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6-2-3溶液浓度问题.题库教师版

发布时间:2014-01-29 12:48:38  

6-2-3溶液浓度问题

1、明确溶液的质量,溶质的质量,溶剂的质量之间的关系

2、浓度三角的应用

3、会将复杂分数应用题及其他类型题目转化成浓度三角形式来解

4、利用方程解复杂浓度问题

教学目标

知识精讲

比例。 浓度问题的内容与我们实际的生活联系很紧密,就知识点而言它包括小学所学2个重点知识:百分数,

一、浓度问题中的基本量

溶质:通常为盐水中的“盐”,糖水中的“糖”,酒精溶液中的“酒精”等

溶剂:一般为水,部分题目中也会出现煤油等

溶液:溶质和溶液的混合液体。

浓度:溶质质量与溶液质量的比值。

二、几个基本量之间的运算关系 1、溶液=溶质+溶剂

2、浓度=溶质?100%=溶液溶质溶质+溶液?100%

三、解浓度问题的一般方法 1、寻找溶液配比前后的不变量,依靠不变量建立等量关系列方程

2、十字交叉法:(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)

形象表达:甲

溶液质量

乙溶液质量?A

BBA?甲溶液与混合溶液的浓度差

混合溶液与乙溶液的浓度差

注:十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角,浓度三角与十字交叉法实质上是相同的.浓度三角的表示方法如下:

混合浓度z%

浓度xy%

z-y:x-z

甲溶液质量:乙溶液质量

3、列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法.

例题精讲

(一) 两种溶液混合一次 模块一、利用十字交叉即浓度三角进行解题

【例 1】 某种溶液由40克食盐浓度15%的溶液和60克食盐浓度10%的溶液混合后再蒸发50克水得到,

那么这种溶液的食盐浓度为多少?

【解析】 两种配置溶液共含食盐40×15%+60×10%=12克,而溶液质量为40+60-50=50克,所以这种溶液

的浓度为12÷50=24%.

【巩固】 一容器内有浓度为25%的糖水,若再加入20千克水,则糖水的浓度变为15%,问这个容器内

原来含有糖多少千克?

【解析】 容器内原含糖7.5千克。

【巩固】 现有浓度为10%的盐水8千克,要得到浓度为20%的盐水,用什么方法可以得到,具体如何操

作?

【解析】 需蒸发掉4千克水,溶液的浓度变为20%。

【例 2】 有浓度为20%的盐水300克,要配制成40%的盐水,需加入浓度为70%的盐水多少克?

【解析】 将两种溶液的浓度分别放在左右两侧,重量放在旁边,配制后溶液的浓度放在正下方,用直线相

连;(见图1)

直线两侧标着两个浓度的差,并化成简单的整数比。所需溶液的重量比就是浓度差的反比;对“比”的理解应上升到“份”,3份对应的为300克,自然知道2份为200克了。需加入浓度为70%的 盐水200克。

【巩固】 现有浓度为10%的盐水20千克,在该溶液中再加入多少千克浓度为30%的盐水,可以得到浓

度为22%的盐水?

【解析】 10%与30%的盐水重量之比为(30%-22%):(22%-10%)=2:3,因此需要30%的盐水20÷2×3=30

克。

【巩固】 4千克浓度为30%的溶液和多少千克浓度为10%的溶液能混合成26%的溶液?

【解析】 由十字交叉法两种溶液的配比为?26%?10%?:?30%?26%??4:1,所以应该用4?4?1?1千克的

10%的溶液来混合.

【例 3】 甲种酒精溶液中有酒精6千克,水9千克;乙种酒精溶液中有酒精9千克,水3千克;要配制成

50%的酒精溶液7千克,问两种酒精溶液各需多少千克?

【解析】 甲种酒精浓度为6?(6?9)?100%?40%,乙种酒精浓度为9?(9?3)?100%?75%,根据浓度三

角,可知两种酒精的质量之比为:(75%?50%):(50%?40%)?5:2,由于配成的酒精溶液共7千克,因此需要甲种酒精5千克,乙种酒精2千克.

【例 4】 将75%的酒精溶液32克稀释成浓度为40%的稀酒精,需加入水多少克?

【解析】 稀释时加入的水溶液浓度为0%(如果需要加入干物质,浓度为100%),标注数值的方法与例1

相同。(见图2)

,32÷8×7=28,需加水28克。

【巩固】 (难度等级 ※)浓度为10%,重量为80克的糖水中,加入多少克水就能得到浓度为8%的糖

水?

【解析】 浓度10%,含糖 80×10%= 8(克),有水80-8=72(克).如果要变成浓度为8%,含糖8克,

糖和水的总重量是8÷8%=100(克),其中有水100-8=92(克).还要加入水 92- 72= 20(克).

【例 5】 (难度等级 ※※)买来蘑菇10千克,含水量为99%,晾晒一会儿后,含水量为98%,问蒸发

掉多少水份?

【解析】 方法一:做蒸发的题目,要改变思考角度,本题就应该考虑成“98%的干蘑菇加水后得到99%的

湿蘑菇”,这样求出加入多少水份即为蒸发掉的水份,就又转变成“混合配比”的问题了。但要注意,10千克的标注应该是含水量为99%的重量。将10千克按1

∶1分配,10÷2=5,蒸发掉5千克水

份。

方法二:晾晒只是使蘑菇里面的水量减少了,蘑菇里其它物质的量还是不变的,所以本题可以抓住这个不变量来解.原来鲜蘑菇里面其它物质的含量为10??1?99%??0.1千克,晾晒后蘑菇里面其它物质的含量还是0.1千克,所以晾晒后的蘑菇有0.1??1?98%??5千克.

【巩固】 (难度等级 ※)浓度为20%的糖水40克,要把它变成浓度为40%的糖水,需加多少克糖?.

【解析】 浓度为20%,含糖40×20%=8(克),有水40- 8= 32(克).如果要变成浓度为40%,32克水

中,应该含有的糖为:32÷(1-40%)-32=21

13(克),需加糖2113?8?1313(克)

(二)两种溶液混合多次

【例 6】 甲容器有浓度为2%的盐水 180克,乙容器中有浓度为 9%的盐水若干克,从乙取出 240克盐

水倒入甲.再往乙倒入水,使两个容器中有一样多同样浓度的盐水.问:(1)现在甲容器中食盐

水浓度是多少?(2)再往乙容器倒入水多少克?

【解析】 (1)现在甲容器中盐水含盐量是:180×2%+ 240×9%= 25.2(克).浓度是25.2÷(180 + 240)

× 100%= 6%.

(2)“两个容器中有一样多同样浓度的盐水”,即两个容器中含盐量一样多.在乙中也含有25.2克

盐.因为后来倒入的是水,所以盐只在原有的盐水中.在倒出盐水 240克后,乙的浓度仍是 9%,

要含有 25.2克盐,乙容器还剩下盐水25.2÷9%=280(克),还要倒入水420-280=140(克).

【例 7】 甲、乙两只装有糖水的桶,甲桶有糖水60千克,含糖率为4%,乙桶有糖水40千克,含糖率

为20%,两桶互相交换多少千克才能使两桶糖水的含糖率相等?

【解析】 由于两桶糖水互换的量是对等的,故在变化过程中,两桶中糖水的量没有改变,而两桶中糖水的

含糖率由原来的不等变化为相等,

那么变化后的含糖率为:?60?4%?40?20%???60?40??100%?10.4%,甲桶中原来的含糖率为

4%,所以互相交换了:60??10.4%?4%???20%?4%??24(千克).

【例 8】 甲容器中有纯酒精11升,乙容器中有水15升,第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器,

使酒精与水混合。第二次将乙容器中的混合液倒入甲容器。这样甲容器中纯酒精含量为62.5%,

乙容器中纯酒精的含量为40%。那么第二次从乙容器中倒入甲容器的混合液是多少升?

【解析】 乙中酒精含量为40%,是由若干升纯酒精(100%)和15升水混合而成,可以求出倒入乙多少升

纯酒精。15÷3×2=10升62.5%,是由甲中剩下的纯酒 精(11-10=)1升,与40%的乙混合

而成,可以求出第二次乙倒入甲(11?10

)?3

?5?12

3升

【巩固】 甲杯中有纯酒精12克,乙杯中有水15克,第一次将甲杯中的部分纯酒精倒入乙杯,使酒精与水

混合.第二次将乙杯中的部分混合溶液倒入甲杯,这样甲杯中纯酒精含量为50%,乙杯中纯酒

精含量为25%.问第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液是多少克?

【解析】 第一次从甲杯倒入乙杯的纯酒精有:15?(1?25%)?15?5(克),

则甲杯中剩纯酒精12?5?7(克).

由于第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液的浓度为25%,根据浓度倒三角,倒入的溶液的量与甲杯中剩余溶液的量的比为?100%?50%?:?50%?25%??2:1,

所以第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液是7?2?14克.

【巩固】 甲容器中有纯酒精11立方分米,乙容器中有水15立方分米.第一次将甲容器中的一部分纯酒

精倒入乙容器,使酒精与水混合;第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器.这样甲容器

中的纯酒精含量为62.5%,乙容器中的纯酒精含量为25%.那么,第二次从乙容器倒入甲容器

的混合液是多少立方分米?

【解析】 由于第二次操作是将乙容器内溶液倒入甲容器中,所以乙溶液在第二次操作的前后浓度不变,所

以乙容器内倒入甲容器中的溶液的浓度为25%,而在此次倒入之前,甲容器中是纯酒精,浓度为100%,根据浓度倒三角,?100%?62.5%?:?62.5%?25%??1:1,所以乙容器内倒入甲容器中的溶液的量与甲容器中剩下的量相等.

而第一次甲容器中倒入乙容器的的酒精有15?(1?25%)?20?15?5立方分米,所以甲容器中剩下的有11?5?6立方分米,故第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是6立方分米.

【巩固】 有甲、乙两个同样的杯子,甲杯中有半杯清水,乙杯中盛满了含50%酒精的液体.先将乙杯的

一半倒入甲杯,搅匀后,再将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯.问这时乙杯中酒精溶液的浓度

是多少?

【解析】 第一次将乙杯的一半倒入甲杯,倒入的溶液的量与甲杯中原有液体的量相等,浓度为50%,所以

得到的甲杯中的溶液的浓度为50%?2?25%;第二次将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯,倒入的溶液的量与乙杯中剩余液体的量相等,而两种溶液的浓度分别为50%和25%,所以得到的溶液的浓度为?50%?25%??37.5%,即这时乙杯中酒精溶液的浓度是37.5%.

【例 9】 (2008年西城实验考题)将含农药30%的药液,加入一定量的水以后,药液含药24%,如果再

加入同样多的水,药液含药的百分比是________.

【解析】 开始时药与水的比为3:7,加入一定量的水后,药与水的比为24:76?6:19,由于在操作开始前

后药的重量不变,所以我们把开始时药与水的比化为6:14,即,原来药占6份,水占14份;加入一定量的水后,药还是6份,水变为19份,所以加入了5份的水,若再加入5份的水,则水变为24份,药仍然为6份,所以最后得到的药水中药的百分比为:6?(6?24)?100%?20%.

【巩固】 在浓度为40%的酒精溶液中加入5千克水,浓度变为30%,再加入多少千克酒精,浓度变为

50%?

【解析】 再加入8千克酒精,溶液浓度变为50%。

【例 10】 有A、B两瓶不同浓度的盐水,小明从两瓶中各取1升混合在一起,得到一瓶浓度为36%的盐

水,他又将这份盐水与2升A瓶盐水混合在一起,最终浓度为32%.那么B瓶盐水的浓度

是 .

?【解析】 根据题意,A瓶盐水的浓度为32%

36%??228?%4 .?236?%2那么B瓶盐水的浓度是,

【例 11】 甲种酒精纯酒精含量为72%,乙种酒精纯酒精含量为58%,混合后纯酒精含量为62%.如果每

种酒精取的数量比原来都多取15升,混合后纯酒精含量为63.25%.第一次混合时,甲、乙两种

酒精各取了多少升?

【解析】 如果甲、乙两种酒精各取15升混合,那么混合后的溶液共30升,浓度为?72%?58%??2?65%,

由于第二次混合后的浓度为63.25%,则可知第一次混合后的体积与30升的比值为:

30?5?7?42升.又知,第一(65%?63.25%):(63.?25%?62%.则第一次混合后的体积为)

次混合时甲、乙两种酒精的体积之比为:(62%?58%):(72%?62%)?2:5.则第一次甲酒精取了

42?

25?2

?12

升,乙酒精取了42?

55?2

?30

升.

【巩固】 (2008年“我爱数学夏令营”数学竞赛)若干升含盐70%的溶液与若干升含盐58%的溶液混合

后得到含盐62%的溶液。如果每种溶液各多取15升,混合后就得到含盐63.25%的溶液,那么第一次混合时含盐70%的溶液取了 升。

【解析】 第一次两种溶液所取的体积比为(62%?58%):(70%?62%)?1:2;由于两种溶液各取15升,将

混合成含盐为(70%?58%)?2?64%的溶液30升,拿这30升溶液与开始时混合而成的含盐62%的溶液混合,将得到含盐63.25%的溶液,可知这两种溶液的体积之比为

(64%?63.25%):(63.25%?62%)?3:5, 所以第一次混合而成的溶液体积为30?

18?

11?2

?6

35?18

升,所以第一次混合时含盐70%的溶液取了

升。

【巩固】 纯酒精含量分别为60%、35%的甲、乙两种酒精混合后的纯酒精含量为40%.如果每种酒精都

多取20克,混合后纯酒精的含量变为45%.求甲、乙两种酒精原有多少克?

【解析】 原来混合时甲、乙的质量比是:

现在混合时甲、乙的质量比是:

40%?35%60%?40%45%?35%60%?45%

??1423

, .

14?1

?13

由于原来甲、乙的质量差?现在甲、乙的质量差,所以原来甲的质量是该质量差的现在甲的质量是该质量差的所以,质量差?20?原来甲的质量是12?

53?1214?1

23?2

?2

倍,

倍.于是多取的20克与2?

13

?

53

对应.

(克),

克,原来乙的质量是12?

44?1

?16

?4

克.

【例 12】 甲瓶中酒精的浓度为70%,乙瓶中酒精的浓度为60%,两瓶酒精混合后的浓度是66%.如果两

瓶酒精各用去5升后再混合,则混合后的浓度是66.25%.问原来甲、乙两瓶酒精分别有多少升?

【解析】 根据题意,先从甲、乙两瓶酒精中各取5升混合在一起,得到10升浓度为65%的酒精溶液;再

将两瓶中剩下的溶液混合在一起,得到浓度为66.25%的溶液若干升.再将这两次混合得到的溶

液混合在一起,得到浓度是66%的溶液.根据浓度三角,两次混合得到的溶液的量之比为:

?66.25%?66%?:?66%?65%??1:4,所以后一次混合得到溶液5?2?4?40升.这40升浓度为

66.25%

的溶液是由浓度为70%和60%的溶液混合得到的,这两种溶液的量的比为:

55?3

?25升,浓度为

?66.25%?60%?:?70%?66.25%??5:3,所以其中浓度为70%的溶液有40?

60%

的溶液有40?

35?3

?15

升.所以原来甲瓶酒精有25?5?30升,乙瓶酒精有15?5?

20

升.

【例 13】 甲种酒精4千克,乙种酒精6千克,混合成的酒精含纯酒精62%.如果甲种酒精和乙种酒精一样

多,混合成的酒精含纯酒精61%.甲、乙两种酒精中含纯酒精的百分比各是多少? 【解析】 (法1)不妨设甲、乙两种酒精各取4千克,则混合后的浓度为61%,含纯酒精4?2?61%

?4.88

克;又知,4千克甲酒精与6千克乙酒精,混合后的浓度为62%,含纯酒精?4?6??62%?6.2千克.相差6.2?4.88?1.32千克,说明6?4?精的百分比为1.32?2?100%

?66%

2

千克乙酒精中含纯酒精1.32千克,则乙酒精中纯酒

?56%

,那么甲酒精中纯酒精百分比为61%?2?66%.

(法2)甲、乙两种酒精各取4千克,则混合后的浓度为61%,而这种混合溶液,再混上2千克的

乙酒精就能获得62%的混合溶液,由于混合的质量比是8:2?4:1,由十字交叉法,乙溶液的浓度为62%??62%?61%??1?4?66%,又因为同样多的甲种酒精溶液和乙种溶液能配成61%的溶液,所以甲溶液浓度为61%??66%?61%??1?1?56%.

【例 14】 (2008年第六届“走美”六年级初赛)A、B两杯食盐水各有40克,浓度比是3:2.在B中加

入60克水,然后倒入A中________克.再在A、B中加入水,使它们均为100克,这时浓度

比为7:3.

【解析】 在B中加入60克水后,B盐水浓度减少为原来的

质量比仍然为3:2,B中的盐占所有盐的质量的量的

37?3

?310

25

,但溶质质量不变,此时两杯盐水中的盐的

?25

23?2?25

,但最终状态下B中的盐占所有盐的质

14

,也就是说B中的盐减少了1?

310

?

14

,所以从B中倒出了的盐水到A,即

25克.

(三)三种溶液混合多次

【例 15】 有甲、乙、丙三个容器,容量为毫升.甲容器有浓度为40%的盐水400毫升;乙容器中有清水400

毫升;丙容器中有浓度为20%的盐水400毫升.先把甲、丙两容器中的盐水各一半倒入乙容器

搅匀后,再把乙容器中的盐水200毫升倒入甲容器,200毫升倒入丙容器.这时甲、乙、丙容器中盐水的浓度各是多少?

【解析】 列表如下:

27.5%15%17.5%小结:在做有关浓度的应用题时,为了弄清楚溶质质量、溶液质量的变化,尤其是变化多次的, 常用列表的方法,使它们之间的关系一目了然.

【例 16】 在甲、乙、丙三缸酒精溶液中,纯酒精的含量分别占48%、62.5%和

23

,已知三缸酒精溶液总

量是100千克,其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量.三缸溶液混合后,所含纯酒精的百分数将达56%.那么,丙缸中纯酒精的量是多少千克?

【解析】 (法1)方程法.设丙缸酒精溶液的重量为x千克,则乙缸为?50?x?千克.根据纯酒精的量可列方

程:

50?48%??50?x??62.5%?x?

23

?100?56%

23

?12

解得x

?18

,所以丙缸中纯酒精的量是18?(千克).

(法2)浓度三角法.由于甲缸酒精溶液为50千克,乙、丙两缸酒精溶液合起来也是50千克,所以如果将乙、丙两缸酒精溶液混合,得到的酒精溶液的浓度为56%?2?48%那么乙、丙两缸酒精溶液的量之比为:?克,所以丙缸酒精溶液有50?

【例 17】 有A、B、C三种盐水,按A与B数量之比为2:1混合,得到浓度为13%的盐水;按A与B数量之比为1:2混合,得到浓度为14%的盐水.如果A、B、C数量之比为1:1:3,混合成的盐水

浓度为10.2%,问盐水C的浓度是多少?

【解析】 A与B按数量之比为2:4混合时,浓度仍为14%,而这样的混合溶液也相当于A与B按数量之比

为2:1混合后再混入三份B盐水,则B盐水浓度为?14%?6?13%?3???4?1??15%.A盐水的浓

1832?18

?2

?

?64%?:?64%?62.5%??32:18?3?

?64%

,而它们合起来共50千

23?12

?18

千克,丙缸中纯酒精的量是18?(千克).

度为14%?3?15%?2?12%.再根据A、B、C三种溶液混合的情况,那么C盐水的浓度为:

??10.2%??1?1?3??12%?1?15%?1???3?8%

.

【例 18】 已知三种混合物由三种成分A、B、C组成,第一种仅含成分A和B,重量比为3:5;第二种

只含成分B和C,重量比为1:2;第三种只含成分A和C,重量之比为2:3.以什么比例取这些

混合物,才能使所得的混合物中A、B和C,这三种成分的重量比为3:5:2?

【解析】 注意到第一种混合物中A、B重量比与最终混合物的A、B重量比相同,均为3:5.所以,先将

第二种、第三种混合物的A、B重量比调整到3:5,再将第二种、第三种混合物中A、B与第一

种混合物中A、B视为单一物质D.最终配成D:C??3?5?:2?4:1的物质; 第二种混合物不含A,B的含量为,第三种混合物不含B,A的含量为

31

25

,所以3?

25

?7.5倍第

三种混合物含A为3,5?

13

?15倍第二种混合物含B为5,

2?

2?1?

3?29

45

即第二种、第三种混合物的重量比为2:1;于是此时含有C,即C:D?29:?45?29??29:16,而最终混合物中C

2?1

:D?1:4?29:116

,所以第一种混合物的质量

与后两种混合质量和之比为?116?16?:45?20:9,所以三种混合物的重量比为20:6:3.

【例 19】 A、B、C三个试管中各盛有10克、20克、30克水.把某种浓度的盐水10克倒入A中,充分

混合后从A中取出10克倒入B中,再充分混合后从B中取出10克倒入C中,最后得到的盐水的浓度是0.5%.问开始倒入试管A中的盐水浓度是百分之几?

【解析】 整个过程中盐水浓度在下降.倒入A中后,浓度变为原来的

A

1010?1014

?

12

;倒入B中后,浓度变为

中的

1010?20

?

13

;倒入C中后,浓度变为B中的

14?13?12

1010?30

?

.所以对于一开始倒入A中的盐水

浓度可以用倒推的方法,0.5%??12%,即一开始倒入A中的盐水浓度为12%.

【例 20】 有两种溶液,甲溶液的酒精浓度为10%,盐浓度为30%,乙溶液中的酒精浓度为50%,盐浓度

为10%.现在有甲溶液1千克,那么需要多少千克乙溶液,将它与甲溶液混和后所得的溶液的

酒精浓度和盐浓度相等?

【解析】 一千克甲种溶液中含有酒精0.1千克,盐0.3千克,盐比酒精多0.2千克;而一千克乙种溶液中含

有酒精0.5千克,盐0.1千克,盐比酒精少0.4千克.所以只需要0.5千克的乙种酒精将其与甲溶

液混合后所得溶液中两种物质含量相等,即浓度相等.

【巩固】 有两种溶液,甲溶液的酒精浓度为10%,盐浓度为30%,乙溶液中的酒精浓度为40%,盐浓度

为0.现在有甲溶液1千克,那么需要多少千克乙溶液,将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精

浓度和盐浓度相等?

【解析】 要使得混合所得的溶液的酒精浓度和盐浓度相等,那么其中所含的酒精的量和盐的量应该相等。

1千克甲溶液中含有酒精0.1千克,含有盐0.3千克,盐比酒精多0.2千克,所以还应该加入0.2千克的酒精,而这部分酒精由浓度为40%的乙溶液提供,每千克乙溶液含有酒精0.4千克,所以添入0.5千克乙溶液就能使混合溶液中两种浓度相等.

【巩固】 有两种溶液,甲溶液的酒精浓度为15%,盐浓度为10%,乙溶液中的酒精浓度为45%,盐浓度

为5%.现在有甲溶液1千克,那么需要多少千克乙溶液,将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒

精浓度是盐浓度的3倍?

【解析】 可以这样来看,将溶液中的水剔出或者说蒸发掉,那么所得到的溶液就是盐溶在酒精中.(事实上

这种情况不符合物理规律,但这只是假设).这时的处理后甲溶液盐浓度为

10%?(15%?10%)?0.4,处理后乙溶液的盐浓度为5%?(45%?5%)?0.1,需要配置的溶液的盐

浓度为1?(1?3)?0.25,由这些得出的条件使用十字交叉法得到两种处理后溶液的质量比应该为: (0.25?0.1):(0.4?0.25)?1:1。一千克原甲溶液中有10%?15%?25%的处理后甲溶液,即0.25千

克,所以另需要0.25千克的处理后乙溶液,而每千克原乙溶液中含有5%?45%?50%的处理后乙溶液,即0.5千克,所以只需要0.5千克的乙溶液就能构成0.25千克的处理后乙溶液.所以需要0.5

千克的乙溶液.

模块二、列方程解浓度问题

【例 21】 使用甲种农药每千克要兑水20千克,使用乙种农药每千克要兑水40千克。根据农科院专家的

意见,把两种农药混合使用能提高药效。现有两种农药共5千克,要配药水140千克,其中甲

种农药需药______千克。

【解析】 设甲种农药x千克,则乙种农药(5-x)千克。列方程:

x(1?20)?(5?x)(1?40)?140

21x?205?41x?140

20x?65

x?3.25

【例 22】 甲、乙两瓶盐水,甲瓶盐水的浓度是乙瓶盐水的3倍.将100克甲瓶盐水与300克乙瓶盐水混合

后得到浓度为15%的新盐水,那么甲瓶盐水的浓度是多少?

【解析】 设乙瓶盐水的浓度是x%,甲瓶盐水的浓度是3x%,有100?3x%?300?x%?(100?300)?15%,

解得x

【例 23】 甲、乙两只装满硫酸溶液的容器,甲容器中装有浓度为8%的硫酸溶液600千克,乙容器中装有

浓度为40%的硫酸溶液400千克.各取多少千克分别放入对方容器中,才能使这两个容器中的

硫酸溶液的浓度一样?

【解析】 由于交换前后两容器中溶液的重量均没有改变,而交换一定量的硫酸溶液其目的是将原来两容器

中溶液的浓度由不同变为相同,而且交换前后两容器内溶液的重量之和也没有改变,根据这个条件可以先计算出两容器中的溶液浓度达到相等时的数值,从而再计算出应交换的溶液的量.

甲容器中纯硫酸的质量为600?8%?48(千克);

乙容器中纯硫酸的质量为400?40%?160?10,即甲瓶盐水的浓度是30%. (千克);

两容器中纯硫酸的质量和为48?160?208千克,

?20.8%硫酸溶液的质量和为600?400?1000千克. 两容器中溶液互换后浓度为208?1000?100%,

所以应交换的硫酸溶液的量为:600??20.8%?8%???40%?8%??240(千克).

另解:假设各取x千克放入对方容器中,那么两种混合溶液中两种硫酸溶液的质量比相等,即(600?x):x?600:400,解得x?240,即各取240千克.

【例 24】 甲容器中有浓度为20%的盐水400克,乙容器有浓度为10%的盐水600克.分别从甲和乙中取

出相同重量的盐水,把从甲中取出的倒入乙中,把从乙中取出的倒入甲中.现在甲、乙容器中

盐水浓度相同.问:从甲(乙)容器取出多少克盐水倒入了另一个容器中?

【解析】 由于两种盐水互换后浓度相等,而在互换的过程中盐的总质量是不变的,所以互换后盐水的浓度

为?400?20%?600?10%???400?600??14%,而甲容器中原来浓度为

400??20%?14%???20%?10%??240(克). 20%,所以相互倒了

另解:由于两种溶液的浓度不同,而混合后得到的溶液的浓度相同,只能是相混合的两种溶液的量的比是相等的.这一点与两人各用两种速度走一段路程而平均速度相同中的两种速度的路程比、以及含铜率不同的两种合金熔炼成含铜率相同的合金(见第7讲相关例题)中两种合金的质量比是相似的.假设相互倒了x克,那么甲容器中是由?400?x?克20%的盐水和x克10%的盐水混合,乙容器中是由x克20%的盐水和?600?x?10%的盐水混合,得到相同浓度的盐水,所以?400?x?:x?

x:?600?x?,解得x?240.

【例 25】 十字交叉法的证明过程:设甲、乙两瓶溶液的质量分别为A和B,浓度分别为x%和y%(x

将两瓶溶液混合后所得的溶液浓度为z%,求证:?x?z?:?z?y??B:A.

【解析】 甲溶液中溶质的质量为Ax%?y),,乙溶液中的溶质质量为By%,则混和溶液中的溶质质量为

Ax%?By%

A?BAx%?By%,所以混合溶液的浓度为,所以z?Ax?By

A?B,即Az?Bz?Ax?By,

A(x?z)?B(z?y),可见?x?z?:?z?y??B:A.也可以这样来理解;由于甲溶液浓度比乙溶液浓

度高,两瓶溶液混合后,浓度变为相同,相当于甲溶液拿出了A?(x%?z%)的溶质给乙溶液,乙溶液则得到了B?(z%?y%)的溶质,所以A?(x%?z%)?B?(z%?y%),得到?x?z?:?z?y??

B:A.

【例 26】 在浓度为x%的盐水中加入一定量的水,则变为浓度10%的新溶液.在这种新溶液中加入与前次

加入的水量相等的盐,溶液浓度变为30%.求x.

【解析】 不妨设原来的盐水为100克,加入的水(或)盐重a克,x?a

100?a?a?30%x100?a?10%,可得x?10?0.1a;,可得x?a?30?0.6a;解得a?40,x?14.

【巩固】 (2007年第五届“希望杯”一试六年级)一杯盐水,第一次加入一定量的水后,盐水的含盐百分

比变为15%;第二次又加入同样多的水,盐水的含盐百分比变为12%;第三次再加入同样多的

水,盐水的含盐百分比将变为 %。

【解析】 抓住题中不变量---盐的重量.假设第一次加入水后盐水的重量为a克,盐的重量为a?15%?0.15a

克,第二次加水后的总重量为0.15a?0.12?1.25a克,这样就可得出加水量是1.25a?a?0.25a克,第三次加水后的重量是1.25a?0.25a?1.5a克,这时的盐水的含盐百分比是0.15a?1.5a?10%.

【例 27】 瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克,现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精溶

液,瓶中的浓度变成了14%.已知A种酒精溶液浓度是B种酒精溶液浓度的2倍,那么A种酒

精溶液的浓度是百分之几?

【解析】 (法1)方程法.新倒入纯酒精:?1000?100?400??14%?1000?15%?60(克).

设A种酒精溶液的浓度为x,则B种为

100x?x40?2?x2.根据新倒入的纯酒精量,可列方程: ,解得x60?20%,即A种酒精溶液的浓度是20%. x

2(法2)浓度三角法.设A种酒精溶液的浓度为x,则B种为.

根据题意,假设先把100克A种酒精和400克B种酒精混合,得到500克的酒精溶液,再与1000克15%的酒精溶液混合,所以A、B两种酒精混合得到的酒精溶液的浓度为

14%??15%?14%??1000

500?12%?

?. x???400:1002?根据浓度三角,有?x?12%?:?12%?

故A种酒精溶液的浓度是20%. ,解得x?20%.

【例 28】 (2008年101中学考题)A种酒精浓度为40%,B种酒精浓度为36%,C种酒精浓度为35%,

它们混合在一起得到了11千克浓度为38.5%的酒精溶液,其中B种酒精比C种酒精多3千克,则A种酒精有 千克.

【解析】 设A种酒精有x千克,B种酒精有y千克,C种酒精有z千克,则:

?x?y?z?11

??z?3?y

?x?40%?y?36%?z?35%?11?38.5%?

解得x

?7,y?3.5,z?0.5,故A种酒精有7千克.

【例 29】 一个卖牛奶的人告诉两个小学生:这儿的一个钢桶里盛着水,另一个钢桶里盛着牛奶,由于牛

奶乳脂含量过高,必须用水稀释才能饮用.现在我把A桶里的液体倒入B桶,使其中液体的体

积翻了一番,然后我又把B桶里的液体倒进A桶,使A桶内的液体体积翻番.最后,我又将A

桶中的液体倒进B桶中,使B桶中液体的体积翻番.此时我发现两个桶里盛有同量的液体,而

在B桶中,水比牛奶多出1升.现在要问你们,开始时有多少水和牛奶,而在结束时,每个桶里又有多少水和牛奶?

【解析】 假设一开始A桶中有液体x升,B桶中有y升.第一次将A桶的液体倒入B桶后,B桶有液体2y

升,A桶剩(x?y)升;第二次将B桶的液体倒入A桶后,A桶有液体2(x?y)升,B桶剩(3y?x)升;第三次将A桶的液体倒入B桶后,B桶有液体(6y?2x)升,A桶剩(3x?5y)升.由此时两桶的液体体积相等,得3x?5y?6y?2x,5x?11y,x:y?11:5.

现在还不知道A桶中装的是牛奶还是水,可以将稀释牛奶的过程列成下表:

由上表看出,最后B桶中的液体,原A桶液体与原B桶液体的比是5:3,而题目中说“水比牛奶多1 升”,所以原A桶中是水,原B桶中是牛奶. 因为在5:3中,“5?3”相当于1升,所以2个单位相当于1升.由此得到,开始时,A桶中有升水,B桶中有

【巩固】 有A,B两个桶,分别盛着水和某含量的酒精溶液.先把A桶液体倒入B桶,使B桶中的液体

翻番;再将B桶液体倒入A桶,使A桶中的液体翻番.此时,A,B两桶的液体体积相等,并

且A桶的酒精含量比B桶的酒精含量高20%.问:最后A桶中的酒精含量是多少?

【解析】 因为最后A桶的酒精含量高于B桶,所以一开始A桶盛的是酒精溶液.设一开始A桶中有液体x,

第一次从A桶倒入B桶后,B桶有2y,A桶剩(x?y);第二次从B桶倒入A桶,AB桶中有y.

桶有2(x?y),B桶剩(3y?x).由2(x?y)?3y?x,得x:y?5:3.

再设开始A桶中有纯酒精z,则有水(5?z).将酒精稀释过程列成表(如图):由题意知,

(35

z?4)?(

25

z?4)?20%

52

112

升牛奶;结束时,A桶中有3升水和1升牛奶,B桶中有

52

升水和

32

升牛奶.

,解得z?4.所以最后A桶中的酒精含量是?4?4?100%?60%.

5

3

【例 30】 A、B、C三瓶盐水的浓度分别为20%、18%、16%,它们混合后得到100克浓度为18.8%的

盐水.如果B瓶盐水比C瓶盐水多30克,那么A瓶盐水有多少克? 【解析】 设C瓶盐水有x克,则B瓶盐水为x?30克,A瓶盐水为100?(x?

x?30

)?

70?2x

克.则

?70?2x??20%??x?30??18%?x?16%

?100?18.8%,解得x?10. 所以A瓶盐水为:70?2?10?50(克).

模块三、浓度三角解分数应用题

【例 31】 (难度等级

※※※)某班有学生48人,女生占全班的37.5%,后来又转来女生若干人,这时

人数恰好是占全班人数的40%,问转来几名女生?

【解析】 浓度差之比1∶24, 48÷24×1=2人,重量之比 24∶1这是一道变换单位“1”的分数应用题需抓

住男生人数这个不变量,如果按浓度问题做,就简单多了。转来2名女生。

【例 32】 小明到商店买红、黑两种笔共66支.红笔每支定价5元,黑笔每支定价9元.由于买的数量较

多,商店就给予优惠,红笔按定价85%付钱,黑笔按定价80%付钱,如果他付的钱比按定价少

付了18%,那么他买了红笔多少支?

【解析】 浓度倒三角的妙用.红笔按85%优惠,黑笔按80%优惠,结果少付18%,相当于按82%优惠,

可类似浓度问题进行配比,得到红、黑两种笔的总价之比为?82%?80%?:?85%?82%??2:3,而红、黑两种笔的单价分别为5元和9元,所以这两种笔的数量之比为66?6

5?6?36支红笔. 23:?6:5,所以他买了

59

通过以上例题,我们可以看出,只要我们在解题时善于抓住事物间的联系,进行适当转化,就能发现其中的规律,找到解决问题的巧妙方法。

【例 33】 有两包糖,每包糖内都装有奶糖,水果糖和巧克力糖.已知:⑴第一包糖的粒数是第二包的2

3;

⑵在第一包糖中,奶糖占25%,在第二包糖中,水果糖占50%;⑶巧克力在第一包糖中所占的

百分比是在第二包糖中所占的百分比的两倍.当两包糖合在一起时,巧克力糖占28%,那么,

水果糖所占的百分比等于多少?

【解析】 由于第一包糖的粒数是第二包糖的2

3,不妨设设第二包有糖30块,则第一包有糖20块.设巧克

力糖在第二包糖中所占的百分比为x,则巧克力糖在第一包糖中所占的百分比为2x,根据题意,有:20?2x?30x?28%?(30?20),解得x?20%,所以巧克力糖在第一包中占的百分比为40%,那么,在第一包糖中,水果糖占1?25%?40%?35%.当两包糖合在一起时,水果糖所占的百分比是:(20?35%?30?50%)?(20?30)?44%.

【巩固】 (人大附中选拔入学考试题)有两包糖,第一包糖由奶糖和水果糖组成,其中

1

14

为奶糖;第二包

糖由酥糖和水果糖组成,其中为酥糖.将两包糖混合后,水果糖占78%,那么奶糖与酥糖的

5

比例是________.

【解析】 第一包糖水果糖占

34

,第二包糖水果糖占

45

.由浓度三角知:?

?4

3???

?78%?:?78%???2:3

4??5????

1??1?

?:?3???5:64??5?

,即

第一包糖与第二包糖的数量比为2:3.所以,奶糖与酥糖的比为?2?

【例 34】 某商品76件,出售给33位顾客,每位顾客最多买三件.如果买一件按原定价,买两件降价10%,买三件降价20%,最后结算,平均每件恰好按原定价的85%出售.那么买三件的顾客有多少人? 【解析】 如果对于浓度倒三角比较熟悉,容易想到3?(1?20%)?1?100%?340%?4?85%,所以1个买一

件的与1个买三件的合起来看,正好每件是原定价的85%.

由于买2件的,每件价格是原定价的1?10%?90%,高于85%,所以将买一件的与买三件的一一配对后,仍剩下一些买三件的人,由于3?(2?90%)?2?(3?80%)?12?85%,所以剩下的买三件的人数与买两件的人数的比是2:3.

于是33个人可分成两种,一种每2人买4件,一种每5人买12件,共买76件,所以后一种有

4??124?3?

76?33????25(人).其中买二件的有:25??15(人). ????

2??52?5?

前一种有33?25?8(人),其中买一件的有8?2

?4

(人).于是买三件的有33?15?4

?14

(人).

【例 35】 (2009年迎春杯高年级组决赛)在一个奇怪的动物村庄里住着猫、狗和其他一些动物.有20%

的狗认为它们是猫;有20%的猫认为它们是狗.其余动物都是正常的.一天,动物村的村长小猴子发现:所有的猫和狗中,有32%认为自己是猫.如果这个奇怪的动物村庄里有狗比猫多180只.那么狗的数目是 只.

【解析】 仔细分析题目,发现本题其实是一个简单的浓度问题:有20%的狗认为自己是猫,有80%的猫

认为自己是猫;而将猫和狗混合在一起,所有的猫和狗中,有32%的认为自己是猫.那么根据浓度三角,狗和猫的数量之比为:?80%?32%?:?32%?20%??4:1.而狗比猫多180只,所以狗的数目为180??4?1??4?240只.

课后练习

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