haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 小学教育 > 小学数学小学数学

整数和整除的意义

发布时间:2014-05-31 23:39:17  

整数和整除的意义、倍数和因数

(一)、整数和整除的意义

1、 数的产生

你们知道自然数是怎样产生的吗?

自然数是在人类的生产劳动中逐渐产生的。人类是在生产劳动中,形成“有”和“无”的存在概念;“多”和“少”的比较概念的。

在长期、重复进行的“有”和“无”、“多”和“少”的存在和比较的过程中,人们逐渐认识到有很多物体的数量集合可以“一一对应”,这些“一一对应”的集合中的物体是同样多的。例如,三头牛和三只羊,在数量上是同样多,人一只手的五个手指,既可以用来表示五个人,也可以用来表示五匹马。于是自然数就从事物集合中被抽象出来,自然数也就产生了。

以后随着社会的发展,数的概念逐渐推广。例如,由于生产的发展,自然数已不能满足需要,因而引人了分数。如,一片草地的一半是11,一半的一半就是。 24

自然数:人们在数物体的时候,用来表示物体个数的数,例如 0、1、2、3、4、5、??叫做自然数。

相邻的两个自然数间不再有自然数,不相邻的两个自然数之间,有有限个自然数存在。

2、 自然数的单位

任何一个非0自然数都是由若干个“1”组成的,所以“1”是自然数的单位。

任意一个非0自然数n,都是n个1相加的结果。由0开始,逐次进行“加1”运算,可以得到顺序排列(连续)的各个自然数。

自然数的个数是无限的,最小的自然数是“0”,没有最大的自然数。

3、 整数

整数; 正整数、零、负正整统称为整数。

正整数:非0自然数也叫正整数,即1,2,3,4,??

负整数:小于0的整数叫负整数。负整数的表示方法是在整数前面加上“–”(读作负)号。

最大的负整数是–1,没有最小的负整数,没有最大的整数。

4、 零

现在我们知道0是一个数,是最小的自然数。那么,你们有谁知道零有哪些性质和作用? 零的性质:

1)0是一个自然数,并且是一个整数,且小于一切非0自然数。

2)0是偶数;在十进制记数法中起占位作用。

3)0可以表示一个物体都没有,也可以表示确定的内容,例如:飞机零点起飞。 4)0是任意非0自然数的倍数(0除以任意非0自然数的结果为0)

5)任何数与0相加,值不变。

6)任何数与0相乘,积等于0。

7)任何数减去0它的值不变。

8)相同的两个数相减,差等于0。

9)0不能作除数。

10)0是唯一的一个中性数,既不是正数也不是负数。

11)0被非0的数除商等于0。

零的作用:

1)表示数位。如:304、0.07中“0”是表示数位的。

2)记帐的需要。如:5元通常记作5.00元,以防止错位。

3)用于编号。如:00045使人知道最大的号数是五位数。

4)0可以表示起点。如:刻度尺上的刻度以0为起点。

5)0可以表示精确度。如:近似数3.50表示精确到百分之一。

6)0可以作为某些数量的界限。如:数轴上它是界其左边的数(负数)与其右边的数(正数)的界限;在摄氏湿度计上,0上温度与0下温度的分界。

7)表示关节点。如:水结冰,这个关节温度用“0”表示。

5、 整除的意义

1) 思考:15名学生参加夏令营,他们想分成相等的几个小组进行活动,可以怎样分组呢?

2) 观察:下面两组算式卡片中的被除数和除数都是整数,它们的运算结果有仕么不同?

① 24÷2=12 ② 6÷5=1.2

21÷3=7 17÷10=1.7

84÷21=4 35÷6=5??5

第①组算式中的商都是整数,余数为0。 第②组算式中的商是小数,或者除不尽。 整除:整数a除以整数b(b≠0),如果除得的商是整数而余数为零,我们就说数a能被数b整除或b能整除a。

确定整除的条件:(三整余零)

1、除数、被除数都是整数;

2、被除数除以除数,商是整数而且余数为零。

除尽:在整数或小数除法中,如果商是整数或有限小数,则叫做能够除尽。

例如 21÷3=7,10÷8=1.25,0.3÷0.4=0.75,等等。

除不尽:数a除以数b(b≠0),当所得的商是一个无限循环小数时,我们就说数b除不尽数a,或者说数a不能被数b除尽。

例如 4÷3=1.333??,24÷11=2.1818??,都是除不尽的例子。

6、 整除与除尽的区别

整除概念如前,它一般只在整数范围内讨论,并且被除数和除数要求是整数,商必须是“整数而没有余数”;而除尽的情况,并未限制在这一数域范围

内,也未规定商必须是“整数而没有余数”。它的被除数、除数(不等于0)和商,既可以是整数,也可以是有限小数,只要除完后没有余数就可以了。

例如 17÷4=4.25,24÷4=6,0.12÷0.04=3,这三个算式的被除数都能被除数

除尽。但是能说被除数被除数整除的,却只有一个——24能被4整除。

练习:

1、在下列各组数中,如果第一个数能被第二个数整除,请在( )内打“√”,不能整除的打

“×”.

72和36 17和34 20和5 0.5和5

( ) ( ) ( ) ( )

18和3 19和38 0.2和4 17和3

( ) ( ) ( ) ( ) 2、下列各题中,第一个数能被第二个数整除的有( )个

①34、17

②3、6 ③5、2 ④1.5、0.5 ⑤18、1

A 1 B 2 C 3 D 4

3、下列说法中正确的是( )

A 整数包括正整数和负整数 B 非负整数是自然数

C 若整数m除以整数n恰好能除尽,则m一定能被n整除

D 若m÷n余数为0,则n一定能整除m

4、12÷4=3,我们可以说 能被 整除;也可以说 能整除

5、写出两个以13为除数的算式:

6、已知29能被正整数a整除,则a可能是(写出所有可能的数)

7、若一个自然数为a(a>0),则与它相邻的两个自然数可以表示为;已知三个连续的自然数之和是54,则这三个数是 。

8、正整数24能被正整数a整除,写出所有满足条件的a的值:

9、若两个整数a、b都能被不等于0的整数c整除,商分别是m、n

(1)写出上面的两个整除算式

(2)它们的和与差也能被c整除吗?说明理由,并举例说明。

10、有三个自然数,其和为13,讲坛们分别填入下式的括号内,满足等式要求:

( )-1=( )÷5=( )+2,求这三个自然数。

(二)、倍数和因数

1、每千克梨要4元,买5千克梨需要多少钱?

根据算式5×4=20 (元) 可以说:20是4的倍数;20是5的倍数;

4是20的因数;5是20的因数。

2、每千克苹果要6元,买3千克苹果需要多少钱?你能根据算式说一说谁是谁的倍数,谁是谁的因数吗?

3、每千克葡萄3.6元,买2千克葡萄需要多少钱?

3.6×2=7.2(元)

观察:具有倍数和因数关系的算式有什么特点?

4、小结:我们只在零除外的自然数范围内研究倍数和因数。也就是说,乘法算式中的三个数都是不为零的自然数。倍数与因数是两个数的相互关系,单独一个数不能说成倍数或因数。

问题:一个数有多少倍数?最大的是多少?最小的倍数是多少?一个数的倍数是 (填有限或无限)

一个数有多少因数?最大的是多少?最小的因数是多少?一个数的因数是 (填有限或无限)

找一个数因数的方法是什么?

例题:找出36的所有因数。

5、根据算式说说哪个数是哪个数的倍数,哪个数是哪个数的因数:

18×2=36 22×7=154 25×4=100 6×8=48

练习:1、口算下面个题:

15÷3= 7÷1= 10÷4= 36÷0.6= 6÷6=

问:你认为哪些算式具有倍数和因数的关系?为什么?

说一说7÷1=7 6÷6=1

2、10÷4=2.5 36÷0.6=60 为什么不是整除的算式?

3、找出能整除的算式,说一说谁是谁的倍数,谁是谁的因数?

60÷5 8÷1 15÷2 8÷8 1÷8 200÷10

总结:有倍数和因数关系的乘法算式或除法算式有什么特点?

4、写出100以内8的倍数、写出100以内6的全部倍数。

5、计算并说一说谁是谁的倍数,谁是谁的因数?

24÷6= 72÷8= 9÷9= 100÷25=

25×3= 14×6= 20×9=

6、下面各组数中,有因数和倍数关系的有哪些?

16和2 140和20 45和15

13、用16块1平方厘米的正方形,可以拼成多少种形状不同的长方形,它们的长分别是多少?

练习:1. 在自然数里,最小的质数是( ),最小的合数是( ),最小的奇数是( ),最小的自然数是( )。

2. 在1,2,9这三个数中,( )既是质数又是偶数,( )既是合数又是奇数,( )既不是质数也不是合数。

3. 10能被0.5( ),10能被5( )。

4. a÷b=4(a,b都是非0自然数),a是b的( )数,b是a的( )数。

5. 自然数a的最小因数是( ),最大因数是( ),最小倍数是( )。

6. 20以内不是偶数的合数有( ),不是奇数的质数有( )。

7. 同时是2,3,5的倍数的最小三位数是( ),最大三位数是( )。

8. 18和30的最大公因数是( ),最小公倍数是( )。

9. 102分解质因数是( )。

10. 数a和数b是互质数,它们的最小公倍数是最大公因数的( )倍。

11. 在1到10之间的十个数中,( )和( )这两个数既是合数又是互质数;( )和( )这两个数既是奇数又是互质数;( )和( )这两个数既是质数又是互质数;( )和( )这两个数一个是质数,一个是合数,它们是互质数。

12. 在6,9,15,32,45,60这六个数中,3的倍数的数是( );含有因数5的数是( );既是2的倍数又是3的倍数的数是( );同时是3和5的倍数的数是( )。

13. 28的因数有( ),50以内13的倍数有( )。

14. 一位数中,最大的两个互质合数的最小公倍数是( )。

15. 在自然数中,最小的质数与最小的奇数的和是( ),最小的合数与最小的自然数的差是( )。

516. 2 的分数单位是( ),它减少( )个这样的分数单位是最小的质数,增加6

( )个这样的分数单位是最小的合数。

17. 493至少增加( )才是3的倍数,至少减少( )才有因数5,至少增加( )才是2的倍数。

18. 把4.87的小数点向左移动三位,再向右移动两位后,这个数是( )。

19. 一个最简真分数的分子是质数,分子与分母的积是48,这个最简真分数是( )。

20. A=2×2×3×7,B=2×2×2×7,A和B的最大公因数是( ),最小公倍数是( )。

21. 一个数的最大因数是36,这个数是( ),把它分解质因数是( )。

22. 三个质数的最小公倍数是231,这三个质数是( ),( ),( )。

23. 从0,2,3,6,8和5这六个数中选四个数,组成的同时是2,3,5的倍数的最大四位数是( )。

24. 三个连续自然数的和是21,这三个数的最小公倍数是( )。

25. 用2,3,5去除都余1的数中,最小的数是( )。

26. 由10以内的质数和0组成的是2,3,5的倍数的最小三位数是( )

27. 根据条件在下面括号里填上适当的数。

质数 奇数 偶数 质数 奇数

20﹤( )﹤( )﹤( )﹤( )﹤( )﹤32

28. 一个三位数,既是12的倍数,又是5的倍数,且9又是它的因数,这个三位数最大的是( )。

29. 一个是2和3的倍数的四位数,它的千位上的数既是奇数又是合数,它的百位上的数不是质数也不是合数,它的十位上的数是最小的质数,个位上的数是( )或( )。

30. 三个连续偶数的和是42,这三个数的最大公因数是( )。

31. 从0,3,5,7四个数中挑三个能同时被2,3,5整除的三位数,这样的三位数共有( )个。

32. 一个合数的质因数是10以内的所有质数,这个合数是( )。

33. 甲是乙的二分之一,甲数和乙数的最小公倍数是54,甲数是( ),乙数是( )。

34. 一个两位数加上2是2的倍数,加上5是5的倍数,加上7是7的倍数,这个数是( )。

35. 一个小数,如果把它的小数点向左移动两位,得到的数比原数小0.396,原来的小数是( )。

36. 如果被减数,减数与差的和是54.8,被减数是( )。

337. 在一个减法算式里,被减数,减数和差相加的和是50,已知差是减数的 ,这个减5

法算式是( )

738.把的分母去掉后,所得的数是原分数的( )倍。 9

239. 的分子增加6,要使分数大小不变,分母应增加( )。 9

40. 一个最简分数,把它的分子扩大4倍,分母缩小4倍,等于24,这个最简分数是( )

41. 一个最简真分数的分子,分母的积是50,这个分数是( )或( )

42. 有两根钢管,一根长72分米,另一根长90分米,把它们截成同样长的小段而不浪费,每小段最长( )分米。

43. 某长途汽车站向东线每20分钟发一辆车,向西线每15分钟发一辆车,如果同时向两线发车,至少要经过( )分钟又同时发车。

144. 有两个质数,它们的和的倒数是 ,这两个质数分别是( )和( )。 10

45. 贝贝用一些长6厘米,宽4厘米长方形纸板拼图形,至少( )张就能拼成一个正方形。

11146. 一次数学竞赛,结果参加学生中 获得二等奖, 获得三等奖,其732

余获得纪念奖,参加竞赛的至少有( )名同学。

47. 五(1)班同学上体育课,站成长方形队伍,排成3行,最后1行少1人;排成4行最后余3人;排成5行少1人,排成6行多5人。上体育课的同学可能是( )人。

48.在30和40之间找出两个自然数,使它们的积与21×60相等,那么这两个自然数是( )和( )。

49. 四名学生恰好一个比一个大一岁,年龄的积为5040,这四名同学的年龄从小到大的顺序是( ),( ),( ),( )。

50. 把长,宽,高分别是150厘米,90厘米,60厘米的长方体木料,锯成大小一样的正方体木块没有剩余,最少可以锯成( )块。

51. 周艳有一盒巧克力糖,7粒一数还余4粒,5粒一数又少3个,3粒一数正好没剩余,这盒巧克力至少有( )粒。

52. 一个长方体的长,宽,高是三个两两互质且均大于1的自然数,已知这个长方体的体积是5525立方厘米,那么它的表面积是( )平方厘米。

53. 把自然数a和b分解质因数得到:a=2×5×7×m,b=3×5×m,如果a和b的最小公倍数是2310,那么m=( )。

54. ( )与60的最大公因数是12,最小公倍数是120.

55. 用三个不同质数组成一个三位数,使这个三位数能被它的每个数字整除,这个三位数是( )

56. 甲,乙两人岁数之和是一个两位数,这个两位数是一个质数,这个质数每一位上的数字之和是13,甲刚好比乙大13岁,那么甲是( )岁,乙是( )岁。

57. 把A分解质因数是A=a×b×c(a,b,c均为质数),A的因数有( )个。

58. 若30030的所有不同质因数,按从大到小的顺序排列为a,b,c,d,e,?则(a-b)×(b-c)×(c-d)×(d-e)?的结果是( )

59. 甲乙两数的和是2193.4,乙数的小数点向左移动一位就等于甲数,甲数是( ),乙数是( )。

60. 两个数的乘积是432,最小公倍数是144,这两个数是( )和( )或( )和( )。

61. 一个数分别被2,4,5除都余1,这个数在100到130之间,这个数是( )或( )。

62. 有A,B,C,D四个自然数,A和B的最小公倍数是36,C和D的最小公倍数是90,A,B,C,D四个数的最小公倍数是( )

63. 去年,父子两人的年龄都是质数,今年它们的岁数之积为304,今年父子两人的年龄各是( )岁和( )岁。

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com