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分班考数学试卷(2)

发布时间:2014-07-04 14:20:49  

高一自主招生考试 数 学 试 卷

一、选择题(本大题共7个小题,每小题6分,共42分)

1.在△ABC中,∠C=90°,∠B的平分线交AC于D.则

A.sinB B.cosB C.tanB AB?BC=: AD1D. tanB

2.在分别标有号码2,3,4,…,10的9张卡片中,随机取出两张卡片,记下 它们的标号,则较大标号被较小标号整除的概率是:

A.7 36 B.5 18 C.2 9 D.1 4

3.已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(?1,0),B(5,0),C(2,2),D(0,2),直线y?kx?2将梯形分成面积相等的两部分,则k的值为:

2242B.? C.?D.? 3 97 7

4.如图,三个全等的正方形内接于圆,正方形的边长为16,则圆的半径为: A. ?

A

. B

. C

. D

.5.若自然数n使得作竖式加法n?(n?1)?(n?2)时均不产生进位现象,便 称n为“好数”.如因为12+13+14不产生进位现象,所以12是“好数”;但

13+14+15产生进位现象,所以13不是“好数”,则不超过100的“好数”共有:

A.9个 B.11个 C.12个 D.15个

6.函数y?x|x|?2x?2的图象与x轴的交点个数是:

A.4 B.3 C.1 D.0

22227.已知实数a、b满足(a?1)?(a?6)?10?|b?3|?|b?2|,则a?b的最大值为:

A.50 B.45 C.40 D.10

二、填空题(本大题共6个小题,每小题7分,共42分)

8.已知关于x的方程x?x?k有两个不同的实数根,则实数k的取值范围是

33(x?0)的图象上,点B、D都在 x10.如图,点A、C都在函数y?

x轴上,且使得△OAB、△BCD都是等边三角形,则点D的坐标

为 .

x 1

12.二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示,Q(n,2)是图象上的一点,且AQ?BQ,则a 的值为 .

(第12题图) (第13题图①) (第13题图②)

13.将两个相似比为1:2的等腰直角三角形如图①放置,小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合.绕点C旋转小直角三角形,使它的斜边与AB交于点E,CD的延长线与AB交于点F,如图②.若AE?2,BF?1,则EF= .

三、解答题(本大题共5个小题,计66分,写出必要的推算或演算步骤)

14.(本题12分)一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间.过了10分钟,小轿车追上了货车;又过了5分钟,小轿车追上了客车.问再过多少分钟,货车追上了客车?

15.(本题12分)已知m,n为整数,给出如下三个关于x方程:

①x2?(6?m)x?7?n?0 ②x?mx?3?n?0 2③x2?(4?m)x?5?n?0

2013若方程①有两个相等的实数根,方程②③有且仅有一个方程有两个不相等的实数根,求(m?n)

值.

2

16.(本题14分)已知如图,抛物线y?ax?bx?2与x轴相交于B(x1,0)、C(x2,0)(x1,x2均大

于0)两点, 与y轴的正半轴相交于A点. 过A、B、C三点的⊙P与y轴相切于点A,其面积为225? . 4

(1)请确定抛物线的解析式;

(2)M为y轴负半轴上的一个动点,直线MB交⊙P于点D.若△AOB与以A、B、D为顶点的三角

形相似,求MB?MD的值.(先画出符合题意的示意图再求解).

17.(本题14分)如图,已知菱形ABCD,∠B=60°.△ADC内一点M满足∠AMC=120°,若直线BA与CM交于点P,直线BC与AM交于点Q,求证:P、D、Q三点共线.

18.(本题14分)某寄宿制学校的一间宿舍里住着若干名学生,其中一人担任舍长.元旦时,该宿舍里的每名学生互赠一张贺卡,且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡,每位管理员也回赠舍长一张贺卡,这样共用去了51张贺卡,问这间宿舍里住有多少名学生?

3

数学参考答案

118.0?k? 9.5 10.(26,0) 11.?2 12.? 13. 42

三、解答题(本大题共5个小题,计66分,写出必要的推算或演算步骤)

14.解:设在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离均为S千米,小轿车、货车、客车的速度分别为a,b,c(千米/分),并设货车经x分钟追上客车,由题意得

?10(a?b)?S? ?15(a?c)?2S …………………………………………………………………………6分 ?x(b?c)?S?

(b?c)?S, ∴x?30. ……………………………………………………10分 ∴30

故30-10-5=15(分).

答:再过15分钟,货车追上了客车.……………………………………………………12分

15.解:依题意得

?(6?m)2?4(7?n)?0?? (1)?(6?m)2?4(7?n)?0?? (1)?2?2或m?4(3?n)?0????(2)??m?4(3?n)?0????(2)……4分

?(4?m)2?4(5?n)?0??(3)?(4?m)2?4(5?n)?0??(3)??

由(1)得4n??m?12m?8代入(2)、(3)得

又m,n为整数,?m?2或m?3 当?m?2时,n?3;当m?3时,n?25?m?3或无解………………7分 319(舍) 4

?m?2,n?3

则(m?n)2013??1………… …12分

5,取BC中点为E,连接PB,PE,则PE?BC 216.(1)解:根据题意知:圆半径PA=

5,PO=OA=2,由勾股定理和圆性质知: 2

3 BE=CE= 2且PB=PA=

从而知:B(1,0),C(4,0)…………………………………………………………3分 将B,C两点坐标代入抛物线方程,可得:

抛物线的解析式是:y?1x2?5x?2 ……………………………………6分 22

4

(2)根据题意∠OAB=∠ADB,所以△AOB和△ABD相似有两种情况 ①∠ABD和∠AOB对应,此时AD 是⊙P的直径

则AB=5,AD=5,BD=2 ?Rt?AMB∽Rt?DAB

∴MA:AD=AB:BD 即MA=AB?AD5? BD2

又?Rt?AMB∽Rt?DMA

∴MA:MD=MB:MA

即MB·MD=MA2=25

4……………………………………………………10分

②∠BAD和∠AOB对应,此时BD是⊙P的直径,所以直线MB过P点 ∵B(1,0),P(5,2) 2

∴直线MB的解析式是:y?4x?4 33∴M点的坐标为(0,?∴ AM=4) 310 由△MAB∽△MDA 得MA:MD=MB:MA 3

100∴MB·MD=MA2=………………………………………………14分 9

17.证:连结PD,DQ.易证?PAC∽?AMC,

?AMC∽?ACQ,……………………3分

∴PAACACQC,. ??AMMCAMMC

∴AC2?PA?QC,………………………………………………7分

∵AC?AD?DC,

∴PAAD?, DCQC

∵?PAD??DCQ?60?,

∴?PAD∽?DCQ,…………………………………………………………………………10分 ∴?APD??CDQ,

∴?PDA??ADC??CDQ?180?,

∴P、D、Q三点共线.……………………………………………………………………14分

18.解:这间宿舍住着x名学生,y名管理员(x,y?N),

由题意得x(x?1)?xy?y?51, ………………………………………………………4分 化简得x?(y?1)x?y?51?0,

5

2

则??(y?1)2?4(y?51)?y2?6y?205?(y?3)2?196,

∵x?N,∴?必为完全平方数. ………………………………………………………6分 设(y?3)2?196?k2(k?N),

则(y?3?k)(y?3?k)??196,

其中y?3?k和y?3?k具有相同的奇偶性,且y?3?k?y?3?k,

∴?y?3?k?2 ① 或?y?3?k?98 ② 或?y?3?k?14 ③ …10分 ??y?3?k??98??y?3?k??2??y?3?k??14

由方程组①得y??45,不合题意,舍去;

由方程组②得y?51,此时,原方程为x?50x?0,解得x1??50,x2?0(舍去); 由方程组③得y?3,此时,原方程为x?2x?48?0,解得x1?6,x2??8(舍去); 综上所述,x?6.

答:这间宿舍里住有6名学生.…………………………………………………………14分 22

6

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