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曲线曲面积分期末复习题

发布时间:2014-01-30 12:47:54  

曲线、曲面积分:

一、选择题

1.设L是从点(a,0)到点(?a,0)的一直线段,则

A . 。 ??x?y?dx=( )2L12a B . 0 C.2a D 1 2

(对坐标积分,将曲线代入)

2.下列曲线积分在XOY面内与路径无关的是( )

A.

C.?(2,3)(1,1)(x2?3y)dx?(3yx?y2)dy B.?23222(2,3)(1,1)(2xy?x2)dx?(x?y2)dy ?(2,3)

(1,1)(6xy?y)dx?(6xy?3xy)dy D.?

?P?Q?时,与路径无关) ?y?x(2,3)(1,1)(2x?y)dx?(2x?y)dy (提示;

3.设?:x2?y2?z2?a2(z?0),?1为?在第一卦限的部分,则有( )

A.??xdS?4??xdS; B.??ydS?4??xdS;

??1??1

C.??zdS?4??xdS; D.??xyzdS?4??xyzdS。 ??1??1

(对称)

4. 设C是圆周x2?y2?2x,则。 ?Cxds?( )

A、0; B、1; C、?; D、2?。 解:(对弧长的曲线积分,将曲线代入)

C:??x?1?cos?,?xds?C

?y?sin??2?

0(1?cos???2?

二、填空题

1.C为不包围原点的封闭曲线,积分xdx?ydycx2?y2? 2.曲线积分?(x?y)dx?(x?y)dy

Lx2?y2n与路径无关,则n=_ ____, x2

?y2?1逆时针方向的封闭曲线,(y2?y)dx?2xydy? ___________。 3.设L是L4

4.已知L是抛物线y?x2上点O(0,0)与B(1,1)点之间的一段弧,则曲线积

分??_____ ___ 。

(L代入)

x2y2

(x?y)dx?(x?y)dy? 。 5.已知C为椭圆2?2?1,反时针方向,则??Cab

(封闭曲线首先用格林公式)

6,设曲面?为x2?y2?z2?4,则(x2?y2?z2)dS?___ ________。

?

(曲面代入,求dS)

三、计算题

1.验证曲线积分(2xy?y4?3)dx?(x2?4xy3)dy在整个xOy面内与路径无关, ?L

并求其值?(2,1)

(1,0)(2xy?y4?3)dx?(x2?4xy3)dy。

2.计算(x?y)dx?(y?x)dy,其中L中: 22??x?y

(1)不包围且不通过原点的任意闭曲线;

(2)以原点为中心,?为半径的圆周取顺时针方向;

(3)包围原点的任意闭曲线(无重点)取正向。

3 判断xdy?ydx在除原点以外是某个函数u(x,y)的全微分。并求u(x,y)。 224x?y224.设L从(3,0)沿上半圆周x?y?9到(-3,0),求曲线积分

L(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy 。

xyz4???1在第一卦限中的部分,则曲面积分??(z?2x?y)dS 2343?5.已知?是平面

(对曲面积分不封闭用代入法)

6.计算2222z?x?y 及 z?1 ? 为,其中(1)锥面(x?y)dS???

(2)?为x2?y2?z2?4所围立体的全面积。

注意:?是x,y,z对称,

7.利用高斯公式计算曲面积分222xdydz?ydzdx?zdxdy,????为半球面

x2?y2?z2?a2的上侧。

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