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22.3-3图形面积问题

发布时间:2014-01-27 09:50:22  

实际问题与一元二次方程(二)
面积、体积问题

一、复习引入
1.直角三角形的面积公式是什么?? 一般三角形的面积公式是什么呢? 2.正方形的面积公式是什么呢? 长方形的面积公式又是什么? 3.梯形的面积公式是什么? 4.菱形的面积公式是什么? 5.平行四边形的面积公式是什么? 6.圆的面积公式是什么?

巩固练习:如图,一块长方形铁板,长是宽 的2倍,如果在4个角上截去边长为5cm的小 正方形,然后把四边折起来,做成一个没有 盖的盒子,盒子的容积是3000cm,求铁板的 长和宽。

问题 2、 (2008 年广东省中考题)如图,在长为 10cm,宽为 8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形, 使得留下的图形 (图中阴影部分)面积是原矩形面积的 80%,求所截去小正 方形的边长? 解:设所截去小正方形的边长是 xcm .
2 4 x ? 10 ? 8 ? ? 1 ? 80%? 依题意得:

解得: x1 ? 2 , x2 ? ?2 (不合题意,舍去) 答:所截去小正方形的边长是 2cm.

练习:(探究性题)一块矩形耕地大小尺寸如图 (1)所示,要在这块土地上沿东西和南北方向 分别挖2条和4条小渠,如果小渠的宽相等,而且 2 要保证余下的耕地面积为9600m ,那么水渠应 挖多宽?

162162

64 (1) 解:设水渠的宽为xm,列方程得:

64 (2)

(162—2x)(64-4x)=9600,解得 x1 =1,x2 =96 (不合题意,舍去)。答:水渠的宽为1m.

探究3
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中 央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果 要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之 一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设 计四周边衬的宽度? 分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中 央的矩形两边之比也为9:7 解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm
依题意得 解得

3 3 27 ? 9 ? 27 ? 9 x 54 ? 27 3 2 故上下边衬的宽度为: ? ? ? 1.8 2 2 4 3 3 左右边衬的宽度为: 21 ? 7 x 21 ? 7 ? 2 42 ? 21 3 ? ? ? 1.4 2 2 4

3 3 3 3 x2 ? ? (不合题意, 舍去) x1 ? 2 2

3 9 x ? 7 x ? ? 27 ? 21 4

27

要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中 央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果 要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之 一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设 计四周边衬的宽度? 分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的 矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边 衬与左右边衬的宽度之比也为9:7

3 (27 ? 18 x)(21 ? 14 x) ? ? 27 ? 21 4 解方程得 x ? 6 ? 3 3 方程的哪个根合
4
(以下同学们自己完成) 乎实际意义? 为什么?

解法二:设上下边衬的宽为9xcm,左右边衬宽为7xcm 依题意得

27

例1. (2010年,镇江)学校

为了美化校园环境,在 一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一 块长9米、宽7米的长方形花圃. (1)若请你在这块空地上设计一个长方形花圃, 使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积 多1平方米,请你给出你认为合适的三种不同的方 案. (2)在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情 况下,长方形花圃的面积能否增加2平方米?如果 能,请求出长方形花圃的长和宽;如果不能,请 说明理由.

1 解: (1) 方案1:长为9 米,宽为7米; 7

?b ? 4ac ? (?16) ? 4 ? 1? 65 ? ?4 ? 0
2 2

方案2:长为16米,宽为4米; 方案3:长=宽=8米; 注:本题方案有无数种 (2)在长方形花圃周长不变的情况下,长方形花 圃面积不能增加2平方米. 由题意得长方形长与宽的和为16米.设长方形花圃 的长为x米,则宽为(16-x)米. x(16-x)=63+2, x2-16x+65=0, ∴此方程无解. ∴在周长不变的情况下,长方形花圃的面积不能 增加2平方米

练习:
1、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的 矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明 理由. 20 解:设这个矩形的长为xcm,则宽为( ? x) cm, 20 2 x( ? x) ? 30 即 x2-10x+30=0 2
这里a=1,b=-10,c=30,
2 2

?b ? 4ac ? (?10) ? 4 ?1? 30 ? ?20 ? 0
∴此题无解. ∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.

例2:某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽 20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分 作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生 各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各 列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图 (1),(2)的草坪面积为540米2.

(1)

(2)

解:(1)如图,设道路的宽为 x米,则

(32 ? 2 x)( 20 ? 2 x) ? 540
化简得,

x ? 26 x ? 25 ? 0 ( x ? 25)( x ? 1) ? 0 ? x ? 25, x ? 1
2
1 2

(1)

其中的 x=25超出了原矩形的宽,应舍去. ∴图(1)中道路的宽为1米.

分析:此题的相等关系 是矩形面积减去道路面 积等于540米2。 解法一、 如图,设道路的宽为x米, 2 32x 米 则横向的路面面积为

(2)



纵向的路面面积为 所列的方程是不是 32 ? 20 ? (32 x ? 20 x) ? 540 注意:这两个面积的重叠部分是 x2 米2 图中的道路面积不是 ? 32 x ? 20 x ?米2。

20x 米2 。



而是从其中减去重叠部分,即应是 32 x ? 20 x ? x

2 所以正确的方程是: 32 ? 20 ? 32 x ? 20 x ? x ? 540

?

?

2

?

?米

2

化简得,x ? 52 x ? 100 ? 0,
2

x1 ? 2, x2 ? 50

其中的 x=50超出了原矩形的长和宽,应舍去. 取x=2时,道路总面积为:
2

草坪面积= ? 32 ? 20 ? 100 ? =

?32 ? 2 ? 20 ? 2 ? 2 ? =100 (米 )
2

540(米2)

(2)

答:所求道路的宽为2米。

解法二: 我们利用“图形经过移

动, 它的面积大小不会改变”的道理, 把纵、横两条路移动一下,使列 方程容易些(目的是求出路面的 宽,至于实际施工,仍可按原图 的位置修路)

如图,设路宽为x米, 2 32x 米 横向路面 , (2) 纵向路面面积为20x米2 。 草坪矩形的长(横向)为 (32-x)米 , 草坪矩形的宽(纵向) (20-x)米 。 相等关系是:草坪长×草坪宽=540米2 即 ? 32 ? x ?? 20 ? x ? ? 540. 2 x 化简得: ? 52 x ? 100 ? 0, x1 ? 50, x2 ? 2 再往下的计算、格式书写与解法1相同。

练习:
1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑 同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂 直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验 地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?

(32 ? 2 x)( 20 ? 2 x) ? 570 2 ? 36 x ? 35 ? 0 化简得, x ( x ? 35)( x ? 1) ? 0 ? x ? 35, x ? 1
1 2

解:设道路宽为x米,则

其中的 x=35超出了原矩形的宽,应舍去. 答:道路的宽为1米.

练习:
2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外 围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为 246m2,求小路的宽度. A D

解:设小路宽为x米,则
(20 ? 2 x)(15 ? 2 x) ? 246 ? 15 ? 20
2 化简得, 2x

? 35 x ? 123 ? 0 ( x ? 3)( 2 x ? 41) ? 0 41 ? x ? 3(舍去) ,x ? ? 2
1 2

B

C

答:小路的宽为3米.

例3. (2003年,舟山)如图,有长为24米的篱笆,一面 利用墙(墙的最大可用长度a为10米),围成中间隔 有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米, 面积为S米2, (1)求S与x的函数关系式;(2)如果要围成面积为 45米2的花圃,AB的长是多少米?
【解析】(1)设宽AB为x米, 则BC为(24-3x)米,这时面积 S=x(24-3x)=-3x2+24x (2)由条件-3x2+24x=45 化为:x2-8x+15=0解得x1=5,x2=3 ∵0<24-3x≤10得14/3≤x<8 ∴x2不合题意,AB=5,即花圃的宽AB为5米

练习:
1.如图,用长为18m的篱笆(虚线部分),两面靠 墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,应该 怎么设计? 解:设苗圃的一边长为xm, 则

x(18 ? x) ? 81 化简得,x2 ? 18 x ? 81 ? 0 2 ?( x?9) ? 0 ?x ? x ? 9
1 2

答:应围成一个边长为9米的正方形.

例4.某林场计划修一条长750m,断面为 等腰梯形的渠道,断面面积为1.6m2,? 上口 宽比渠深多2m,渠底比渠深多0.4m. (1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少? (2)如果计划每天挖土48m3,需要多 少天才能把这条渠道挖完? 分析:因为渠深最小,为了便于计算,不妨 设渠深为xm,则上口宽为x+2,? 渠底为 x+0.4,那么,根据梯形的面积公式便可建 模.

解:(1)设渠深为xm
则渠底为(x+0.4)m,上口宽为(x+2)m

1 依题意,得: ( x ? 2 ? x ? 0.4) x ? 1.6 2
整理,得:5x2+6x-8=0
解得:x1=0.8m

,x2=-2(不合题意,舍去) ∴上口宽为2.8m,渠底为1.2m.

1.6 ? 750 (2) ? 25 (天) 48

答:渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m; 需要25天才能挖完渠道.

1.如图,宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成, 则每个小长方形的面积为【 】 A A.400cm2 B.500cm2 C.600cm2 D.4000cm2 2. 在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金 色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个 挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x 满足的方程是【 B】 A.x2+130x-1400=0 B.x2+65x-350=0 C.x2-130x-1400=0 D.x2-65x-350=0 3.如图,面积为30m2的正方形的四个角是面积为2m2的小 正方形,用计算器求得a的长为(保留3个有效数字)【C 】 A.2.70m B.2.66m C.2.65m D.2.60m
x 80cm

x
50cm

x

x

a

练习:
6.如图,是长方形鸡场平面示意图,一边靠 墙,另外三面用竹篱笆围成,若竹篱笆总长 为35m,所围的面积为150m2,则此长方形鸡 场的长、宽分别为_______.

? 5.如图①的矩形包书纸示意图中,虚线是 折痕,阴影是裁剪掉的部分,四角均为大 小相同的正方形,正方形的边长为折叠进 去的宽度. ?
封面 封底

26 cm

18.5 cm
图1
(第27题)

图2

封面

封底

26 cm

18.5 cm
图1
(第27题)

图2

(1)如图②,数学课本长为26 cm,宽为 18.5 cm,厚为1 cm.小明用一张1260 cm2的 矩形纸方法包好了这本书,展开后如图①所 示,求折叠进去的宽度;
? (2)现有一本长为19 cm,宽为16 cm,厚为6 cm 的字典.你能用一张41 cm×26 cm的矩形纸,按 图①所示的方法包好这本字典,并使折叠进去的 宽度不小于3 cm吗?请说明理由.

练习:
6、围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该 公园的面积为4800m2.求这个公园的长与 宽.

280 ? 2 x x? ? 4800 2

小结

?列一元二次方程解应用题的步骤与 列一元一次方程解应用题的步骤类似, 即审、设、列、解、检、答.

? 这里要特别注意:在列一元二次方 程解应用题时,由于所得的根一 般有两个,所以要检验这两个根 是否符合实际问题的要求.

一轮船以30 km/h的速度由西向东航行(如 图),在途中接到台风警报,台风中心正以20 km/h的速度由南向北移动。已知距台风中心200 km的区域(包括边界)都属于受台风影响区。当 轮船接到台风警报时,测得BC=500km,BA=300 北 km。
(1)如果轮船不改 变航向,轮船会不 会进入台风影响区 ? 你采用什么方法来 判断?
A C



B

一轮船以30 km/h的速度由西向东航行(如 图),在途中接到台风警报,台风中心正以20 km/h的速度由南向北移动。已知距台风中心200 km的区域(包括边界)都属于受台风影响区。当 轮船接到台风警报时,

测得BC=500km,BA=300 km。


(2)如果你认为轮船会进 入台风影响区,那么从接 到警报开始,经多少时间 就进入台风影响区?

C1 C

A B1 B



一轮船以30 km/h的速度由西向东航行(如 图),在途中接到台风警报,台风中心正以20 km/h的速度由南向北移动。已知距台风中心200 km的区域(包括边界)都属于受台风影响区。当 轮船接到台风警报时,测得BC=500km,BA=300 km。


(3)如果把航速改为10 Km/h ,结果怎样?
C

CC 1 1

A B1 B1 B B



练习:
如图,斜靠在墙上的一根竹竿长AB=6.5m, BC=2.5m,若A端沿垂直于地面的方向AC下 滑1m,问B端将沿CB方向移动多少m?
A

C

B

练习:
如图,斜靠在墙上的一根竹竿长AB=6.5m, BC=2.5m,若A端沿垂直于地面的方向AC下 滑1m,问B端将沿CB方向移动多少m?
A A’ C

B

B’


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