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数学教案3

发布时间:2014-02-10 11:54:49  

学习效果自评:○优

○良 ○中 ○差

导数与极值

一、导数运算:

基础知识:1、基本初等函数的导数公式:c??

(cosx)??(xn)? ? (sinx??) ) (lnx)? (ax)?? (ex)?? (loagx???

2、导数的四则运算法则:设f(x),g(x)是可导的,则

[f(x)g(x)]??

[f(x)g(x)]??[cf(x)]? ?; [f(x)]??,若f(x)?1,g(x)

[1]?? g(x)

基础练习:

sinx1、函数y?的导数为_________________; x

2、函数y?x2cosx的导数为3、f?x??0的导数是( )

A.0 B.1 C.不存在 D.不确定

4、求下列各函数的导数

1(1) y?3x2?x?5 (2

)y??x

二、导数与极值

(一)函数极值的概念

(二)函数极值的求法:(1)考虑函数的定义域并求f'(x);

(2)解方程f'(x)=0,得方程的根x0(可能不止一个)

(3)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那

么f(x0)是

么f(x0)是极小值

题型一 图像问题

1、函数f(x)的导函数图象如下

f(x)在图示区间上( ) 极大值;反之,那图所示,则函数

A.无极大值点,有四个极小值点 B.有三个极大值点,两个极小值点

C.有两个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点

b),b)内的图象如图所示, 2、函数f(x)的定义域为开区间(a,导函数f?(x)在(a,

b)内有极小值点( ) 则函数f(x)在开区间(a,

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3、若函数f(x)?x2?bx?c的图象的顶点在第四象限,则函数f?(x)的图象可能为( )

A.B.C.D.

4、设f?(x)是函数f(x)的导函数,y?f?(x) 的图象如下图所示,则y?f(x)的图象可能是(

A.

5、已知函数f?x?的导函数f??x?的图象如右图所示,那么函数f?x?的图象最有可能的是( )

6、如图所示是函数y?f(x)的导函数y?f?(x)

图象,则下列哪一个判断可能是正确的(

0)内y?f(x)为增函数 A.在区间(?2,

3)内y?f(x)为减函数 B.在区间(0,

??)内y?f(x)为增函数 C.在区间(4,

D.当x?2时y?f(x)有极小值

7、如果函数y?f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:

1?? ①函数y?f(x)在区间??3,??内单调递增; ?

?2???? ②函数y?f(x)在区间??,3?内单调递减; 21

③函数y?f(x)在区间(4,5)内单调递增; ④当x?2时,函数y?f(x)有极小值; ⑤当x??时,函数y?f(x)有极大值; 则上述判断中正确的是___________. 12

8、函数f(x)?x3?x2?的图象大致是 ( )

12

DABC

题型二 极值求法

1 求下列函数的极值

(1)f(x)=x3-3x2-9x+5; (2)f(x)=

1f(x)=x?cosx(???x??) 2lnx (3)x

2、设a为实数,函数y=ex-2x+2a,求y的单调区间与极值

1 3、设函数f(x)=?x3+x2+(m2-1)x,其中m>0。 3

(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率

4、若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13,求m的值

三、函数的最值与导数

注:求函数f(x)在闭区间[a,b]内的最值步骤如下

(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值

(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个就是

最大值,最小的一个就是最小值

题型 求闭区间上的最值

1、设在区间[a,b]上函数f(x)的图像是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)上可导,

下列命题正确的是

(1)若函数在[a,b]上有最大值,则这个最大值必是[a,b]上的极大值

(2)若函数在[a,b]上有最小值,则这个最小值必是[a,b]上的极小值

(3)若函数在[a,b]上有最值,则这个最值必在x=a或x=b处取得

2、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1,5]上的最值

3、求函数f(x)=x3-3x2+6x-10在区间[-1,1]上的最值

4、已知f(x)=x3+2x2-4x+5,求函数在[-3,1]上的最值

§2.3.1 双曲线及其标准方程(一)

1:双曲线的定义:

平面内与两定点F1,F2的距离的差的(小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线。

两定点F1,F2叫做双曲线的, 两焦点间的距离F1F2叫做双曲线的.

反思:设常数为2a ,为什么2a?F1F2?

2a?F1F2时,轨迹是

2a?F1F2时,轨迹

试试:点A(1,0),B(?1,0),若AC?BC?1,则点C的轨迹是 . 2:双曲线的标准方程:

x2y2

?2?1,(a?0,b?0,c2?a2?b2)(焦点在x轴) 2ab

其焦点坐标为F1(?c,0),F2(c,0).

例1已知双曲线的两焦点为F1(?5,0),F2(5,0),双曲线上任意点到F1,F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.

x2y2变式:已知双曲线??1的左支上一点P到左焦点的距离为10,则点P到右169

焦点的距离为.

x2y2

??1,点P在双曲线上,且到其中一个焦点变式2:已知双曲线的方程是168

F1的距离为10,点N是PF1的中点,则ON为坐标原点)

变式3.点A,B的坐标分别是(?5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们斜率之积是,试求点M的轨迹方程式,并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状.

例2 已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.

变式:如果A,B两处同时听到爆炸声,那么爆炸点在什么曲线上?为什么?

49

变式2:求适合下列条件的双曲线的标准方程式:

(1)焦点在x轴上,a?4,b?3;

(2)焦点为(0,?6),(0,6),且经过点(2,?5).

例3:已知双曲线的焦点在坐标轴上,且双曲线上两点P

1,P2的坐标分别为

?9?3,?,?,5?求双曲线的标准方程. ?4?

变式:已知双曲线的焦点在坐标轴上,且双曲线上两点P1,P2的坐标分别为?(?3,27),(?62,?7),求双曲线的标准方程.

例4 方程x2sin??y2cos??1表示焦点在y轴上的双曲线,求角?所在的象限.

???变式:已知???,??,当?的值变化时讨论方程x2sin??y2cos??1表示曲线?2?

的形状.

1.动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2,则点P的轨迹是( ).

A. 双曲线 B. 双曲线的一支

C. 两条射线 D. 一条射线

2.双曲线5x2?

ky2?5的一个焦点是,那么实数k的值为( ).

A.?25 B.25 C.?1 D.1

3.双曲线的两焦点分别为F1(?3,0),F2(3,0),若a?2,则b?( ).

A. 5 B. 13

C.

D. x2y2

4.如果???1表示焦点在y轴上的双曲线,则k的取值范围( ) k?21?k

A.?1,??? B.?2,??? C.??2,1? D.???,?2???2,???

5.已知点M(?2,0),N(2,0),动点

P满足条件|PM|?|PN|?则动点P的轨迹方程为 .

x2y26.已知方程??1表示双曲线,则m的取值范2?mm?1

围 .

7.与椭圆x2?4y2?4的公共焦点,且过点M(2,1)的双曲线的标准方程为___ .

8.动圆M与圆C:?x?2??y2?2内切且过点A(2,0),求动圆圆心M的轨迹方程.

9.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,在左支上过F1的弦AB的长为5,若2a?8,那么?ABF2的周长是____________. 2

10.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(?,0),点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则双曲线的方程是____________.

x2y2

?11.过双曲线=1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M,N两点,F2为其43

右焦点,则MF2?NF2?MN的值为____________.

x2y2

??1有共同的焦点,且过点(,4),求双曲线的12.已知双曲线与椭圆2736

方程____________.

13.已知方程ax2?ay2?b(ab?0),则它表示的曲线是____________.

14.实半轴长等于2,并且经过B(5,?2)的双曲线的标准方程是____________.

y2

2?1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,若15.设P为双曲线x?12

PF1:PF2?3:2,则?PF1F2的面积为___________.

x2y2x2y2

??1与双曲线??1有相同的焦点,则实数m的值16.若椭圆4m2m2

为 。

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