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弯曲变形2

发布时间:2014-01-07 09:52:14  

§6-3 用叠加法计算梁的变形 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下, 载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时,各个载荷所引 起的变形是各自独立的,互不影响。若计算几个 载荷共同作用下在某截面上引起的变形,则可分 别计算各个载荷单独作用下的变形,然后叠加。

例:用叠加法求 v C 、? A 、? B

CL9TU20

解:

vC

5q l ?? 384 EI
ql ?? 24 EI 3 ql ? 24 EI
3

4

Pl ? 48 EI Pl ? 16 EI 2 Pl ? 16 EI
2

3

ml ? 16 EI

2

?A
?B

ml ? 3EI ml ? 3EI

例:已知梁的 E I为常数,今欲使梁的挠曲
线在 x ? l / 3 处出现一拐点,则比值 m1 / m2 为多少?

m1
x
l

m2

CL9TU21

解:由梁的挠曲线近似微分方程 EIv ?? ? M ( x )

知,在梁挠曲线的拐点处有: M
从弯矩图可以看出:

?0

m1
x

m2

m1 1 ? m2 2

l

M m1
m2

例:两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂
梁Ⅰ、Ⅱ如图示,Ⅱ梁的最大挠度是Ⅰ梁的多

少倍?

P

l

Pl ? 3EI
2P

3

2l

CL9TU22

例:简支梁在整个梁上受均布载荷q作用,若
其跨度增加一倍,则其最大挠度增加多少倍?

q

l

v max

5q l ?? 384 E I

4

CL9TU5

例:欲使AD梁C点挠度为零,求P与q的关系。

CL9TU23

解:

5 q ( 2a ) vC ? ? 384 EI

4

Pa (2a ) ?0 ? 16 EI

2

5 P ? qa 6

例:若图示梁B端的转角θB=0,则力偶矩m 等于多少?

CL9TU24

解:

?B

m ? 2a Pa ? ?0 ?? EI 2 EI
2

Pa m? 4

例:求图示梁 C、D两点的挠度 vC、 vD。

CL9TU25

解:

5q (2a ) 5qa v C ? 0, v D ? ? ?? 384 EI 24 EI

4

4

例:求图示梁B、D两处的挠度 vB、 vD 。

CL9TU26

解:

q ( 2a ) qa (2a ) 14qa vB ? ? ? 8 EI 3EI 3EI 3 4 v B 2qa (2a ) 8qa vD ? ? ? ? 2 48 EI 3EI

4

3

4

???

??

例:求图示梁C点的挠度 vC。

解:

例: 用叠加法求图示变截面梁B、C截面的 挠度 vB 、 vC 。

CL9TU28

解: vB ?

Pa Pa ? a ? 3(2 EI ) 2(2 EI )
3 2
3

5 Pa ? 12 EI

???

?B

Pa 2 Pa ? a ? ? 2(2 EI ) 2 EI

3 Pa ? 4 EI

2

? 顺时针 ?

Pa 3 3 Pa 3 vC ? v B ? ? B ? a ? ? 3EI 2 EI

???

例: 用叠加法求图示梁C端的转角和挠度。

CL9TU29

解:

?B

qa 2a 2 qa ? (2a ) 2 ? ? 3EI 16 EI
3

2

qa ? 12 EI

? 顺时针? ? 顺时针?

?C

qa 3 qa 3 ??B ? ? 6 EI 4 EI

qa 4 5qa 4 vC ? ? B ? a ? ? 8 EI 24 EI

? ??

例: 用叠加法求图示梁跨中的挠度vC和B点
的转角θB(k为弹簧系数)。

CL9TU30

ql 解:弹簧缩短量 ? ? 8k
ql 5ql vC ? ? 16k 768 EI
4

???
3

?B

q 3 q ?? l ? ? ? ?l q 2 ? 2? 2 ? ? ? 8k 24 EI 24 EI
q 7qa 3 ? ? 8k 384 EI

? 顺时针?

例: 图示梁B处为弹性支座,弹簧刚度

EI k ? 3 。求C端挠度vC。 2a

CL9TU32

解:(1)梁不变形,仅弹簧变形引起的C点挠度为 3 qa 3qa 4 vC 1 ? ? ? 2 k EI

??

(2)弹簧不变形,仅梁变形引起的C点挠度为

q ( 2a ) qa vC 2 ? ?a ? 24 EI 3EI (3)C点总挠度为 4 8qa vC ? vC 1 ? vC 2 ? 3EI

3

4

?? ?
???

例:用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。

CL9TU33

解:

二、梁的刚度计算

v max ? [v ]
刚度条件:

? max ? [? ]

[v]、[θ]是构件的许可挠度和转角,它们决定

于构件正常工作时的要求。

例:图示工字钢梁, l =8m, Iz=2370cm4, Wz=237cm3,[ v ]= l/500,E=200GPa,

[σ]=100MPa。试根据梁的刚度条件,确定梁
的许可载荷 [P],并校核强度。

CL9TU40

解:由刚度条件

v max

Pl l ? ? [v ] ? 48 EI 500

3


所以

48 EI ? 711 kN . P? 2 500l
[ P] ? 7.11 kN

? max

M max Pl ? ? 60MPa ? [? ] ? 4Wz Wz

所以满足强度条件。

§6-4 提高弯曲刚度的措施
影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载

荷情况有关,而且还与梁的材料、截面尺寸、形
状和梁的跨度有关。所以,要想提高弯曲刚度,

就应从上述各种因素入手。
一、增大梁的抗弯刚度EI 二、减小跨度或增加支承 三、改变加载方式和支座位置

§6-5 用变形比较法解静不定梁
一、静不定梁的基本概念

CL9TU50

用多余反力代替 多余约束,就得

到一个形式上的
静定梁,该梁称

为原静不定梁的
相当系统。

二、用变形比较法解静不定梁 例:求图示静不定梁的支反力。

解:将支座B看成 多余约束,变形协调 条件为:

vB ? 0
即 RB l ql ? ?0 3EI 8 EI
3 4

3 RB ? ql 8

另解:将支座A对截面 转动的约束看成多余约 束,变形协调条件为:

?A ?0
即 M Al ql ? ?0 3EI 24 EI
3

1 2 M A ? ql 8

例:为了提高悬臂梁AB的强度和刚度, 用短梁CD加固。设二梁EI相同,试求
(1) 二梁接触处的压力; (2) 加固前后AB梁最大弯矩的比值; (3) 加固前后B点挠度的比值。

CL9TU51

解:(1)变形协调条件为:v AB D ? v CD D



5 Pa RD a RD a ? ? 6 EI 3EI 3EI

3

3

3

5 RD ? P 4
(2)

例:梁ABC由AB、BC两段组成,两段梁
的EI相同。试绘制剪力图与弯矩图。

CL9TU52

解:变形协调条件为: v AB B ? v BC B



qa RB a RB a ? ? 8 EI 3EI 3EI

4

3

3

3 RB ? qa 16


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