? ?U 2 ( S ) ? SL2 I 2 ( s ) ? L2 i2 (0 ? ) ? sMI1 ( s ) ? Mi1 (0 ? ) ?
+ U (s ) 1 L1i 1(0 -) + I 1(s) sL1 _ + sM sL2 _ + _ I 2(s) + U (s) 2 + -

Mi2(0 -) L2i 2(0 -) Mi1(0 -)

受控源: + u1 -

i1

+

R

?u1 u2 I1(s)

u1 ? i1 R u2 ? ?u1

U1 ( s ) ? I1 ( s ) R U 2 ( s ) ? ?U 1 ( s )

+
U 1 (s) R ? U1(s)

+

U2(s)
-

二、电路定律的运算形式
KC L KVL

?i ? 0 ?u ? 0
L
C

? I (s)? 0
?U (s) ? 0
uC (0 ? ) ? 0 iL (0 ? ) ? 0
di 1 u ? iR ? L ? dt C

i

R

+ u -

?

t
?

0

idt

1 U ( s ) ? I ( s ) R ? sLI ( s ) ? I ( s) sC

I(s)

R

sL

1 U ( s ) ? I ( s ) R ? sLI ( s ) ? I ( s) sC
1/sC

+ U(s) -

1 ? I ( s )( R ? sL ? ) sC

运算阻抗
1 Z ( s ) ? R ? sL ? sC

运算导纳

1 Y ( s) ? Z ( s)

运算形式欧姆定律

U ( s) ? Z ( s) I ( s)
I ( s) ? Y ( s )U ( s )

三、 运算电路模型
i1 R

时域电路

运算电路

+ E?(t) -

RL
L

i2 C

I1( s) E/s + sL R I 2( s) RL

1/sC

uc (0 ? ) ? 0 iL (0 ? ) ? 0
1. 电压、电流用象函数形式
2. 元件用运算阻抗或运算导纳

3.电容电压和电感电流初始值用附加电源表示



20Ω
+ - uc

iL

+ 0.5H

50V 5Ω 10Ω

20
1/2s UC(s) +

IL(s)

2F
10Ω

-

25/s

0.5s 2.5 + 5

t=0时打开开关 时域电路

t >0 运算电路

uC(0-)=25V

iL(0-)=5A

25 ? 2.5 S I L (S ) ? 25 ? 0.5S ? 1

2S

25 ? 2.5 S I L (S ) ? 25 ? 0.5S ? 1

2S 5( S ? 10) 5( S ? 10) ? 2 ? S ? 50S ? 1 S ( S ? 50) K1 K2 ? ? S S ? 50

求得:

K1 ? 1 K2 ? 4
?50t

iL (t ) ? 1 ? 4e

,t ? 0

2.5 应用拉普拉斯变换分析线性电路
步骤: 1. 由换路前电路计算uC(0-) , iL(0-) 。

2. 画运算电路模型
3. 应用电路分析方法求象函数。 4. 反变换求原函数。
0.1H

例1:
30Ω

iL

+ uL 10Ω

-

uc
+

已知:uC (0 ? ) ? 100 V
1000μF

200V

t = 0时闭合k,求iL,uL



30Ω

0.1H

解: (1) iL (0 ? ) ? 5 A
-

iL

+ uL 10Ω

uc
+

uc (0 ? ) ? 100 V
1000μF

200V

(2) 画运算电路 sL ? 0.1s

30 0.1s

0.5

I1(s)
200/s 10

I2(s)

1000/s 100/s

1 1 ? ?6 sC s ? 1000? 10 1000 ? s

30 0.1s I L(s)

0.5
I 2(s) 1000/s 100/s

I1 ( s )
200/s

10

I 2 ( s)

200 I1 ( s )(40 ? 0.1s ) ? 10I 2 ( s ) ? ? 0.5 ? s ( 3)回路法

? 1000 100 ? ? 10I 1 ( s ) ? (10 ? )I 2 ( s) ? s s
2

5( s ? 700s ? 40000 ) I1 ( s ) ? s( s ? 200)2

5( s 2 ? 700s ? 40000 ) I1 ( s ) ? s( s ? 200)2
(4)反变换求原函数

K1 K 22 K 21 I1 ( s ) ? ? ? 2 s s ? 200 ( s ? 200)
5 0 1500 I1 ( s ) ? ? ? 2 s ( s ? 200) ( s ? 200)

i1 (t ) ? (5 ? 1500 e t

?200 t

)? (t ) A

30 0.1s I1(s) 200/s

0.5
I2(s) 1000/s 100/s

UL(S) 10

求UL(s)

150 ? 30000 ? U L ( s) ? I1 ( s)sL ? 0.5 ? s ? 200 ( s ? 200)2
?200 t

uL (t ) ? 150 e

? 30000e t

?200 t

V

t?0

例2
+ 10V

R1

L1

L2
0.1H i 2 k

2Ω i1 0.3H

t = 0时打开开关k , 求电流 i及电感的电压


-

R2

Us

解:i1 ( 0 ? ) ? 5 A

i2 ( 0 ) ? 0

?

I 1(s)
2

0.3s

1.5
3 0.1s

10 ? 1.5 10 ? 1.5 s ? I1 ( s ) ? s 5 ? 0.4s (5 ? 0.4 s ) s

10/s

25 ? 3.75s ? ( s ? 12.5) s

i1 ? 2 ? 1.75e
5 3.75 2 0

?12.5t

,t ? 0

2 1.75 ? ? s s ? 12.5

i

显然:

i1 (0 ? ) ? i1 (0 ? )

i2 (0 ? ) ? i2 (0 ? )
t

I 1(s)
2

0.3s

1.5
3

U L1 ( s) ? 0.3sI1 ( s) ? 1.5
0.1s

UL1(s)

6.56 U L1 ( s ) ? ? ? 0.375 s ? 12.5

10/s

UL2(s)

uL1 ? ?0.375 (t ) ? ? 6.56e
?12.5 t

U L2 ( s) ? 0.1sI1 ( s)
2.19 U L 2 ( s ) ? 0.375? s ? 12.5

?12.5t

? (t )

uL2 ? ?0.375 (t ) ? 2.19e ?

? (t )

uL1 ? ?0.375 (t ) ? 6.56e ?

?12.5 t

? (t )
? (t )

uL2 ? ?0.375 (t ) ? 2.19e ?
5 3.75 2 0

?12.5 t

i1 uL1

uL2
0.375?(t)

t
t
-6.56 -0.375?(t)

-2.19

t

小结: 1.运算法直接求得全响应

2.用0-初始条件,跳变情况自动包含在响应中
3.运算法分析动态电路的步骤:

1)由换路前电路计算uC(0-) , iL(0-) 。
2) 画运算电路图。 3) 应用电路分析方法求象函数。 4) 反变换求原函数。

补充3 网络函数
3-1 网络函数的定义 3-2 网络函数的极点和零点 3-3 极点、零点与冲击响应 3-4 极点、零点与频率响应

内容提要
重点介绍网络函数及其在电路分析中
的应用,网络函数极点和零点的概念,并讨 论极点和零点分布对时域响应和频率特性的 影响等。

3.1 网络函数的定义
一、 网络函数的定义 电路在单一的独立激励 下,其零状态响应r(t)的象 函数R(S)与激励e(t)的象 函数E(S)之比定义为该 电路的网络函数H(S)
单个独立源作 用的线性网络

e(t) E(s)

零 状 态

r(t) R(s)

测定对象的冲激响应 便可直接得到其控制 模型 (网络函数)

L[r ( t )] H ( s) ? L[e( t )]

R( s ) 零状态 ? E

( s)

零状态

若E(S)=1,则H(S)=R(S),即 h(t)=r(t)

网络函数的原函数h(t)是电路的冲激响应。

二、 单位冲激响应、单位阶跃响应与网络函数的关系
?(t)
零状态 e(t) r(t)
h(t)

L[r (t )] H ( s) ? ? L[r (t )] L[? (t )]

h(t ) ? L H ( s )

?1

若h(t)已知, ( t ) ? H ( s ) 则任意激励e(t)产生的响应r(t): h

h(t ) ? H ( s ) R( s ) ? E ( s ) H ( s )

r ( t ) ? L R( s )

?1

例:
+

R + C _ uC _ Us(s) +

R
+ 1/sC _ UC(s)

_ uS

UC ( s) H ( s) ? ? U s ( s)

1 ? 1 RsC ? 1 R? sC

1 sC

网络函数是实系数的有理函数。 网络函数是由网络的结构和参数决定,与激励无关。

三 、 网络函数的具体形式
1.驱动点函数

U ( s) Z ( s) ? 驱动点阻抗 I ( s)
I ( s) 驱动点导纳 Y ( s) ? U ( s)
U 2 ( s) H ( s) ? I 1 ( s ) 转移阻抗

I(s)
U(s)

2.转移函数(传递函数)
I2(s)

I 2 ( s) H ( s) ? 转移导纳 U1 ( s)
U 2 ( s) 转移电压比 H(S) ? U1 ( s )

I1(s) U1(s)

U2(s)

I 2 ( s) H ( s) ? 转移电流比 I1 ( s )

例: 求冲激响应 h(t), 即 uc(t)
该网络函数是驱动点阻抗:

is
R

+ uc
C

R(S) U(S) H(S) ? ? C ? Z(s) E(S) 1 1 1 1 ? ? ? SC ? G C S ? 1 RC
h(t ) ? u c (t ) ? L [ H ( S )]
?1

?

1 1 1 1 ? RC t ?1 ?L [ ? ]? e ? (t ) C S? 1 C RC

3.2 网络函数的零、极点
(一)复频率平面
j? ?

S ? ? ? j?

N ( S ) H 0 ( S ? Z1 ) ? ? ? ( S ? Z m ) H(S) ? ? D( S ) ( S ? P1 ) ? ? ? ( S ? Pn )
?



当S ? Z j时H ( S ) ? 0称Z1 ? ? ? Z m为零点

当s ? Pi时H ( s) ? ?称P1 ? ? ? Pn为极点

极点用“?”表示 ,零点用“。” 表示。

二、实例

2( s ? 2) 例: H ( s ) ? s( s ? 3)(s 2 ? 2 s ? 2) 绘出其极零点图.
j? ? j 0 -j

H ( s)的零点为 1 ? 2 Z

? -3


2

?

?

H ( s )的极点为 P ?0 1 P2 ? ?3 , P3, 4 ? ?1 ? j1

3.3 零、极点与冲击响应
极点分布与冲激响应

L[r ( t )] H ( s) ? L[e( t )]

R( s ) 零状态 ? E ( s)

零状态

L[h(t )] ? H (s)
ki h(t ) ? L [ H ( s)] ? L [? ] i ?1 s ? Pi
?1
?1 n

极点位置不同,响应性质不同。

H i ( s) ?

?
( s ? a )2 ? ? 2

j?

H i ( s) ?

?
( s ? a )2 ? ? 2

?
1 H i ( s) ? s

?

?

?

?

?
1 H i ( s) ? s?a

1 H i ( s) ? s?a

?

?

? H ( s) ?
i

? s2 ? ? 2

?

极点的位置决定冲激响应的波形
极点和零点共同决定冲激响应的的幅值

由上述分析可知: 1.网络函数极点的位置决定了系统的稳定性。
2.全部极点在左半平面系统是稳定的,只要有一个极点在 右半平面系统不稳定,极点在虚轴上是临界稳定。 3.根据网络函数的极点分布情况分析响应的变化规律。



RLC串联电路,根据网络函数 R + t=0 C L +

U(S) H(S) ? U S) (
C S

us
-


的极点分布情况分析 uc(t)的变化规律

uc
-

解:
+

R

L + C uC

t=0

U ( s) H (S ) ? U ( s)
C S

_ US

_

1 ? ? 1 SC R ? SL ? SC 1 1 1 ? ? S LC ? SRC ? 1 LC S ? P)(S ? P) (
2 1 2

1

S LC ? SRC ? 1 ? 0
2

?R R 1 ? ? ? ?? ? j? d P1、 ? 2 2 2L 4 L LC
2

振荡角 频率 谐振 频率

R 1 2 2 ?d ? ? 2 ? ? ?0 ? ? , 4 L LC
(1)当
阻尼振荡

2

0? R? 2

L C
? ?t

时,

一对共 轭复根

uc (t ) ? 2 K e

cos(? d t ? ?1 )

(2)当 R=0 时

P1、 ? ? j? 0 2

uc (t ) ? 2 K cos(? 0t ? ?1 )
无阻尼振荡 两个不相等 的实根
过阻尼非振荡放电

(3)当

R? 2

L C

?R R 1 时, ? ? ? ? P ?1、 2 2 2L 4 L LC
2

uc (t ) ? K1e ? K 2 e
Pt 1

P2t

k H ( s) ? (s ? ? ) ? ? ?
i 2

j?
2 d

?

无阻尼振荡

阻尼振荡

?

1 H ( s) ? s ??
i

非振荡放电过阻尼

?

?

k H (s) ? ? s ??
i 2

2 0

结论: 极点的位置决定冲激响应的波形,
极点和零点共同决定冲激响应的的幅值

3.4 零、极点与频率响应
令网络函数H(s)中复频率s =j?,分析H(j?)随 ?变化的特性,根据网络函数零、极点的分布可以 确定正弦输入时的频率响应。 对于某一固定的角频率?

H ( j? ) ? H 0

? ( j? ? z )
i

m

? ( j? ? p )
j j?1

i ?1 n

? H ( j? ) e

j?

H ( j? ) ? H 0

? ( j? ? z )
i

m

? ( j? ? p )
j j?1
m

i ?1 n

幅频特性 相频特性
n

? ? arg?HHj( j)???? arg(arg( jz? ??i arg(? arg(j )j? ? p j ) ? ? arg? ( ? ? ) ? ? j? ? i ) ? z ) ? j? ? p
i ?1 i ?1 j?1

m

n

j?1

频率响应特性分为:幅频特性和相频特性。


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