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第9方程问题

发布时间:2014-02-08 11:50:49  

Y.P.M数学竞赛讲座 1

方程问题

方程问题是初等数学的基础问题,是数学竞赛命题的着力点之一.方程问题包括:解方程(组)与根的问题.

一、解方程(组)

数学解题的中心是从已知探索未知,解方程(组)是研究处理这一中心问题的有力手段.解方程(组)的基本思想是同解变形与消元降次.

1.指对方程

[例1]:(2002年美国数学邀请赛试题)若方程组??

[解析]:

?log225x?log64y?4的两组解为(x1,y1),(x2,y2),则log30(x1y1x2y2)= . ??logx225?logy64?1

[类题]:

1.①(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)方程9+|1-3|=5的实数解为 .

②(2009年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知

③(2006年全国高中数学联赛福建初赛试题)方程3x?13x?1xx=13?3,则实数x= . 8x?27x

12?18xx=7解的个数是( ) 6

(A)1 (B)2 (C)3 (D)无穷多

2.①(2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)方程13

-xx2?6x?7)log(6=2log6的解x= x-1x13 ②(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设函数f(x)=lg(10+1),方程f(-2)=f(2)的解为 .

xlg2a?1 ③(2004年全国高中数学联赛天津初赛试题)若关于x的方程=x只有一个实数解,则a的值等于 . x?lga

3.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和实数x,y,z,w,若①a=b=c=30②1.试求a+b+c的值. wxyzw111++= xyz

2.换元法

[例2]:(2005年美国数学邀请赛试题)已知方程2333x-2+2111x+2=2222x+1+1的所有根之和为

[解析]:

m((m,n)=1),则m+n= . n

[类题]:

1.①(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知a,b是方程log3x3+log27(3x)=-4的两个根,则a+b= . 3

13a?b4 ②(1999年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知logab+3logba=,当a>b>1时,22的值是 . 2a?b

2.①(2006年上海杯高二试题)方程xsinx=2在区间[0,20]内有多少个实根?

②(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程2sinx=cosx在[0,2π]上的根的个数是 . 2

2 Y.P.M数学竞赛讲座

3.①(2010年美国数学邀请赛试题)已知正实数x,y,z满足xyz=10,且lgxlg(yz)+lgylgz=468,则lg2x?lg2y?lg2z= . 81

②(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知x≥1,y≥1,且logax+logay=loga(ax)+loga(ay)(其中a>0,a≠1),则loga(xy)的取值范围是 . 2222

3.主元法

[例x?y?z?0??3]:(2008年全国高中数学联赛试题)方程组?xyz?z?0的有理数解(x,y,z)的个数为 .

?xy?yz?zx?y?0?

[解析]:

[类题]:

1.①(2007年全国高中数学联赛广西初赛试题)k∈R,方程x-2kx+k+2k-3=0的实数x的取值范围是 . ②(2006年全国高中数学联赛上海初赛试题)实数x、y、z(x≠y)满足:5(x-y)+(z-y)+(z-x)=0,则

= .

2.(2006年上海交通大学自主招生试题)设k≥9,解方程:x+2kx+kx+9k+27=0.

?x?y?z?a?3.(第三届国际数学奥林匹克试题)设a、b是常数,解方程组?x2?y2?z2?b2,并求出若使x、y、z是互不相同的正数,a、

?xy?z2?32422(y?z)(z?x)(x?y)2 b应满足什么条件?

4.配方法

[例4]:(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x>1,y>1,则方程x+y+

(x,y)=_____. 33+=2(y?1x?1x?2+y?2)的解

[解析]:

[类题]:

1.①(2007年全国高中数学联赛上海初赛试题)方程x?1+2y?4+3z?9=1(x+y+z)的实数解(x,y,z)= . 2

②(1992年北欧数学奥林匹克试题)试求大于1的实数x,y,z满足方程:x+y+z+

z?2). 333++=2(x?2+x?1y?1z?1y?2+

2.①(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)满足方程:x?2009?2x?2010+x?2009?2x?2010=2的所有实数为 .

②(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)如果关于x的方程x+x?

则实数a的取值范围是 .

3.(2005年全国高中数学联赛福建初赛试题)实数x,y,z满足x+2y=7,y+4z=-7,z+6x=-14,则x+y+z= . 22222211?x?=a有且仅有一个实根,24

5.不等式法

Y.P.M数学竞赛讲座 3 [例5]:(2006年全国高中数学联赛试题)方程(x2006+1)(1+x2+x4+?+x2004)=2006x2005的实数解的个数为 . [解析]:

[类题]:

1.①(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程2cos

xx–x

=10+10+1的实根的个数是 . 3

x

-x

2

②(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知a是正常数且a≠1,则方程a+a+1=3cosy的解是 . ③(2009年全国高中数学联赛上海初赛试题)满足方程log2[2cos(xy)+2.(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程x–

32

12cos2(xy)

2

]=-y+y+

2

3

.的所有实数对(x,y)= . 4

32

6x+3=0的全部负根之和是 .

?y?x3(3?2x)?3

3.(《数学通报》数学问题1433号)在正实数范围内,解方程组??z?y(3?2y).

?x?z3(3?2z)??

6.单调函数法

[例6]:(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛试题)方程log5(3x+4x)=log4(5x-3x)的解集为 . [解析]:

[类题]:

1.①(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程3+4+5=6的解是 . ②(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)设t=(解之和等于 .

2.①(2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)设方程x+x+1=0与x+3x+1=0的根分别是α,β,则α+β

3

x

x

x

x

1x2x5x

)+()+(),则关于x的方程(t-1)(t-2)(t-3)=0的所有实数236

= .

②(1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)若α,β分别是方程log2x+x+2=0和2+x+2=0的根,则α+β= .

③(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)设α是方程x10=2011的解,β是方程xlgx=2011的解,则αβ= . 2011.

??y2?x3?3x2?2x

3.①(1983年第17届全俄数学奥林匹克试题)解方程组?2. 32

??x?y?3y?2y

1?32

?x?y?y?3?1?

②(1990年第16届全俄数学奥林匹克试题)解方程组?y3?z2?z?.

3?

1?z3?x2?x?

?3?

x

x

7.方程的方程组法 [例7]:方程x2+

9x2(x?3)2

=16的实数解的和为 .

4 Y.P.M数学竞赛讲座

[解析]:

[类题]:

1.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)方程(x?1)(x?4)+x?2)(5?x)=6的实数解的个数为 .

2.(2006年美国数学邀请赛试题)使得cos3x+cos5x=8cos4xcosx(100<x<200)成立的x值的和= .

3?x3?x23.方程=2的实数解的个数为 . 1?xx?1333300

8.方程组的方程法

[例?x3?xyz?2?2m3338]:(2010年美国数学邀请赛试题)设(a,b,c)为方程组??y?xyz?6的实数解,若a+b+c的最大值为((m,n)=1),n?z3?xyz?20??

则m+n= .

[解析]:

[类题]:

1.(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)己知a、b、c、d是四个不同的有理数,且(a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1.则(a+c)(b+c)=( )

(A)2 (B)1 (C)0 (D)-1

2.①(2007年全国高中数学联赛江西初赛试题)若实数x,y满足:x210?53+y210?63=1,x310?53+y

310?63=1,则x+y= .

②(2008年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知αβ∈R,直线xyxy+=1与+=1sin??sin?sin??cos?cos??sin?cos??cos?的交点在直线y=-x上,则sinα+cosα+sinβ+cosβ= .

?x?y?z?3?3.(1973年第2届美国数学奥林匹克试题)解方程组?x2?y2?z2?3.

?x5?y5?z5?3?

9.灵活消元法

[例9]:(2011年全国高中数学联赛试题)设函数f(x)=|lg(x+1)|,实数a,b(a<b)满足f(a)=f(-

4lg2,求a,b的值. b?1b?2),f(10a+6b+21)=

[解析]:

[类题]:

1.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题B)如果x和y是非零实数,使得|x|+y=3和|x|y+x=0,那么x+y等于 .

2.(2010年美国数学邀请赛试题)已知x,y满足y=m3yxx,x=y,设x+y=((m,n)=1),则m+n= . n43

10.消去常数法

[例10]:(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)函数f(x),g(x)的迭代函数定义为:f(1)(x)=f(x),f(2)(x)=f(f(x)), ?,f(x)=f(f(2)(n-1)(x));g(x)=g(x),g(x)=g(g(x)),?,g(x)=g(g(1)(2)(2)(n-1)(x)).其中n=2,3,4,?,设f(x)=2x-3,g(x)=3x+2.

Y.P.M数学竞赛讲座 5

?f(9)(x)?g(6)(y)?(9)(6)方程组??f(y)?g(z),的解为 .

?f(9)(z)?g(6)(x)??

[解析]:

[类题]:

1.(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知a(b+c)=b(a+c)=2011,且a≠b,则abc= .

2.(2008年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知实数a、b、c、d,且a≠b,c≠d.若关系式:a+ac=2,b+bc=2,c+ac=4,d+ad=4同时成立,则6a+2b+3c+2d的值为 . 222222

11.整体换元法

?x?y?z?w?2?2x?y2?z2?w2?611]:(2006年全国高中数学联赛试题)解方程组?. ?3333x?y?z?w?20??x4?y4?z4?w4?66?[例

[解析]:

[类题]:

1.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题B)已知111111123411+=,+=,+=,则++的值为 . xy?z2yz?x3zx?y4xyz

2.(2003年德国数学奥林匹克试题)解方程组???x3?y3?7. ??xy(x?y)??2

12.数形结合法

[例12]:(2006年美国数学邀请赛试题)已知实数x,y,z满足x=

y2?y2?11111+z2?,y=z2?+x2?,z=x2?+ 1616253625m1,且x+y+z=(m,n∈Z+,n为最简根式),则m+n= . 36n

[解析]:

[类题]

1.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知a,b∈R,关于x的方程x+ax+2x+bx+1=0有一个实根.求a+b的最小值.

2.(2008年美国数学邀请赛试题)令a,b(a≥b)为正实数.ρ为

的解(x,y)满足0≤x<a,0≤y<b.设ρ=243222a222222的可能的最大值,使得方程组a+y=b+x=(a-x)+(b-y)bm((m,n)=1),则m+n= . n

二、根的问题

在不求方程根的条件下讨论方程根的性质,是方程的另一根本问题.基本思路是等价变形和函数(图像_分析.

13.二次方程

[例13]:(1982年全国高中数学联赛试题)己知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0(k为实数)的两个实数根,x12+x22的最大值是( )

6 Y.P.M数学竞赛讲座 (A)19 (B)18 (C)50 (D)不存在 9

[解析]:

[类题]:

1.①(2004年全国高中数学联赛试题)设锐角θ使关于x的方程x+4xcosθ+cosθ=0有重根.则θ的弧度数为 . ②(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)设f(x)=x+bx+9,g(x)=x+dx+e,若f(x)=0的根是r,s,g(x) =0的根是–r,–s,则f(x)+g(x)=0的根是 .

2.①(2004年全国高中数学联赛山东初赛试题)己知关于x的方程sinx-(2a+1)cosx-a=0有实数解.则实数a的取值范围是 .

②(2005年全国高中数学联赛上海初赛试题)若关于x的方程4+(a+3)2+5=0至少有一个实根在区间[1,2]内,则实数a的取值范围为 .

3.①(2007年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知函数f(x)=x-2ax-3a,且方程|f(x)|=8有三个不同的实根,则实数a= .

②(2004年全国高中数学联赛福建初赛试题)设f(x)=(x-8x+c1)(x-8x+c2)(x-8x+c3)(x-8x+c4),M={x|f(x)=0}.己知M={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8}?N.那么max{c1,c2,c3,c4}-min{c1,c2,c3,c4}= . 222222xx22222

14.二次迭代

[例14]:(2004年全国高中数学联赛湖南初赛试题)对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”,若f(f(x))=x,则称x为f(x)的“稳定点”.函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B,即A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}. (Ⅰ)求证:A?B;

(Ⅱ)若f(x)=ax-1(a∈R,x∈R),且A=B≠φ,求实数a的取值范围. 2

[解析]:

[类题]:

1.(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设f(x)=x+ax,{x|f(x)=0,x∈R}={x|f(f(x))=0,x∈R}≠?,则满足条件的所有实数a的取值范围为 .

2.(2006年全国高中数学联赛上海初赛试题)设f(x)=x+ax+bcosx,{x|f(x)=0,x∈R}=f(f(x))=0,,x∈R}≠φ,则满足条件的所有实数a,b的值为 . 22

15.根的个数

[例15]:(1984年全国高中数学联赛试题)方程sinx=lgx的实根个数是( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)大于3

[解析]:

[类题]:

1.(2007年全国高中数学联赛海南初赛试题)方程x-lgx=2的实数根个数为( )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

2.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)方程10sin(x+?)=x的根的个数为 . 6132

Y.P.M数学竞赛讲座 7

16.根的讨论

[例16]:(2000年全国高中数学联赛试题)给定正数p,q,a,b,c,其中p≠q.若p,a,q是等比数列,p,b,c,q是等差数列,则一元二次方程bx-2ax+c=0( )

(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 2

[解析]:

[类题]:

1.(2006年全国高中数学联赛河北初赛试题)包含方程x+lnx=3的根的区间为( ) (A)(1,e) (B)(e,2) (C)(2,e) (D)(e,3)

22.(1981年全国高中数学联赛试题)对方程x|x|+px+q=0进行讨论,下面的结论中,哪一个是错误的( ) (A)至多有三个实根 (B)至少有一个实根 (C)仅当p-4q≥0时才有实根 (D)当p<0和q>0时有三个实根

17.参数范围

[例17]:(1995年全国高中数学联赛试题)己知方程|x-2n|=k

范围是( ) (A)k>0 (B)0<k<1

2n?1x在区间(2n-1,2n+1]上有两个不相等的实根,则k的取值 (C)11<k< (D)以上都不是 2n?12n?1

[解析]:

[类题]:

1.(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若关于x的方程?x2=kx+2恰有一个实根,则k的取值范围是2.(2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)若关于x的方程?x2=log2(x-a)有正数解,则实数a的取值范围为 .

3.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若方程x=x?k有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是 .

4.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知关于x的方程|x-k|=

则实数k的取值范围是 .

5.(2009年全国高中数学联赛试题)若方程lg(kx)=2lg(x+1)仅有一个实根,那么k的取值范围是 . 2kx在区间[k-1,k+1]上有两个不相等的实根,2

18.根的定义

[例18]:(2006年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若f(x)=(2x5+2x4-53x3-57x+54)2006,则f(

[解析]:

?1)= . 2

[类题]:

1.(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)若sinα是方程x+3x-1=0的根,则sin2(α+

2.(2004年北京高一竞赛初赛题)己知f(x)=x+x-1,若ab≠1,且有f(a)=f(b)=0,试确定

43222-122?)的值是___. 4a1?ab的值 3.(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)f(x)=x-8x+16x+1,则f(2-3)= .

Y.P.M数学竞赛讲座 1

方程问题

方程问题是初等数学的基础问题,是数学竞赛命题的着力点之一.方程问题包括:解方程(组)与根的问题.

一、解方程(组)

数学解题的中心是从已知探索未知,解方程(组)是研究处理这一中心问题的有力手段.解方程(组)的基本思想是同解变形与消元降次.

1.指对方程

[例1]:(2002年美国数学邀请赛试题)若方程组??

?log225x?log64y?4

的两组解为(x1,y1),(x2,y2),则log30(x1y1x2y2)= .

??logx225?logy64?1

5

a?b?4??a?3???a?3??1

[解析]:设a=log225x,b=log64y,则??1?1??,??x1=2253??

???b?1???b?1??ab

,y1=641?

,x2=2253?

5

,y1=641?

5

?

log30(x1y1x2y2)=12.

[类题]:

1.①(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)方程9+|1-3|=5的实数解为 . 解:x<0无解;当x≥0时,原方程变形为3+3-6=0,解得3=2,x=log32. ②(2009年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知 ③(2006年全国高中数学联赛福建初赛试题)方程

3x?13?1

x

2x

x

x

x

x

=

13?31?x

,则实数x= .

8x?27x12?18=

7

解的个数是( ) 6

(A)1 (B)2 (C)3 (D)无穷多 解:令2=a,3=b?8=a,27=b,12=ab,18=ab?

x

x

x

3

x

3

x

2

x

2

a3?b3a2b?ab2

=

7a2?ab?b27

=?(2a-3b)(3a-2b)=0?x=-1,1. ?

66ab

x2?6x?7)

log(6

2.①(2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)方程13

-x

=2

log136

的解x= .

-1

x

②(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设函数f(x)=lg(10+1),方程f(-2)=f(2)的解为 . ③(2004年全国高中数学联赛天津初赛试题)若关于x的方程

xlg2a?1

=x只有一个实数解,则a的值等于 . x?lga

x

y

z

w

x

3.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和实数x,y,z,w,若①a=b=c=30②

1

.试求a+b+c的值. w

1wa

1=30x

1w,b

1

y

111++= xyz

解:由a=b=c=30?

xyzw

=30,

1

wc1=30z

?

1w(abc)

=30

111

??xyz

?abc=30?a=2,b=3,c=5?a+b+c=10.

2.换元法

[例2]:(2005年美国数学邀请赛试题)已知方程2333x-2+2111x+2=2222x+1+1的所有根之和为[解析]:设2111x=t(t>0),则t3+4t=2t2+1?t3-8t2+16t-4=0?x1+x2+x3=[类题]:

1.①(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知a,b是方程log3x3+log27(3x)=-4

的两个根,则a+b= . 3

14

m

((m,n)=1),则m+n= . n

112(log2t1+log2t2+log2t3)=log2(t1t2t3)= 111111111

解:令log3x3=t?log27(3x)=

11411111110

=. ?t+=-=(-1)+(-)?t=-1,-?x=,?a+b=+

3t3t33398198181

②(1999年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知logab+3logba=解:令logab=t∈(0,1)?logba=

13a?b4

,当a>b>1时,的值是 . 2a?b

1113111a?b42

=6+?t=?logab=?a=b?22=1. ?t+3=

tt2222a?b

2

2.①(2006年上海杯高二试题)方程xsinx=2在区间[0,20]内有多少个实根?

②(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程2sinx=cosx在[0,2π]上的根的个数是 . 3.①(2010年美国数学邀请赛试题)已知正实数x,y,z满足xyz=10,且lgxlg(yz)+lgylgz=468,则lg2x?lg2y?lg2z= .

81

解:设lgx=a,lgy=b,lgz=c?a+b+c=81,ab+bc+ca=468?a+b+c=(a+b+c)-2(ab+bc+ca)=81-2×468=75.

②(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知x≥1,y≥1,且logax+logay=loga(ax)+loga(ay)(其中a>0,a≠1),则loga(xy)的取值范围是 .

解:logax+logay=loga(ax)+loga(ay)?(logax–1)+(logay–1)=4,logax=2cosθ+1,logay=2sinθ+1?loga(xy)=2 (cosθ+sinθ)+2∈[2-22,2+22].

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222222

3.主元法 [例

x?y?z?0?

?

3]:(2008年全国高中数学联赛试题)方程组?xyz?z?0的有理数解(x,y,z)的个数为 .

?xy?yz?zx?y?0?

[解析]:若z=0,则?

2

2

?x?y?0?x?0?x??1

,解得?,或?;若z≠0,则由xyz+z=0得xy=-1,由x+y+z=0得z=-x-y,代入xy+yz+

?xy?y?0?y?0?y?1

zx+y=0得x+y+xy-y=0?(-

122133

)+y+(-)y-y=0?(y-1)(y-y-1)=0,易知y-y-1=0无有理数根,故y=1?x=-1?z=0,yy

矛盾,故该方程组共有两组有理数解.

[类题]:

1.①(2007年全国高中数学联赛广西初赛试题)k∈R,方程x-2kx+k+2k-3=0的实数x的取值范围是 . 解:x-2kx+k+2k-3=0?k+2(1-x)k+x-3=0?4(1-x)-4(x-3)≥0?x∈[-2,2].

②(2006年全国高中数学联赛上海初赛试题)实数x、y、z(x≠y)满足:5(x-y)+(z-y)+(z-x)=0,则= .

解:由题知,是方程(x-y)t+(z-y)t+(z-x)=0的根,而该方程恒有一根t=-1?2.(2006年上海交通大学自主招生试题)设k≥9,解方程:x+2kx+kx+9k+27=0. 解:x+2kx+kx+9k+27=0?xk+(2x+9)k+x+27=0,△=(2x+9)-4x(x+27)=(6x-9)?k=

3

2

2

2

2

3

2

2

3

2

3

2

2

2

4

2

2

2

2

4

22

44

2

2

(y?z)(z?x)(x?y)2

(y?z)(z?x)(x?y)2

=(-1)(-5).

?(2x2?9)?(6x?9)

?k=

2x

(3?k)?(k?9)(k?3)x2?3x?92

-x-3,或k=-. ?x=-k-3,或x+(k-3)x+9=0?x=-k-3,或x=

2x

?x?y?z?a

?

3.(第三届国际数学奥林匹克试题)设a、b是常数,解方程组?x2?y2?z2?b2,并求出若使x、y、z是互不相同的正数,a、

?xy?z2?

b应满足什么条件?

?x?y?z?aa2?b2a2?b2?222222解:?x2?y2?z2?b2?(a-z)=b-z+2z?2az=a-b.①若a=0?b=0?x=y=z=0;②若a≠0?z=, ?x+y=2a2a2?xy?z?

xy=(a2?b22a2?b2a2?b222)?x,y是方程t-t+()=0的两根?△= 2a2a2a

4.配方法

[例4]:(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x>1,y>1,则方程x+y+

(x,y)=_____. 33+=2(y?1x?1x?2+y?2)的解

[解析]:x+y+

x?2]+33+=2(x?2+x?1y?1y?2)?(x+33-2x?2)+(y+-2y?1x?1y?2)=0?12[x-x+3-2(x-1) x?112[y-y+3-2(y-1)y?1

2y?2]=0?11222[(x-1)-2(x-1)x?2+(x?2)]+[(y-1)-2(y-1)y?1x?1y?2+ (y?2)]=0?112[(x-1)-x?2]+[(y-1)-y?1x?1y?2]=0?x=y=21(3+). 2

[类题]:

1.①(2007年全国高中数学联赛上海初赛试题)方程x?1+2y?4+3z?9=

解:x?1+2y?4+3z?9=

=0.

②(1992年北欧数学奥林匹克试题)试求大于1的实数x,y,z满足方程:x+y+z+

z?2). 333++=2(x?2+x?1y?1z?11(x+y+z)?x-2x?1+y-421(x+y+z)的实数解(x,y,z)= . 22y?4+z-6z?9=0?(x?1-1)+(y?4-2)+(z?9-3)22y?2+

2.①(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)满足方程:x?2009?2x?2010+x?2009?2x?2010=2的所有实数为 .

解:x?2009?2x?2010+x?2009?2x?2010=2?|x?2010-1|+|x?2010+1|=2?0≤x?2010≤1. ②(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)如果关于x的方程x+x?

则实数a的取值范围是 .

解:x+x?11111211111?x?=a?x+(x??)2=a?x+x?+=a?(x?+)=a(x?≥0)?a≥. 4244242424

22222211?x?=a有且仅有一个实根,243.(2005年全国高中数学联赛福建初赛试题)实数x,y,z满足x+2y=7,y+4z=-7,z+6x=-14,则x+y+z= .

解:把三个式子相加得:(x+3)+(y+1)+(z+2)=0即得. 222

5.不等式法

[例5]:(2006年全国高中数学联赛试题)方程(x2006+1)(1+x2+x4+?+x2004)=2006x2005的实数解的个数为 .

[解析]:由(x2006+1)(1+x2+x4+?+x2004)=2006x2005?x>0.(x2006+1)(1+x2+x4+?+x2004)=2006x2005?(x+

=2006?x+x+x+?+x+

等号成立:x=n3520051x)(1+x+x+?+x) 2420041x2005+1x2003+1x2001+?+111132005=2006?2006=(x+)+(x+3)+?+(x+2005)≥2×1003=2006.xxxx1

xn?x=1?原方程的实数解个数为1.

[类题]:

1.①(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程2cos

xx–x

=10+10+1的实根的个数是 . 3

x

-x

2

②(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知a是正常数且a≠1,则方程a+a+1=3cosy的解是 . ③(2009年全国高中数学联赛上海初赛试题)满足方程log2[2cos(xy)+解:log2[2cos(xy)+

2

2

12cos2(xy)

]=-y+y+

2

3

.的所有实数对(x,y)= . 4

12cos(xy)

]≥log22=1;-y+y+

2

31112

≤1.当且仅当y=,2cos(xy)=cos(x)=??4222cos(xy)

3

2

?x=. 2

2.(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程x–解:当x>0时,x–(x-3)(x+

2

3

32

6x+3=0的全部负根之和是 .

3x33=2,即x=6,x–2x2

2

3

2

6x+3=0?x+

2

3x

2

=

32

6.x+

3x

2

=

3xx3

++2≥22x2

6.当且仅当

6x+3=

2

1

2

3

)=0.

?y?x3(3?2x)?3

3.(《数学通报》数学问题1433号)在正实数范围内,解方程组??z?y(3?2y).

?x?z3(3?2z)??

解:x=z(3-2z)=z[zz(3-2z)]≤z[

3

z?z?(3?2z)3

]=z,同理可得:y≤x,z≤y?x≤z≤y≤x?x=y=z?x=1.

3

6.单调函数法

[例6]:(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛试题)方程log5(3x+4x)=log4(5x-3x)的解集为 .

[解析]:令log5(3x+4x)=log4(5x-3x)=t?3x+4x=5t,5x-3x=4t?(消去3x)5x+4x=5t+4t?(由函数f(x)=5x+4x单调递增)x=t?3x

+4=5?(

x

x

3x4x3x4x

)+()=1?(由函数f(x)=()+()单调递减,且f(2)=1)x=2. 5555

[类题]:

1.①(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程3+4+5=6的解是 . ②(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)设t=(解之和等于 . 解:

2.①(2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)设方程x+x+1=0与x+x+1=0的根分别是α,β,则α+β

3

x

x

x

x

1x2x5x

)+()+(),则关于x的方程(t-1)(t-2)(t-3)=0的所有实数236

= .

②(1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)若α,β分别是方程log2x+x+2=0和2+x+2=0的根,则α+β= .

③(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)设α是方程x10=2011的解,β是方程xlgx=2011的解,则αβ= . 2011. 解:

3.①(1983年第17届全俄数学奥林匹克试题)解方程组?

2

2

3

2

3

2

3

2

x

x

??y2?x3?3x2?2x

. 232

??x?y?3y?2y

3

2

3

2

2

3

解:两式相减得y-x=(x-3x+2x)-(y-3y+2y)?x-2x+2x=y-2y+2y,令f(t)=t-2t+2t?f?(t)=3t-4t+2>0?x=y?x-4x+2x=0?x=0,

2

1?32?x?y?y?3?1? ②(1990年第16届全俄数学奥林匹克试题)解方程组?y3?z2?z?. 3?1?z3?x2?x??3?

解:令f(t)=3t2?t?1,则f(t)>0,且f(t)在(0,+∞)内单调递增.x,y,z>0,若x>y,由x=f(y),y=f(z),z=f(x)?f(y)> 3

1

f(z)?y>z?f(z)>f(x)?z>x矛盾.x=y=z?t=.

?1

7.方程的方程组法

[例7]:方程x+29x2

(x?3)2=16的实数解的和为 .

??x2?y2?162222?(x+y)=x+y+2xy=16+6(x+y)?(x+y)-6(x+y)-16=0?x+y=8,-2 ???xy?3(x?y)[解析]:设3x=y?xy=3(x+y)?x?3

?x?y?8?x?y??222,????t-8t+24=0(无解),t+2t-6=0?和为-2.

?xy?24?xy??6

[类题]:

1.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)方程3(x?1)(x?4)+3x?2)(5?x)=6的实数解的个数为 .

解:设a=(x?1)(x?4),b(x?2)(5?x),则a+b=6,a+b=6,因此a+b-ab=1,从而可得ab=

的两个实根,判别式△<0无解.

2.(2006年美国数学邀请赛试题)使得cos3x+cos5x=8cos4xcosx(100<x<200)成立的x值的和= . 解:设a=cos3x,b=cos5x,则a+b=cos3x+cos5x=cos(4x-x)+cos(4x+x)=2cos4xcosx?a+b=(a+b)?ab(a+b)=0. ①a=0?cos3x=0?3x=180k+90?x=60k+30?x=150;和=906.

3?x3?x23.方程=2的实数解的个数为 . 1?xx?1000000333333300332225252,因此a,b是方程t-6t+=033

解:设

323?x3?x2=2=y?1?xx?12?1?x1?x3?x2?xy2?y2?x?32222xy-xy+y-x+x-y=0(x-y)(xy+x+y-1)=0y=x,=x, ?????2221?x1?x?xy?x?y?3x?1??x+x+x=3,x-2x-1=0?x=1,1+2(增),1-2.个数为2.

8.方程组的方程法

[例?x3?xyz?2?2m3338]:(2010年美国数学邀请赛试题)设(a,b,c)为方程组??y?xyz?6的实数解,若a+b+c的最大值为((m,n)=1),n?z3?xyz?20??

则m+n= .

[解析]:设t=xyz,则t3=x3y3z3=(t+2)(t+6)(t+20)?7t2+43t+60=0?t=-4,-

=151?m+n=158. 71515333)+28 ?x+y+z=3t+28的最大值为3(-77

[类题]:

1.(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)己知a、b、c、d是四个不同的有理数,且(a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1.则(a+c)(b+c)=( )

(A)2 (B)1 (C)0 (D)-1

解;a、b是(x+c)(x+d)=1的两个根,所以a+b=-(c+d),ab=cd-1?(a+c)(b+c)=ab+(a+b)c+c=cd-c(c+d)+c-1=-1. 22

2.①(2007年全国高中数学联赛江西初赛试题)若实数x,y满足:解;据条件,2,3是关于t的方程3+5+6.

10

3

3

10

10

x2

10

?5

3

+

y2

10

?6

3

=1,

x3

10

?5

3

+

10

y3

10

?63

=1,则x+y= .

3

3

10

xt?5

+

yt?6

=1,即t-(x+y-5-6)t+?=0的两个根,所以2+3=x+y-5-6?x+y=2+

23310

②(2008年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知αβ∈R,直线

xyxy

+=1与+=1

sin??sin?sin??cos?cos??sin?cos??cos?

的交点在直线y=-x上,则sinα+cosα+sinβ+cosβ= .

?x?y?z?3

?

3.(1973年第2届美国数学奥林匹克试题)解方程组?x2?y2?z2?3.

?x5?y5?z5?3?

解;设x,y,z是方程t+at+bt+c=0的根?x+y+z=-a,xy+yz+zx=b?a=-3,b=

3

3

3

2

2

2

4

4

4

3

3

3

2

2

2

32

1222232

[(x+y+z)-(x+y+z)]=3?t=3t-3t-c? 2

5

5

5

4

4

4

3

x+y+z=3(x+y+z)-3(x+y+z)-3c=-3c?x+y+z=3(x+y+z)-3(x+y+z)-c(x+y+z)=-9-12c?x+y+z=3(x+y+z)-3(x+y+z)-c(x+y+z)=-27-30c=3?c=-1?t-3t+3t-1=0?(t-1)=0?t=1.

3

3

2

2

2

3

2

3

9.灵活消元法

[例9]:(2011年全国高中数学联赛试题)设函数f(x)=|lg(x+1)|,实数a,b(a<b)满足f(a)=f(-4lg2,求a,b的值.

b?1b?2

),f(10a+6b+21)=

[解析]:由f(x)=|lg(x+1)|,则f(m)=f(n)?|lg(m+1)|=|lg(n+1)|?m=n,或(m+1)(n+1)=1.注意到:f(-b?1b?2

b?1b?2

)=|lg(1-

)|=|lg(b+2)|=f(b+1);f(15)=|lg(15+1)|=4lg2.所以,f(a)=f(-

b?1b?2

)?f(a)=f(b+1)?a=b+1(与a<b不符),或(a

+1)(b+2)=1?(a+1)(b+2)=1;f(10a+6b+21)=4lg2?f(10a+6b+21)=f(15)?10a+6b+21=15,或(10a+6b+21+1)(15+1)=1. ①若(a+1)(b+2)=1,10a+6b+21=15?10(a+1)+6(b+2)=16?10(a+1)+a<b不符;②若(a+1)(b+2)=1?10a+6b+21+1=10(a+1)+6(b+2)=a=-21,b=-. 53

621

=16?a=0,-?b=-1,-,其中,a=0,b=-1与a?153

10

+6(b+2)>1?(10a+6b+21+1)(15+1)=1不成立.所以b?2

[类题]:

1.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题B)如果x和y是非零实数,使得|x|+y=3和|x|y+x=0,那么x+y等于 . 解:①当x>0时,x+y=3?y=3-x?x(3-x)+x=0?x-x+3=0无实根;②当x<0时,y=x+3?-x(x+3)+x=0?x-x-3=0?x=

1??x+y=2x+3=4-. 2

3

2

3

2

3

2.(2010年美国数学邀请赛试题)已知x,y满足y=

3xx4

3

3

m3yx

x,x=y,设x+y=((m,n)=1),则m+n= .

n4

1

1

解:

xx?x?x?25633xx3x3x37x448x

=(x)(x>0)?x4=()x?x4=()?x4=()?x4=?x==?x+y=?m+n=529.

8181444444

10.消去常数法

[例10]:(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)函数f(x),g(x)的迭代函数定义为:f(1)(x)=f(x),f(2)(x)=f(f(x)),

?,f(x)=f(f

(2)

(n-1)

(x));g(x)=g(x),g(x)=g(g(x)),?,g(x)=g(g

(1)(2)(2)(n-1)

(x)).其中n=2,3,4,?,设f(x)=2x-3,g(x)=3x+2.

?f(9)(x)?g(6)(y)?(9)(6)方程组??f(y)?g(z),的解为 .

?f(9)(z)?g(6)(x)??

?f(9)(x)?g(6)(y)?29(x?3)?3?36(y?1)?1?①???9(9)(6)6[解析]:f(n)(x)=2nx-3(2n-1)=2n(x-3)+3;g(n)(x)=3nx+3n-1=3n(x+1)-1,??f(y)?g(z)??2(y?3)?3?3(z?1)?1?②.

?f(9)(z)?g(6)(x)?29(z?3)?3?36(x?1)?1?③????

?29(x?y)?36(y?z)?9363623636①-②,②-③,③-①得:?x-y=(y-z)=()(z-x)=()(x-y)?x-y=0?y-z=0?x=y=z,代入2(y?z)?3(z?x)??99922296?2(z?x)?3(x?y)??

①得:2(x-3)+3=3(x+1)-1?x=-96323323 .?x=y=z=-3131

[类题]:

1.(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知a(b+c)=b(a+c)=2011,且a≠b,则abc= .

解:二式相减得:a(b+c)-b(a+c)=0?ab+(a+b)c=0?c=-

=2011?abc=ab(-ab)=-2011. a?b

222222222abab222b,代入a(b+c)=2011?a(b-)=2011?a a?ba?ba?b2.(2008年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知实数a、b、c、d,且a≠b,c≠d.若关系式:a+ac=2,b+bc=2,c+ac=4,d+ad=4

同时成立,则6a+2b+3c+2d的值为 .0

解:二式:a+ac=2,b+bc=2相减得:(a-b)(a+b+c)=0?a+b+c=0;二式c+ac=4,d+ad=4相减得:(c-d)(c+d+a)=0?a+c+d=0 ?b=d?b+ab=4;由a+ac=2,b+bc=2?ab+abc=2b,ab+abc=2a相减得:ab=-2?b=-6?b=-3a?6a+2b+3c+2d=6a+4b+ 2222222222

3c=3a+b=0.

11.整体换元法

?x?y?z?w?2?2x?y2?z2?w2?611]:(2006年全国高中数学联赛试题)解方程组?. ?3333x?y?z?w?20??x4?y4?z4?w4?66?[例

[解析]:设x+z=a,xz=b,y+w=c,yw=d,则a2=x2+z2+2b,a3=x3+z3+3ab,a4=x4+z4+4a2b-2b2,c2=y2+w2+2d,c3=y3+w3+3cd,c4=y4+w4+

?3?b?2c?2a2?c2?4c?4???22?3324cd-2d.由x-y+z-w=2?a-c=2?a=c+2??a?c?6c?12c?8??20?3ab?3cd?6c2?12c?8

??a4?c4?8c3?24c2?32c?16???

[类题]:

1.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题B)已知

解:设x+y+z=a,则111111123411+=,+=,+=,则++的值为 . xy?z2yz?x3zx?y4xyz1112xx4x23432+=?x-ax+2a=0?=1-,同理可得:=1-,=1-?++=2. xa?x2xaazaxyzy

2.(2003年德国数学奥林匹克试题)解方程组?

2??x3?y3?7. ??xy(x?y)??2222233223解:设x+y=a,xy=b?x,y是方程t-at+b=0的两根?t=at-b?x+y=a(x+y)-2b=a-2b,x+y=a(x+y)-b(x+y)=a-3ab.所

以???a3?3ab?7?a=1,b=-2?. ?ab??2?

12.数形结合法

[例12]:(2006年美国数学邀请赛试题)已知实数x,y,z满足x=

y2?y2?11111+z2?,y=z2?+x2?,z=x2?+ 1616253625m1,且x+y+z=(m,n∈Z+,n为最简根式),则m+n= . 36n

[解析]:由根式的形式联想到勾股定理,作△ABC,使AB=z,BC=x,CA=y,则三边AB,BC,CA上的高分别为1,1,1.设△ABC 645的面积为S,则x=8S,y=10S,z=12S?p=1122(x+y+z)=15S,由海伦公式:S=p(p-x)(p-y)(p-z)?S=. ?x+y+z=2157

[类题]

1.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知a,b∈R,关于x的方程x+ax+2x+bx+1=0有一个实根.求a+b的最小值. 解:x+ax+2x+bx+1=0?xa+xb+(x+2x+1)=0(视为a,b关于的直线l,直线l上的P(a,b)满足:|OP|≥d,其中d是点O到直线l的距离)?

+b=8?a=b=?2).2 43234243222a2?b2≥|x4?2x2?1|x6?x2=x4?1?2x2|x|x4?1=2|x|x4?1222 +≥22?a+b≥8(当且仅当x=?1,a+b=?4,a|x|x4?1

2.(2008年美国数学邀请赛试题)令a,b(a≥b)为正实数.ρ为

的解(x,y)满足0≤x<a,0≤y<b.设ρ=2a222222的可能的最大值,使得方程组a+y=b+x=(a-x)+(b-y)bm((m,n)=1),则m+n= . n

解:作矩形ABCD,使AB=a,AD=b,点P,Q分别在AB,BC边上AP=x,CQ=y.则|PQ|=(a-x)+(b-y),|DP|=b+x,|DQ|=a+y△DPQ为正三角形,令∠ADP=α?∠CDQ=30-αx

yyy2xb2?x2a2?y2b?xb?x2033b=====1+()=1+()= ?tanα=,tan(30-α)=??1x1aaabaab?xb?x1?tan?1?3b?tan??110222222222

4(b2?x2)

(b?x)2?(b+x)=4a?x=2a-b3?y=222bba2222 -3.由y≥0?2-3≥0?≤)?m+n=7.?ρ=(aab33

二、根的问题

在不求方程根的条件下讨论方程根的性质,是方程的另一根本问题.基本思路是等价变形和函数(图像_分析.

13.二次方程

[例13]:(1982年全国高中数学联赛试题)己知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0(k为实数)的两个实数根,x12+x22的最大值是( ) (A)19 (B)18 (C)50 (D)不存在 9

[解析]:

[类题]:

1.①(2004年全国高中数学联赛试题)设锐角θ使关于x的方程x+4xcosθ+cosθ=0有重根.则θ的弧度数为 . ②(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)设f(x)=x+bx+9,g(x)=x+dx+e,若f(x)=0的根是r,s,g(x) =0的根是–r,–s,则f(x)+g(x)=0的根是 .

2.①(2004年全国高中数学联赛山东初赛试题)己知关于x的方程sinx-(2a+1)cosx-a=0有实数解.则实数a的取值范围是 .

②(2005年全国高中数学联赛上海初赛试题)若关于x的方程4+(a+3)2+5=0至少有一个实根在区间[1,2]内,则实数a的取值范围为 . xx22222

3.①(2007年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知函数f(x)=x-2ax-3a,且方程|f(x)|=8有三个不同的实根,则实数a= .

②(2004年全国高中数学联赛福建初赛试题)设f(x)=(x-8x+c1)(x-8x+c2)(x-8x+c3)(x-8x+c4),M={x|f(x)=0}.己知M={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8}?N.那么max{c1,c2,c3,c4}-min{c1,c2,c3,c4}= . 222222

14.二次迭代

[例16]:(2004年全国高中数学联赛湖南初赛试题)对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”,若f(f(x))=x,则称x为f(x)的“稳定点”.函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B,即A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}. (Ⅰ)求证:A?B;

(Ⅱ)若f(x)=ax-1(a∈R,x∈R),且A=B≠φ,求实数a的取值范围. 2

[解析]:

[类题]:

(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设f(x)=x+ax,{x|f(x)=0,x∈R}={x|f(f(x))=0,x∈R}≠?,则满足条件的所有实数a的取值范围为 .

(2006年全国高中数学联赛上海初赛试题)设f(x)=x+ax+bcosx,{x|f(x)=0,x∈R}=f(f(x))=0,,x∈R}≠φ,则满足条件的所有实数a,b的值为 . 22

14.根的个数

[例14]:(1989年全国高中数学联赛试题)

[解析]:

[类题]:

(1984年全国高中数学联赛试题)方程sinx=lgx的实根个数是( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)大于3

(2007年全国高中数学联赛海南初赛试题)方程x-lgx=2的实数根个数为( )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)方程10sin(x+

?)=x的根的个数为 . 6132

15.根的讨论

[例15]:(2000年全国高中数学联赛试题)给定正数p,q,a,b,c,其中p≠q.若p,a,q是等比数列,p,b,c,q是等差数列,则一元二次方程bx-2ax+c=0( )

(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 2

[解析]:

[类题]:

(1981年全国高中数学联赛试题)对方程x|x|+px+q=0进行讨论,下面的结论中,哪一个是错误的( )

(A)至多有三个实根 (B)至少有一个实根 (C)仅当p-4q≥0时才有实根 (D)当p<0和q>0时有三个实根 (2006年全国高中数学联赛河北初赛试题)包含方程x+lnx=3的根的区间为( ) (A)(1,e) (B)(e,2) (C)(2,e) (D)(e,3) 2

17.参数范围

[例17]:(1995年全国高中数学联赛试题)己知方程|x-2n|=kx在区间(2n-1,2n+1]上有两个不相等的实根,则k的取值

范围是( ) (A)k>0 (B)0<k<1

2n?1 (C)11<k< (D)以上都不是 2n?12n?1

[解析]:

[类题]:

(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若关于x的方程?x2=kx+2恰有一个实根,则k的取值范围是(2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)若关于x的方程?x2=log2(x-a)有正数解,则实数a的取值范围为 . (2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若方程x=x?k有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是 . (2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知关于x的方程|x-k|=

实数k的取值范围是 .

(2009年全国高中数学联赛试题)若方程lg(kx)=2lg(x+1)仅有一个实根,那么k的取值范围是 .

2kx在区间[k-1,k+1]上有两个不相等的实根,则2

17.根的定义

[例17]:(2006年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若f(x)=(2x5+2x4-53x3-57x+54)2006,则f(

[解析]:令

[类题]:

1.(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)若sinα是方程x+3x-1=0的根,则sin2(α+

2.(2004年北京高一竞赛初赛题)己知f(x)=x+x-1,若ab≠1,且有f(a)=f(b)=0,试确定

43222-122?1)= . 2?12232006=x,则2x+2x-55=0,故f(x)=[(2x+2x-55)(x+x-1)-1]=1. 2?)的值是___. 4a1?ab的值 3.(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)f(x)=x-8x+16x+1,则f(2-3)= .

18.抽象函数

[例18]:(1991年全国高中数学联赛试题)设函数y=f(x)对一切实数x都满足f(3+x)=f(3-x),且方程f(x)=0恰有6个不同的实根,则这6个实根的和为 .

[解析]:

[类题]:

1.(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)若定义在R上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,且当0<x≤1时,f(x)=log3x,则方程f(x)=-+f(0)在区间(0,10)内的所有实根之和为 .

解:由函数f(x)的图象关于直线x=1对称,以及f(x)为奇函数知,f(x)是周期函数,4,是它的一个周期.f(0)=0,结合图象可知,f(x)=-,在(O,1)、(1,2)内各有一个实根,且这两根之和为2;在(4,5)、(5,6)内各有一个实根,且这两根之和为10;在(8,9)、(9,10)内各有一个实根,且这两根之和为18.所以方程f(x)=-在区间(0,10)内有6个不同的实根,这6个实根之和为30.

(2011年全国高中数学联赛福建初赛试题)

?1x?()?a(x?0)(2007年福建高一试题)已知函数f(x)?2,若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值范?f(x?1)(x?0)?131313

围为 .

?1x?()?a(x?0)(2004年安徽初赛题)己知f(x)=?2,且方程f(x)=x恰有两解,则实数a的取值范围是 . ??f(x?1)(x?0)

(2007年辽宁沈阳高二试题)已知关于的方程x+2px-(q-2)=0(p,q∈R)无实根,则p+q的取值范围是22

(?2,2) .

(2006年陕西初赛题)己知实系数一元二次方程x+(1+a)x+a+b+1=0的两个实根为x1,x2,且0<x1<1,x2>1,则

是 .

(2006年河南初赛题)己知关于x的方程|x|=ax+1有一个负根,而且没有正根.则实数a的取值范围是( )

(A){a|a≥1} (B){a|a≥1,或a≤-1} (C){a|a<-1,或a>1} (D){a|0<a<1}

(2004年北京高一竞赛初赛题)方程||x|-1|=a恰有3个实数根,则a等于 .

(2007年浙江宁波高一试题)已知图象连续不断的函数2ba的取值范围y?f(x)在区间?a,b?(b?a?0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点(精确到0。0001)的近似值,那么将区间

(2008年福建初赛题)方程?a,b?等分的次数至多是 。 x2?3x?2?x2?2x?3?11的实数解个数是( )

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

原方程为|x?1|(|x?2|?|x?3|)?11.分x??3、?3?x?1、1?x?2、 x?2四种情况讨论知满足方程的实数解有2个.

(2006年上海TI杯高二试题)(1)画出函数f(x)=|3|x|-1|的图像;

(2)如果关于x的方程|3|x|-1|=2+a有4个实数根,求实数a的取值集合.

(1990年第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程

x

。1 (2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程a

A.0 B.1 C.2 D.3 ?x?logax(a?0,a?1)的实数根的个数为( )

x (1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)在区间[2,3]上,方程log2log3

数是-----------------( )

(A)0 (B)1 (C)2

2?log3log2x的实根个 (D)无数个 (2008年浙江初赛题)设实系数一元二次方程x

根在区间(1,2)内,则?ax?2b?2?0有两个相异实根,其中一根在区间(0,1)内,另一b?4的取值范围是 。 a?1

解: 根据题意,设两个相异的实根为x1,x2,且0?x1?1?x2?2,则

1?x1?x2??a?3,0?x1x2?2b?2?2。

于是有 ?3?a??1,1?b?2,也即有

111????, ?3?b?4??2。 2a?14

故有1b?43?13???,即取值范围为?,?。 2a?12?22?

??x3?y3?z3?3xyz?2011. ?x?15,y?15?(2011年全国高中数学联赛试题)求所有三元整数组(x,y,z),使其满足?

解:

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