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复习专题六几何综合题

发布时间:2014-04-25 10:56:05  

复习专题五几何型综合题

【简要分析】

几何型综合题包括几何论证型综合题和几何计算型综合题两大类,一般以相似为中心,以圆为重点,还常与代数综合.它以知识上的综合性与中考中的重要性而引人注目.

值得一提的是,在近两年各地的中考试题,几何综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何型综合题命题的新趋势. 【典型考题例析】

例1:如图2-4-27,四边形ABCD是正方形,△ECF是等腰直A

角三角形,其中CE=CF,G是CD与EF的交点.

F(1)求证:△BCF≌△DCE. E

(2)若BC=5,CF=3,∠BFC=90,求DG:GC的值.

B(2005年吉林省中考题)

0图2-4-27分析与解答 (1)∵四边形 ABCD是正方形,∴∠BCF+∠FCD=90,0

BC=CD.∵△ECF是等腰直角三角形,CF=CE.∴∠ECD+∠FCD=90.∴∠BCF=∠ECD.∴△BCF≌△DCE

(2)在△BFC中,BC=5,CF=3,∠BFC=90.∴

??4.∵△

BCF≌△DCE,∴DE=BF=4,∠BFC=∠DEC=∠FCE=90.∴DE∥FC.∴△DGE∽△CGF.∴DG:GC=DE:CF=4:3.

例2:已知如图2-4-28,BE是⊙O的走私过圆上一点作⊙

O的切线交EB的延长线于P.过E点作ED∥AP交⊙O于D,连

结DB并延长交PA于C,连结AB、AD. (1)求证:AB?PB?BD.

(2)若PA=10,PB=5,求AB和CD的长.

(2005年湖北省江汉油田中考题) 分析与解答 (1)证明:∵PA是⊙O的切线,∴∠1=∠2.∵ED∥AP,∴∠P=∠PED.而∠3=∠BED,∴∠3=∠P.∴△ABD

2

P

E

图2-4-28

BD. ∽△PBA.∴AB?PB?

PA?PB?BD.(2)连结OA、AE.由切割线定理得,即10

∴△PAE∽△PBA,∴

2

2

2

5?5(?∴BE=15.又?)BE,

AEPA??2,即AE=2AB.在Rt△EBA中,152?AB2?(2AB)2,

ABPB

2

∴AB?AB、PB代入AB?PB?BD,得BD=9.又∵∠BDE=90,ED∥AP,∴DC⊥PA.∴BC∥OA.∴

BCPB

?.∴BC?OAPO

515

??3.∴CD=12 25?

2

图2-4-28

例2:如图2-4-29,⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,圆心O1在

⊙O2上,连心线O1O2与⊙O1交于点C、D,与⊙O2交于点E,与AB交于点H,连结AE.

(1)求证:AE为⊙O1的切线.

(2)若⊙O1的半径r=1,⊙O2的半径R?3,求公共弦AB的长. 2

(3)取HB的中点F,连结O1F,并延长与⊙O2相交于点G,连结EG,求EG的长

(2005年广西壮族自治区桂林市中考题)

分析与解答 (1)连结AO1.∵O1E为⊙O2的直径,∴∠O1AE=90.又∵O1A为⊙0

O1的半径,∴AE为⊙O1的切线.

(2)∵O1A=r=1,O1E=2R=3,△AO1E为Rt△,AB⊥O1E,∴△AO1E∽△HO1A.∴

1 O1A2?O1H?O1E.∴O1H?

.AB?2AH??3(3)∵F为HB的中点,∴

HF=HF?1,

∴O1F??∵AB?4O1FHFHF?O1E.∴EG?,

?O1EEGO1F.∴?HO1F??GO1E.∴Rt△O1HF∽Rt△OGE1

3? 即EG?3

例4 如图2-4-30,A为⊙O的弦EF上的一点,OB是和这条

弦垂直的半径,垂足为H,BA的延长线交⊙O于点C,过点C作⊙O

的切线与EF的延长线交于点D.

(1)求证:DA=DC

(2)当DF:EF=1:8且

AB?AC的值.

(3)将图2-4-30中的EF所在的直线往上平移到⊙O外,

如图2-4-31,使EF与OB的延长线交⊙O于点C,过点C作⊙O

的切线交EF于点D.试猜想DA=DC是否仍然成立,并证明你的

结论. (2005年山东省菏泽市中考题)

0分析与解答 (1)连结OC,则OC⊥DC,∴∠DCA=90-∠

00ACO=90-∠B.又∠DAC=∠BAE=90-∠B,∴∠DAC=∠DCA.∴

DA=DC. 图2-4-30

(2)∵DF:EF=1:8

,DF?

EF=8DF=DC图2-4-30为⊙O的切线,

∴DC2?DF?DE??18.

DC??2.

∴AF?AD?DF??AD?DC?

,,

AE?EF?AF?

AB?AC?AE?AF??24.

(3)结论DA=DC仍然成立.理由如下:如图2-4-31,延长BO交⊙O于K,连结CK,则

000∠KCB=90.又DC是⊙O的切线,∴∠DCA=∠CKB=90-∠CBK.又∠CBK=∠HBA,∴∠BAH=90-0∠HBA=90-∠CBK.∴∠DCA=∠BAH.∴DA=DC.

说明:本题是融几何证明、计算和开放探索于一体的综合题,是近几年中考的热点题目型,同学们复习时要引起注意.

【提高训练17】

1.如图2-4-32,已知在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB和BC上的点,连结DE并延长与AC的延长线相交于点F.若DE=EF,B求证:BD=CF.(2005年湖北省十堰市中考题) E

F2.点O是△ABC所在平面内一动点,连结OB、OC,并将AB、OB、图2-4-32

OC、AC的中点D、E、F、G依次连结,如果DEFG能构成四边形.(1)A

如图2-4-33,当O点在△ABC内时,求证四边形DEFG是平行四

边形.(2)当点O移动到△ABC外时,(1)中的结论是否成立?画出图形,并说明理由.(3)若四边形DEFG为矩形,O点所在

位置应满足什么条件?试说明理由. FBC (2005年宁夏回族自治区灵武市中考题) 图2-4-33

D3.如图2-4-35,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠DBC=450.翻折梯

形ABCD,使点B重合于点D,折痕分别交边AB、BC于点F、E.若AD=2,BC=8,求:(1)BE的长.(2)∠CDE的正切值.

CB (2004年上海市中考题) E 图2-4-34

04.如图2-4-35,四边形ABCD内接于⊙O,已知直径AD=2,∠ABC=120,0∠ACB=45,连结OB交AC于点E.(1)求AC的长.(2)求CE:AE的值.(3)在CB的延长上取一点P,使PB=2BC,试判断直线PA和⊙O的位置关系,并加以证明你的结论. (2005年安徽省六安市中考题) 图2-4-35

5.如图2-4-36,已知AB是⊙O的直径,BC、CD分别是⊙O的切线,切点分别为B、D,E是BA和CD的延长线的交点.(1)猜想AD与OC的位置关系,并另以证明.(2)设AD?OC的值为S,⊙O

的半径为r,试探究S与r的关系.(3)当r=2,sin?E?1时,3求AD和OC的长. 图2-4-36

(2005年湖北省襄樊市中考题)

【提高训练17答案】

1.过D作DG∥AC交BC于G,证明△DGE≌△FCE 2.(1)证明DG∥EF即可 (2)结论仍然成立,证明略 (3)O点应在过A点且垂直于BC的直线上(A点除外),说理

13略. 3.(1)BE=5 (2)tan?CDE? 4.(1

)AC?(2)CE:AE? (3)25

∵CE:AE?1,PB=2BC,∴CE:AE=CB:PB.∴BE∥AP.∴AO⊥AP.∴PA为⊙O的切线 5.(1)2

0AD∥OC,证明略 (2)连结BD,在△ABD和△OCB中,∵AB是直径,∴∠ADB=∠OBC=90.又

∵∠OCB=∠BAD,∴Rt△ABD∽Rt△OCB.∴S?2r2 (3

)AD?

ADABOC?AB?OB?2r?r?2r2,∴.S?AD??OBOC,OC?

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