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利润应用

发布时间:2014-01-20 12:59:27  

商品利润

生活是数学的源泉, 我们是数学学习的主人.

基础扫描
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 抛物线 ,它的对 称轴是 直线x=h ,顶点坐标是 (h,k) .
? 4a ? ? . 当a>0时,抛 轴是 4ac ? b 2 物线开口向 上 ,有最 低 点,函数有最 小 值,是 4a ;当
2+bx+c的图象是一条 抛物线 ,它的对称 2 . 二次函数y=ax b ? b 4ac ? b 2 ?

直线x ? ?

? ? , ? 2a ,顶点坐标是 ? 2a

a<0时,抛物线开口向 下 ,有最 高 点,函数有最 大 值, 4ac ? b 2 是 4a 。

基础扫描
3. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 直线x=3 ,顶点 坐标是 (3 ,5) 。当x= 3 时,y的最 小 值是 5 。

4. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 直线x=-4 ,顶点 坐标是 (-4 ,-1) 。当x= -4 时,函数有最 大 值,是 -1 。 5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 直线x=2 ,顶点 坐标是 (2 ,1) .当x= 2 时,函数有最 小 值,是 1 。

6、求下列二次函数的最大值或最小值:
⑴ y=x2+2x-3; ⑵ y=-x2+4x

y

7、图中所示的二次函数图像的解 析式为:

y ? 2x ? 8x ? 13
2

⑴若-3≤x≤3,该函数的最大值、最小值 分别为( 55 )、( 5 )。 ⑵又若0≤x≤3,该函数的最大值、 最小值分别为( 55 )、( 13 )。
-4 -2

6 4 2 0 2

x

求函数的最值问题,应注意什么?

在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的 实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。

如果你去买商品,你会选买哪一家的?如果你是商场经理, 如何定价才能使商场获得最大利润呢?

26.3 实际问题与二次函数
第1课时

如何获得最大利润问题

自主探究
问题1.已知某商品的进价为每件40元,售价是每件 60元,每星期可卖出300件。市场调查反映:如果调 整价格 ,每涨价1元,每星期要少卖出10件。要想获 得6090元的利润,该商品应定价为多少元?

分析:没调价之前商场一周的利润为 6000 元; 设销售单价上调了x元,那么每件商品的利润 (20+x) 可表示为 元,每周的销售量可表示为 (300-10x)件,一周的利润可表示为 (20+x)( 300-10x)元,要想获得6090元利润可 列方程 (20+x)( 300-10x) =6090 。

已知某商品的进价为每件40元,售价是每件 60元,每星期可卖出300件。市场调查反映: 如果调整价格 ,每涨价1元,每星期要少卖出 10件。要想获得6090元的利润,该商品应定价 为多少元? 若设销售单价x元,那么每件商品的利润可表 示为(x-40) 元,每周的销售量可表示 为 [300-10(x-60) ]件,一周的利润可表示 为 (x-40)[300-10(x-60)] 元,要想获得6090元 利润可列方程 (x-40)[300-10(x-60)]=6090 .

合作交流
问题2.已知某商品的进价为每件40元,售
价是每件60元,每星期可卖出300件。市 场调查反映:

如调整价格 ,每涨价一元, 每星期要少卖出10件。该商品应定价为多 少元时,商场能获得最大利润?

问题3.已知某商品的进价为每件40元。现在
的售价是每件60元,每星期可卖出300件。 市场调查反映:如调整价格 ,每降价一元, 每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润 最大?

问题4.已知某商品的进价为每件40元。现在
的售价是每件60元,每星期可卖出300件。 市场调查反映:如调整价格 ,每涨价一元, 每星期要少卖出10件;每降价一元,每星期 可多卖出20件。如何定价才能使利润最大?

解:设每件涨价为x元时获得的总利润为y元. y =(60-40+x)(300-10x) (0≤x≤30) =(20+x)(300-10x) =-10x2+100x+6000 =-10(x2-10x ) +6000 =-10[(x-5)2-25 ]+6000 =-10(x-5)2+6250 当x=5时,y的最大值是6250.

定价:60+5=65(元)

解:设每件降价x元时的总利润为y元.
y=(60-40-x)(300+20x) 怎样确定x =(20-x)(300+20x) 的取值范围 =-20x2+100x+6000 =-20(x2-5x-300) =-20(x-2.5)2+6125 (0≤x≤20) 所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元.

由(2)(3)的讨论及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能 使利润最大了吗?

答:综合以上两种情况,定价为65元时可 获得最大利润为6250元.

想一想

(1)列出二次函数的解析式,并根据自 变量的实际意义,确定自变量的取值范围; (2)在自变量的取值范围内,运用公式 法或通过配方求出二次函数的最大值或最 小值。

牛刀小试
? 某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30 元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提 高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销 售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内 获得最大利润? 解:设售价提高x元时,半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20x) =-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500 ∴当x=5时,y最大 =4500 答:当售价提高5元时,半月内可获最大利润4500元

创新学习
某果园有100棵橙子树,每一棵树平 均结600个橙子.现准备多种一些橙子树 以提高产量,但是如果多种树,那么树之 间的距离和每一棵树所接受的阳光就会 减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均 每棵树就会少结5个橙子.若每个橙子市 场售价约2元,问增种多少棵橙子树, 果园的总产值最高,果园的总产值最高 约为多少?

反思感悟

通过本节课的 学习,我的收获是?

课堂寄语
二次函数是一类最优化问题的数 学模型,能指导我们解决生活中的实 际问题,同学们,认真学习数学吧, 因为数学来源于生活,更能优化我们 的生活。

能力拓展
1.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价
是每件60元,每星期可卖出300件。市场调查 反映:如调整价格 ,每涨

价一元,每星期要 少卖出10件;每降价一元,每星期可多卖出20 件。如何定价才能使利润最大?
在上题中 , 若商场规定试销期间获利不得低于 40%又不得高于60%,则销售单价定为多少时, 商场可获得最大利润?最大利润是多少?

中考链接
2.(09 中考 ) 某超市经销一种销售成本为每件 40元的商品.据市场调查分析,如果按每件 50 元销售,一周能售出 500 件;若销售单价 每涨 1 元,每周销量就减少 10 件.设销售单 价为x元(x≥50),一周的销售量为y件. (1)写出y与x的函数关系式(标明x的取值范围) (2) 设一周的销售利润为 S,写出 S与 x的函数关 系式,并确定当单价在什么范围内变化时,利 润随着单价的增大而增大? (3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情 况下,使得一周销售利润达到8000元,销售单 价应定为多少?

1、课时训练P21-22 2、某商场购进一种单价为40元的篮球,如果以单价50元 出售,那么 每月可售出500个,根据销售经验,售价每提 高1元,销售量相应减少10个。 (1)假设销售单价提高x元,那么销量每个篮球所获得的 利润是 元,这种篮球每月的销售量是 个; (用含x的代数式表示) (2)8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润?如果 是,说明理由;如果不是,求出最大利润。 3、在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它周长相等的边 框,制成镜子。镜子的长与宽的比是2:1,已知镜面玻璃 价格是120元/平米,边框价格是30元/米,另外制作这面镜 子还需加工费45元,设制作这面镜子的总费用是y元,镜 子的宽是x米。(1)求y与x之间的关系;(2)如果制作 这面镜子共花了195元,求这面镜子的长和宽。


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