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第六讲 能被30以下质数整除的数的特征

发布时间:2014-01-28 16:56:50  

第六讲 能被30以下质数整除的数的 特征

复习和回顾
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1、能被2、5; 3、9; 4、 25 ; 8、125;11; 7 、11、13、整除的数的特征 2、整除的性质 3、带余除法的一些规律

一、能被2、3、4、5、7、8、9、 11、13、25、125整除的数的特征
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(1)能被2整除的数的特征; (2)能被5整除的数的特征 (3)能被3、9整除的数的特征; (4)能被4、25整除的数的特征; (5)能被8、125整除的数的特征; (6)能被11整除的数的特征; (7)能被7、11、13整除的数的特征

2、整除的性质
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1、数的整除性质 性质1、如果a、b都能被c整除,那么它们的和 与差也能被c整除。 性质2、如果b与c的积能整除a,那么b与c都能 整除a。 性质3、如果b与c都能整除a,且b和c互质,那 么b与c的积能整除a. 性质4、如果c能整除b,b能整除a,那么c能整 除a。

3、带余除法的一些规律
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我们看下面的算式: 15÷6=2… …3 (15+6)÷6=3 … … 3 (15+6×2)÷6=4 … … 3 (15+6×3)÷6=5 … … 3 (15+6×7)÷6=9 … … 3 我们发现这样的规律:规律(一) 被除数加上除数的倍数后,结果的余数不 变 .

新课导入
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1、你能很快地判断3456789能不能被9整除吗? 2、既然不能整除,那么它除以9所得的余数是 多少? 3、3456781能被17整除吗?

新课教学 课前准备1
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多位数的表示方法
(1)字母上方横线法

N= FEDCBA
如六位数N= y=

34567xy

能被75整除,则x=

(2)数位表示法
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(2)100=10×10=102 100=10×10×10=103 1000=10×10×10×10=104 … … … … 如 32578=3×10000+2×1000+5×100+7×10+8
N=…a3×1000+a2×100+a1×10+a0

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课前准备2
引入一个符号, ? 我们用“N≡……(mod )”表示被除数N进行 除法运算后的余数. ? N≡ a0 (mod2) ? N≡ a a (mod4) 1 0 ? N≡a2a1a0(mod8) N≡…a4+a3+a2+a1+a0(mod9) 当N≡的值为0时能够整除,当不能整除时,怎样 求余数。 我们用这种方法解决引入的问题:
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a0

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1、你能很快地判断3456789能不能被9整除吗? 2、既然不能整除,那么它除以9所得的余数是 多少? 解:∵ 3+4+5+6+7+8+9=42 且42÷9=4……6 或 N≡ 3+4+5+6+7+8+9≡6 (mod9) ∴七位数3456789不能被9整除,除以9所 得的余数是6.

公式N≡…a4+a3+a2+a1+a0(mod9) 是怎样得来的?
利用加上或减去除数的倍数时,结果的余数不变, 结合乘法分配律可以推导出这个公式: ? 如N=35647=3×10000+5×1000+6×100+4×10+7 =3×(9999+1)+5×(999+1)+6×(99+1)+4× (9+1)+7 =3×9999+3+5×999+5+6×99+6+4×9+4+7 =(3+5+6+4+7)+(3×9999+5×999+6×99+4×9) ∴ N≡ (3+5+6+4+7)(mod9)
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a a a a a ? 一般的N= 4 3 2 1 0 =a4×10000+a3×1000+a2×100+a1×1

0+a0 =a4×(9999+1)+a3×(999+1)+a2× (99+1)+a1×(9+1)+a0 =a4×9999+a4+a3×999+a3+a2×99+a2+a1×9 +a1+a0 =(a4+a3+a2+a1+a0)+ (a4×9999+a3×999+a2×99+a1×9) ∴ N≡ (a4+a3+a2+a1+a0)(mod9)

方法回顾,
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关键是把所给的多位数拆成两部分: 除数的倍数 其余的部分 试阅读第45页体会下面的公式 一个自然数能被11整除的特征是:它的奇位数 字之和与偶位数字之和的差(大减小)能被11 整除即 N≡ (a0+a2+a4+…) -(a1+a3+a5+…) (mod11) 当N≡ 0时,整除;当N≡ 不等于0是结果就是 余数

应用举例
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判断某数能否被7、11、13整除,只要把这个 数的末三位与前面隔开,分成两个独立的数, 取它们的差(大减小)看它能不能被7、11 、 FEDCBA 13整除,即对于 FED N= CBA N≡ - (mod7); (mod11); (mod13). 例如、判断31428586能否被13整除。 解: 31428 842 第一步 - 586 第二步 - 30 30842 812 812÷13=62……6

公式的推导思路与方法
关键1、是把所给的多位数拆成两部分: 除数的倍数 其余的部分 关键2、怎样拆 要寻求与10、100、1000、10000接近的数
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能被17整除的数的特征的推导
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关键性式子 17×6=102 17×59=1003 N= FEDCBA = FED×1000+ CBA = FED× (1003-3)+ CBA = FED ×1003 - FED×3+ CBA = FED×17×59+ CBA - FED ×3 因为 FED×17×59是17和59 的公倍数,所以, 能否整除只要看 - ×3能否被17或 CBA FED 59整除就行了

能被17、59整除的数的特征
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N≡ CBA - FED ×3 (mod17); (mod59) 将末三位与前面隔开,看末三位数与前面各 处数的三倍的差(大减小)能否被17或59整 除。 例、判断19626232能否被17、59整除

应用举例
例1、判断19626232能否被17、59整除 解:19626 ×3 58878 58878 -232 58646 58 ×3 174 646 -174 472

∵472÷17= 27 ……… 13 ∵472÷59= 8 ∴19626232不能被17整除,但能被59整除。

巩固练习一
1、N=31428576,判断N能否被17整除,如果 不能整除?

能被19和53整除的数的特征
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阅读课本48~49页,理解公式的意义 N ≡ CBA-7× FED (mod 19);(mod 53)

能被23、29整除的数的特征
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利用关键性式子23×435=10005 29×345=10005尝试推导公式 N≡ DCBA -5× GFE (mod 23);(mod 29) 将末四位与前面隔开,看末四位与前面隔出数的5 倍的差(大减小)能不能被23、29整除。

本课小结
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1、记住几个公式及应用方法 简记:17、59 末三减3倍 19、53 末三减7倍 可以连续运用 23、29 末四减5倍 2、公式推导的两个关键 (1)寻找关键性等式 (2)把数字拆成两部分

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关键性式子的应用规律: 与整齐的数相比,超则隔位减,不足隔位加 例如:由61×164=10004可得10000=10004-4 N≡ DCBA -4 × GFE (mod 61)

由37×27=999可得 1000=999+1 N≡

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CBA +1 × FED

(mod 37)

练习册作业
1、判断654321能否被17整除?182342呢? 解: 654 ×3 1962 1962 -321 1641 1 ×3 3 641 -3 638

∵638÷17= 37 ……… 9 ∴654321不能被17整除,余数是9。 判断一个数能否被17或59整除,只要将末三 位数与前面的数隔开,看末三位数与前面隔出的 数的3倍的差(大减小)能否被17 或59整除。

练习册作业
2、判断1234567能否被19整除?9093400呢? 解:1234 ×7 8638 8638 -567 8071 8 ×7 56 71 -56 15

∵15÷19= 0 ……… 15 ∴1234567不能被17整除, 判断一个数能否被19或53整除,只要将末三 位数与前面的数隔开,看末三位数与前面隔出的 数的7倍的差(大减小)能否被19 或53整除。

练习册作业
2、判断9093400能否被19整除? 解:9093 ×7 63651 63651 -400 63251 63 ×7 441 441 -251 190

∵190÷19= 10 ∴9093400能被19整除。 判断一个数能否被19或53整除,只要将末三 位数与前面的数隔开,看末三位数与前面隔出的 数的7倍的差(大减小)能否被19 或53整除。

练习册作业
3、判断52212300能否被23整除? 解: 5221 ×5 26105 26105 -2300 23805 2 ×5 10 3805 -10 3795

∵3795÷23= 165 ∴52212300能被23整除。 判断一个数能否被23或29整除,只要将末四 位数与前面的数隔开,看末四位数与前面隔出的 数的5倍的差(大减小)能否被23 或29整除。

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4、一个三位数能被3整除,去掉它的末尾数字 后,所得到的两位数是17的倍数,这样的三位 数,最大的是多少? 解:两位数中,最大的17的倍数是85,设这个 三位数的末位数字是x,则8+5+x=13+x能 被3整除,x是2、5、8,所以,这样的三位数, 最大的是858。

5、173□是一个四位数,数学老师说:“我能 够依次在这个□中填入3个数字,所得的四位 数,分别被9、11、6整除。”那么请问:数学 老师先后填入的3个数字之和是多少? ? 分析: 先根据能被9、11、6整除的特征,求 设填入的第三个数是 z,则z是偶数,且1+7+3+x 出这三个数, =11+x能被3整除,可知,x是4; ? 解:设填入的第一个数是x,根据1+7+3+x= 所以,这三个数的和是 7+8+ 4= 19 11+x能被9整除,可知, x是 7; ? 设填入的第二个数是y,根据y-3+7-1=y+ 3能被11整除,可知y是8;
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6、有两个质数,它们的和是一个小于100 的 奇数,又是17的倍数,这两个质数分别是多少? 解:根据奇数的定义,可知其中一个是2,在 17的倍数17、51、85中,减去2分别是15、49、 83,只有83是质数,所以这两个质数分别是2 和83。

因为(17,19)=1,由整除的性质3可知,11□□11 也能被17×19=323整除,我们用竖式来分析 因为积的个位数字是1,因此乘

数的个位是7
再看乘积的十位数字是1, 可以想到323的个位3乘以 乘数的十位所得的末尾数 字是5, 因此,乘数的十位是5 最后看乘数的百位数字, 只能是3。 相加后可知,在□□中应 填写5、3。 3 2 3 × 3 5 7 2 2 6 1 1 6 1 5 9 6 9 1 1 5 3 1 1

.9、将2008加上一个数,使和能被23和19整除, 加的数要尽可能小,那么所加的数是多少? 分析与解:与第7题类似, 2008与这个数的和是23×19=437的倍数, 437×5=2185 2185-2008=177 答:所加的整数是177。

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10、判断269、427两个数是质数还是合数? 分析:根据质数与合数的定义去判断。 解:269÷2=134………1 所以,269是质数 269÷3=89 ……… 2 427的判定类似 269÷5=53 ……… 4 269÷7=38 ……… 3 269÷11=24 ……… 5 269÷13=20 ……… 9 269÷17=15 ……… 14


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