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总 复 习

发布时间:2014-01-19 11:55:38  

总 复 习
一、绪论
1.掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限及有效

数字的概念。掌握误差限和有效数字之间的关系。会计算误差限
和有效数字。 一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限 等于该近似值末位的半个单位。 定义1 设数x是数x*的近似值,如果x的绝对误差限是它的某一数

位的半个单位,并且从x左起第一个非零数字到该数位共有n位,则
称这n个数字为x的有效数字,也 称用x近似x*时具有n位有效数字。 2.了解数值计算中应注意的一些问题.

二、 三插值与逼近
1.了解差商的概念和性质. 2.会建立插值多项式并导出插值余项. Lagrange、Newton、Hermite插值多项式;基函数法及待定系 数法。 3.了解分段插值及三次样条插值的概念及构造思想。 会构造 简单的三次样条插值函数.

4. 了解正交多项式的概念,会求简单的正交多项式。
5. 了解最佳一致与最佳平方逼近,会求简单的最佳一致逼近

多项式与最佳平方逼近多项式。
6. 掌握最小二乘法的思想,会求拟合曲线及最佳平方误差.

四、数值积分
1.了解求积公式的一般形式及插值型求积公式的构造.掌握梯形 公式和Simpson公式及其误差。

2.掌握求积公式的代数精度的概念,会用待定系数法确定求积
公式。 3. 会用复合梯形公式和复合Simpson公式计算积分并会用误差

估计式.
n ?1 h (b ? a)3 f ( xk ) ? f (b)] ? f ??(? ) 2 ?a f ( x)dx ? 2 [ f (a) ? 2? 12n k ?1 n n ?1 b h (b ? a)5 ( 4) f ( xk ? 1 ) ? 2? f ( xk ) ? f (b)] ? f (? ) 4 ?a f ( x)dx ? 6 [ f (a) ? 4? 2 2880n k ?1 k ?1 b

4. 了解Gauss公式的概念,会建立简单的Gauss公式。

五、解线性方程组的直接法
1.了解Gauss消元法的基本思想,知道适用范围 顺序Gauss消元法:矩阵A的各阶顺序主子式都不为零.

列主元Gauss消元法:矩阵A的行列式不为零.
2.掌握矩阵的直接三角分解法。 会对矩阵进行Doolittle分解(LU)、LDLT分解及Cholesky分解 (GGT)。 了解它们之间的关系。熟练掌握用三角分解法求方程组的解。 了解平方根法和追赶法的思想。 定理 设n阶方阵A的各阶顺序主子式不为零,则存在唯一 单位下三角矩阵L和上三角矩阵U使A=LU .

3.了解向量和矩阵的范数的定义,会判定范数(三要素非负性、

齐次性、三角不等式);会计算几个常用的向量和矩阵的范数; 了解范数的等价性和向量矩阵极限的概念。
4.了解方程组的性态,会计算简单矩阵的谱半径和条件数。

六、解线性方程组的迭代法
1.会建立J-法、G-S法、SOR法的迭代格式;会判定迭代方 法的收敛性。 (1)迭代法收敛?迭代矩阵谱半径小于1.

(2)迭代法收敛的充分条件是迭代矩阵的范数小于

1. (3)A严格对角占优,则J法,GS法,SOR法(0<??1)收敛.
(4)A对称正定,则GS法,SOR法(0<?<2)收敛.J法收敛的充 分必要条件是2D-A也正定. 2.掌握并会应用迭代法的误差估计式。
x ( k ) ? x* ? M
k

1? M

x (1) ? x ( 0)

, k ? ln( x(1) ?x(0) ) / ln M

ε (1? M )

七、解非线性方程的迭代法
1.了解二分法的思想,误差估计式|xk-?|?2-(k+1)(b-a).

2.会建立简单迭代法迭代格式;会判定迭代方法的收敛性。
整体收敛 若1.a??(x)?b; 2.|??(x)|? L<1, ?x?[a,b].则 xk+1=?(xk),?x0?[a,b]都收敛于方程的唯一根?. 局部收敛 若|??(?)|<1, 则对充分接近?的初值x0,迭代法

xk+1=?(xk)收敛.
3. 了解迭代法收敛阶的概念,会求迭代法收敛的阶. x k ?1 ? ? (1) ?x ?p阶收敛于?是指:
k

lim
k ??

(2) 若??(?)?0,则迭代法线性收敛.

xk ? ?

p

?C

(3) 若??(?)=??(?)=…=?(m-1)(?)=0, 但?(m)(?)?0, 则迭代法是m 阶收敛的.

4.会建立Newton迭代格式;知道Newton迭代法的优缺点.了
解Newton迭代法的变形.

f ( xk ) xk ?1 ? xk ? f ?( xk )
局部平方收敛.

第九章 常微分方程数值解法
1.了解构造数值解法的基本思想及概念。 2.掌握差分公式局部截断误差和阶的概念,会求差分公式 的局部截断误差。 如差分公式的局部截断误差为O(hp+1),则称p阶方法. 3.会判断单步方法的收敛性和稳定性,求稳定区间。

定理 设单步方法的增量函数?(x, y, h)关于y满足Lipschitz
条件, 则方法是收敛的. 若单步方法用于试验方程为: yn+1=g(?h)yn ,则方法的绝对稳 定区域是: |g(?h)|<1 .


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