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公倍数和公因数基本概念Document (3)

发布时间:2014-06-29 14:02:57  

公因数与公倍数基本概念及应用汇总

1、公因数:几个数共有的因数,叫这几个数的公因数。

最大公因数:公因数中最大的一个叫这几个数的最大公因数。

2、公倍数:几个数共有的倍数,叫这几个数的公倍数。 最小公倍数:公倍数中最小的一个叫这几个数的最大公倍数。

3、三种关系的数如何求最小公倍数与最大公因数:

①当两个数是互质数时,它们的最大公因数是1,最小公倍是它们的积;

②当两个数是倍数关系时,较小的数是这两个数的最大公因数,较大的数是这两个数的最小公倍数;

③当两个数是一般关系时,用短除法求这两个数的最大公因数与最小公倍数。

由此可知,最大公因数是公有质因数连乘的积,最小公倍数是公有和独有因数连成的积。可见,最小公倍数是最大公因数的倍数,最大公因数是最小公倍数的因数。掌握这一点是解决此类问题的关键。

4、最大公因数与最小公倍数实际应用例题。

例1、A=2×3×5×7,则A因数有( )个。

分析:一个合数分解质因数后,其因数是一个或几个质因数连成的积。因此,数A的因数为;一个质因数构成的,2、3、5、7;两个质因数构成的6、10、14、15、21、35;三个质因数构成的30、42、105、70;四个质因数构成的210;除此之外还有1.共16个。 例2、A=2×2×3 B=2×3×5则A、B的最大公因数与最小公倍数分别是( )( ) 分析:因为“最大公因数是公有质因数连乘的积”,所以

A、B的最大公因数为2×3=6;“最小公倍数是公有和独有因数连成的积” A、B的最小公倍数为2×3×2×5=60

练习①已知甲、乙两数的最大公因数是6,最小公倍数是36,求甲、乙两数。

分析:“最小公倍数是公有和独有因数连成的积,因此最小公倍数是最大公因数的倍数,” 解析36÷6=6 6即为独有因数的积,6=1×6或 6=2×3因此甲乙两个数分别为(1×6=6 6×6=36)或(2×6=12 3×6=18)

②两个数最大公因数是12,最小公倍数是180,且大数不是小数的倍数,求这两个数。

解析:180÷12=15 15=3×5 (3×12=36 5×12=60)

例3、两个数的最大公因数是42,最小公倍数是2940,且两个数的和是714,这两个数各是多少?

解析:2940÷42=70 ﹙70为独有因数连成的积﹚。“两个数的和是714”,则两数和是最大公因数的倍数,它是最大公因数与独有因数和的积,因此714÷42=17,17是独有因数的和。因此70只能分解成10和7的积,70=7×10 (7×42=294 10×42=420) 练习①已知两个自然数的和为72,它们的最大公因数是12,求这两个数。

解析:72÷12=6 6=1+5 (1×12=12 5×12=60)

例4、把长20厘米,宽42厘米的长方形铁片剪成边长是整厘米数,面积相等的正方形铁片,并且没有剩余,至少可剪多少块?

分析:因为要剪成“面积相等的正方形铁片,并且没有剩余”,因此,正方的边长既是20的因数,也是42的因数,并且是最大的公因数;42和20的最大公因数是2,故正方形边长为2厘米。

剪得块数即为:(20÷2)×(42÷2)=210(块)

求54、36、72的最大公因数。

练习②把长120厘米,宽80厘米的铁板裁成面积相等,最大的正方形而且没有剩余,可以裁成多少块?

提示:求120、18的最大公因数。

例5、用长5厘米,宽3厘米的长方形铁片,摆成一个正方形(中间没有空隙),至少要有多少块这种长方形铁片?

分析:用这样的长方形摆成正方形,则正方形的边长既是5的倍数,也是3的倍数。因是至少需几块,所以应该是5和3的最小公倍数。5和3的最小公倍数是15。 所以需块数为:(15÷5)×(15÷3)=15 (块)

练习①排练团体操时,要求队伍变成10行、15行、18行、24行时,队形都能成为长方形,最少需要多少人参加团体操的排练?

提示:求10,15,18,24 的最小公倍数,[10,15,18,24]=360

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例6、某幼儿园借阅图书,如借35本,平均分给每个小朋友差1本;如借56本,平均分给每个小朋友后还剩2本;如借69本,平均分给每个小朋友则差3本。这个班的小朋友最多有多少人?

分析:小朋友数即为36、54、72的最大公因数。

例7现在有香蕉42千克,苹果112千克,桔子70千克,平均分给幼儿园的几个班,每班分到的这三种水果的数量分别相等,那么最多分给了多少个班?每个班至少分到了三种水果各多少千克?

分析:班数即为42、112、70的最大公因数。每种水果数除以班数即为分得的水果。 练习①有三根铁丝,一根长54米,一根长72米,一根长36米,要把它们截成同样长的小段,不许剩余,每段最长是多少米?

例8、练习①、有一个自然数,被6除余1,被5除余1,被4除余1,这个自然数最小是几?

分析:该自然数即为4、5、6的最小公倍数加1.

练习①每筐梨,按每份两个梨分多1个,每份3个梨分多2个,每份5个梨多4个,则筐里至少有多少个梨?

求2、3、5的最小公倍数加1.

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