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简单的三角恒等变换:课件三(21张PPT)

发布时间:2014-05-14 13:51:38  

简单的三角恒等变换

复习 和(差)角公式

倍角公式

例1 试用cos ?表示 sin 解 ?是
?
的二倍角.

2

?
2

, cos

2

?
2

, tan

2

?
2

.

2 ? 2 在公式 cos 2? ? 1 ? 2 sin ?中, 以?代替2? , 以 代替? , 2 2 ? cos ? ? 1 ? 2 sin 2 1 ? cos ? 2 ? sin ?       ① 2 2
2

在公式 cos 2? ? 2 cos ? ? 1中, 以?代替2? , 以 2 1 ? cos ? 2 ? cos ?      ② 2 2 cos ? ? 2 cos
2 ?

?

?1

2

代替? ,

1 ? cos ? ① 2 ?  得 tan ? ② 2 1 ? cos ?

可表示为 : 1 ? cos? sin ? ? 2 2 1 ? cos? cos ? ? 2 2 1 ? cos? t an ? ? 2 1 ? cos? 称为半角公式, 符号 由

?

?

?

?
2

所在象限决定.

例2 求证 ?1?sin ? cos ?

解 (1) sin(?+?)和sin(?-?)是我们学过的知识,所
以从右边着手 sin(?+?) = sin?cos?+cos?sin? sin(?-?) = sin?cos?-cos?sin? 两式相加,得 sin(?+?) + sin(?-?) = 2sin?cos?
1 sin ? cos ? ? ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? 2

1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ??; 2 ? ?? ? ?? ?2?sin ? ? sin ? ? 2 sin cos . 2 2 ?

(2) 由(1)可得 sin(?+?) + sin(?-?) = 2sin?cos? 设 ?+?=?, ?-?=?



??

? ??
2

,? ?

? ??
2

把?,?的值代入①,即得

sin ? ? sin ? ? 2 sin

? ??
2

cos

? ??
2

.

思考

在例2证明过程中用到了哪些数学思想方法?

例2证明中用到换元思想, ①式是积化和差的形式, ②式是和差化积的形式; 在后面的练习当中还有六个关于积化和差、 和差化积的公式.

值 例3 求函数y ? sin x ? 3 cos x的周期,最大值和最小

分析:利用三角恒等变换,先把函数式化简,再求相 应的值.

解 y ? sin x ? 3 cos x

?1 ? 3 ? ? 2? sin x ? cos x ?2 ? 2 ? ? ? ? ? 2? sin x cos ? cos x sin 3 ? ?? ? ? 2 sin ? x ? ? 3? ?

点评:例3是三角 恒等变换在数学中 应用的举例,它使 三角函数中对函数 ? ? 的性质研究得到延 ? 伸,体现了三角变 3? 换在化简三角函数 式 中 的 作 用 .

所以,所求的周期为2??,最大值为2,最小值为-2.

例4 如图,已知 OPQ是半径为1,圆心角为

?

3 弧上的动点 ,ABCD是扇形的内接矩形. 记?COP ? ? , 求

的扇形 ,C是扇形

当角?取何值时, 矩形ABCD的面积最大?并求出最大面积 .

分析:要求当角?取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与?之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.



在Rt△OBC中,OB=cos?,BC=sin?
在Rt△OAD中,
DA ? tan 60 ? ? 3 OA

3 3 3 OA ? DA ? BC ? sin ? 3 3 3 3 AB ? OB ? OA ? cos ? ? sin ? 3

设矩形ABCD的面积为S,则

S ? AB

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