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小学奥数 三年级 下册

发布时间:2014-07-08 14:18:50  

三年级

上 册

第一讲 速算与巧算(一) 第二讲 速算与巧算(二) 第三讲 上楼梯问题 第四讲 植树与方阵问题 第五讲 找几何图形的规律 第六讲 找简单数列的规律 第七讲 填算式(一) 第八讲 填算式(二) 第九讲 数字谜(一) 第十讲 数字谜(二) 第十一讲 巧填算符(一) 第十二讲 巧填算符(二) 第十三讲 火柴棍游戏(一) 第十四讲 火柴棍游戏(二) 第十五讲 综合练习题

上 册 例 3① 300-73-27 ② 1000-90-80-20-10 解:①式= 300-(73+ 27) 第一讲 速算与巧算(一) =300-100=200

一、加法中的巧算 ②式=1000-(90+80+20+10)

1.什么叫“补数”? =1000-200=800 两个数相加,若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…, 2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。 就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。 例4① 4723-(723+189) 如:1+9=10,3+7=10, ② 2356-159-256 2+8=10,4+6=10, 解:①式=4723-723-189 5+5=10。 =4000-189=3811 又如:11+89=100,33+67=100, ②式=2356-256-159 22+78=100,44+56=100, =2100-159

=1941 55+45=100,

3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整,再运 在上面算式中,1叫9的“补数”;89叫11的“补数”,11也叫89

算(注意把多加的数再减去,把多减的数再加上)。 的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。

例 5 ①506-397 对于一个较大的数,如何能很快地算出它的“补数”来呢?一

②323-189 般来说,可以这样“凑”数:从最高位凑起,使各位数字相加

③467+997 得9,到最后个位数字相加得10。 ④987-178-222-390 如: 87655→12345, 46802→53198, 解:①式=500+6-400+3(把多减的 3再加上) 87362→12638,… =109 下面讲利用“补数”巧算加法,通常称为“凑整法”。 ②式=323-200+11(把多减的11再加上) 2.互补数先加。 =123+11=134 例1 巧算下面各题: ③式=467+1000-3(把多加的3再减去) ①36+87+64②99+136+101 =1464 ③ 1361+972+639+28 ④式=987-(178+222)-390 解:①式=(36+64)+87 =987-400-400+10=197 =100+87=187 三、加减混合式的巧算 ②式=(99+101)+136 1.去括号和添括号的法则 =200+136=336 在只有加减运算的算式里,如果括号前面是“+”号,则不论 ③式=(1361+639)+(972+28) 去掉括号或添上括号,括号里面的运算符号都不变;如果 =2000+1000=3000 括号前面是“-”号,则不论去掉括号或添上括号,括号里面 3.拆出补数来先加。 的运算符号都要改变,“+”变“-”,“-”变“+”,即: 例2 ①188+873 ②548+996 ③9898+203

a+(b+c+d)=a+b+c+d 解:①式=(188+12)+(873-12)(熟练之后,此步可略)

a-(b+a+d)=a-b-c-d =200+861=1061

a-(b-c)=a-b+c ②式=(548-4)+(996+4)

例6 ①100+(10+20+30) =544+1000=1544

② 100-(10+20+3O) ③式=(9898+102)+(203-102)

③ 100-(30-10) =10000+101=10101

4.竖式运算中互补数先加。 解:①式=100+10+20+30 如: =160 ②式=100-10-20-30 =40 ③式=100-30+10 =80 例7 计算下面各题: ① 100+10+20+30 ② 100-10-20-30 ③ 100-30+10 解:①式=100+(10+20+30)

=100+60=160

二、减法中的巧算 ②式=100-(10+20+30)

=100-60=40 1.把几个互为“补数”的减数先加起来,再从被减数中减去。

③式=100-(30-10) =100-20=80 2.带符号“搬家”

例8 计算 325+46-125+54 解:原式=325-125+46+54 =(325-125)+(46+54) =200+100=300

注意:每个数前面的运算符号是这个数的符号.如+46,-125, +54.而325前面虽然没有符号,应看作是+325。 3.两个数相同而符号相反的数可以直接“抵消”掉 例9 计算9+2-9+3 解:原式=9-9+2+3=5 4.找“基准数”法

几个比较接近于某一整数的数相加时,选这个整数为“基准 数”。

例10 计算 78+76+83+82+77+80+79+85 =640

习题一

一、直接写出计算结果: ① 1000-547 ② 100000-85426

③ 11111111110000000000-1111111111 ④ 78053000000-78053 二、用简便方法求和: ①536+(541+464)+459 ② 588+264+148 ③ 8996+3458+7546

④567+558+562+555+563 三、用简便方法求差: ① 1870-280-520

② 4995-(995-480) ③ 4250-294+94 ④ 1272-995

四、用简便方法计算下列各题: ① 478-128+122-72 ② 464-545+99+345 ③ 537-(543-163)-57 ④ 947+(372-447)-572 五、巧算下列各题: ① 996+599-402

② 7443+2485+567+245 ③ 2000-1347-253+1593

④3675-(11+13+15+17+19)

习题一解答

一、直接写出计算结果: ① 1000-547=453

② 100000-85426=14574

③ 11111111110000000000-1111111111 =11111111108888888889

④ 78053000000-78053=78052921947

此题主要是练习直接写出“补数”的方法:从最高位写起,其 各位数字用“凑九”而得,最后个位凑10而得。

二、用简便方法求和:

① 536+(541+464)+459 =(536+464)+(541+459) =2000

② 588+264+148

=588+(12+252)+148

=(588+12)+(252+148) =600+400 =1000

③ 8996+3458+7546

=(8996+4)+(3454+7546)

=9000+11000(把 3458分成 4和=9000+11000 3454) =20000

④ 567+558+562+555+563 =560×5+(7-2+2-5+3)(以560为基准数) =2800+5=2805

三、用简便方法求差: ① 1870-280-520 =1870-(280+520) =1870-800 =1070

②4995-(995-480) =4995-995+480 =4000+480=4480 ③ 4250-294+94 =4250-(294-94) =4250-200=4050 ④ 1272-995 =1272-1000+5 =277

四、用简便方法计算加减混合运算: ① 478-128+122-72

=(478+122)-(128+72) =600-200 =400

② 464-545+99+345 =464-(545-345)+100-1 =464-200+100-1 =363

③537-(543-163)-57 =537-543+163-57

=(537+163)-(543+57) =700-600 =100

④ 947+(372-447)-572 =947+372-447-572

=(947-447)-(572-372) =500-200 =300

五、巧算下列各题: ①996+599-402=1193

②7443+2485+567+245=10740 ③2000-1347-253+1593=1993

④3675-(11+13+15+17+19)=3600

第二讲 速算与巧算(二)

一、乘法中的巧算

1.两数的乘积是整十、整百、整千的,要先乘.为此,要牢 记下面这三个特殊的等式: 5×2=10 25×4=100 125×8=1000

例1 计算①123×4×25 ② 125×2×8×25×5×4 解:①式=123×(4×25) =123×100=12300 ②式=(125×8)×(25×4)×(5×2) =1000×100×10=1000000 2.分解因数,凑整先乘。 例 2计算① 24×25 ② 56×125 ③ 125×5×32×5 解:①式=6×(4×25) =6×100=600 ②式=7×8×125=7×(8×125) =7×1000=7000 ③式=125×5×4×8×5=(125×8)×(5×5×4) =1000×100=100000 3.应用乘法分配律。 例3 计算① 175×34+175×66 ②67×12+67×35+67×52+6 解:①式=175×(34+66) =175×100=17500 ②式=67×(12+35+52+1) = 67×100=6700

(原式中最后一项67可看成 67×1) 例4 计算① 123×101 ② 123×99 解:①式=123×(100+1)=123×100+123 =12300+123=12423 ②式=123×(100-1) =12300-123=12177

4.几种特殊因数的巧算。 例5 一个数×10,数后添0; 一个数×100,数后添00; 一个数×1000,数后添000; 以此类推。 如:15×10=150 15×100=1500 15×1000=15000 例6 一个数×9,数后添0,再减此数; 一个数×99,数后添00,再减此数; 一个数×999,数后添000,再减此数; … 以此类推。 如:12×9=120-12=108 12×99=1200-12=1188 12×999=12000-12=11988

例7 一个偶数乘以5,可以除以2添上0。

如:6×5=30 16×5=80 116×5=580。

例8 一个数乘以11,“两头一拉,中间相加”。 如 2222×11=24442

2456×11=27016

例9 一个偶数乘以15,“加半添0”. 24×15

=(24+12)×10 =360 因为 24×15 = 24×(10+5) =24×(10+10÷2) =24×10+24×10÷2(乘法分配律) =24×10+24÷2×10(带符号搬家) =(24+24÷2)×10(乘法分配律)

例10 个位为5的两位数的自乘:十位数字×(十位数字加1) ×100+25 如15×15=1×(1+1)×100+25=225 25×25=2×(2+1)×100+25=625 35×35=3×(3+1)×100+25=1225 45×45=4×(4+1)×100+25=2025 55×55=5×(5+1)×100+25=3025 65×65=6×(6+1)×100+25=4225 75×75=7×(7+1)×100+25=5625 85×85=8×(8+1)×100+25=7225 95×95=9×(9+1)×100+25=9025

还有一些其他特殊因数相乘的简便算法,有兴趣的同学可 参看《算得快》一书。

二、除法及乘除混合运算中的巧算

1.在除法中,利用商不变的性质巧算

商不变的性质是:被除数和除数同时乘以或除以相同的数 (零除外),商不变.利用这个性质巧算,使除数变为整十、 整百、整千的数,再除。 例11 计算①110÷5②3300÷25 ③ 44000÷125

解:①110÷5=(110×2)÷(5×2) =220÷10=22 ②3300÷25=(3300×4)÷(25×4) =13200÷100=132 ③ 44000÷125=(44000×8)÷(125×8) =352000÷1000=352

2.在乘除混合运算中,乘数和除数都可以带符号“搬家”。 例12 864×27÷54 =864÷54×27 =16×27 =432

3.当 n 个数都除以同一个数后再加减时,可以将它们先加减 之后再除以这个数。 例13① 13÷9+5÷9 ②21÷5-6÷5 ③2090÷24-482÷24 ④187÷12-63÷12-52÷12 解:①13÷9+5÷9=(13+5)÷9 =18÷9=2 ②21÷5-6÷5=(21-6)÷5 =15÷5=3 ③2090÷24-482÷24=(2090-482)÷24 =1608÷24=67 ④187÷12-63÷12-52÷12 =(187-63-52)÷12 =72÷12=6

4.在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法:如果“括 号”前面是乘号,去掉“括号”后,原“括号”内的符号不变; 如果“括号”前面是除号,去掉“括号”后,原“括号”内的乘号 变成除号,原除号就要变成乘号,添括号的方法与去括号 类似。 即 a×(b÷c)=a×b÷c 从左往右看是去括号, a÷(b×c)=a÷b÷c 从右往左看是添括号。 a÷(b÷c)=a÷b×c 例14 ①1320×500÷250 ②4000÷125÷8 ③5600÷(28÷6) ④372÷162×54 ⑤2997×729÷(81×81) 解:① 1320×500÷250=1320×(500÷250) =1320×2=2640 ②4000÷125÷8=4000÷(125×8) =4000÷1000=4 ③5600÷(28÷6)=5600÷28×6 =200×6=1200 ④372÷162×54=372÷(162÷54) =372÷3=124 ⑤2997×729÷(81×81)=2997×729÷81÷81 =(2997÷81)×(729÷81)=37×9 =333

一、用简便方法求积: ①17×100

习题二

②1112×5 ③23×9 ④23×99 ⑤12345×11 ⑥56789×11 ⑦36×15

二、速算下列各题: ①123×25×4 ②456×2×125×25×5×4×8 ③25×32×125

三、巧算下列各题: ①15000÷125÷15 ②1200÷25÷4 ③27000÷(125×3) ④360×40÷60

四、巧算下列各题: ①11÷3+4÷3 ②19÷5-9÷5 ③234×11+234×88

习题二解答

一、用简便方法求积: ①17×100=1700 ②1112×5=5560 ③23×9=230-23=207 ④23×99=2300-23=2277 ⑤12345×11=135795 ⑥56789×11=624679 ⑦36×15=(36+18)×10=540 二、速算下列各题: ①123×25×4=123×(25×4)=12300 ②456×2×125×25×5×4×8 =456×(2×5)×(25×4)×(125×8) =456000000 ③25×32×125 =(25×4)×(125×8) =100000

三、巧算下列各题: ①15000÷125÷15=15000÷15÷125=8 ②1200÷25÷4=1200÷(25×4)=12 ③27000÷(125×3) =27000÷3÷125=9×(1000÷125) =9×8=72 ④360×40÷60=360÷60×40=240 四、巧算下列各题: ①11÷3+4÷3=(11+4)÷3=5 ②19÷5-9÷5=(19-9)÷5=2 ③234×11+234×88 =234×(11+88)=234×99 =234×100-234=23166

第三讲 上楼梯问题

有这样一道题目:如果每上一层楼梯需要1分钟,那么从一 层上到四层需要多少分钟?如果你的答案是4分钟,那么你 就错了.正确的答案应该是3分钟。

为什么是3分钟而不是4分钟呢?原来从一层上到四层,只 分析 要求还需要多少秒才能到达,必须先求出上一层楼梯 要上三层楼梯,而不是四层楼梯。 需要几秒,还要知道从4楼走到8楼共走几层楼梯.上一层楼 下面我们来看几个类似的问题。 梯需要:48÷(4-1)=16(秒),从4楼走到8楼共走8-4=4 例1 裁缝有一段16米长的呢子,每天剪去2米,第几天剪去 (层)楼梯。到这里问题就可以解决了。 最后一段? 解:上一层楼梯需要:48÷(4-1)=16(秒) 分析 如果呢子有2米,不需要剪;如果呢子有4米,第一天 从4楼走到8楼共走:8-4=4(层)楼梯 就可以剪去最后一段,4米里有2个2米,只用1天;如果呢 还需要的时间:16×4=64(秒) 子有6米,第一天剪去2米,还剩4米,第二天就可以剪去最 答:还需要64秒才能到达8层。 后一段,6米里有3个2米,只用2天;如果呢子有8米,第一例 6 晶晶上楼,从1楼走到3楼需要走36级台阶,如果各层 天剪去2米,还剩6米,第二天再剪2米,还剩4米,这样第 楼之间的台阶数相同,那么晶晶从第1层走到第6层需要走

多少级台阶? 三天即可剪去最后一段,8米里有4个2米,用3天,……

我们可以从中发现规律:所用的天数比2米的个数少1.因此, 分析 要求晶晶从第1层走到第6层需要走多少级台阶,必须 只要看16米里有几个2米,问题就可以解决了。 先求出每一层楼梯有多少台阶,还要知道从一层走到6层需

要走几层楼梯。 解:16米中包含2米的个数:16÷2=8(个)

从1楼到3楼有3-1=2层楼梯,那么每一层楼梯有36÷2=18 剪去最后一段所用的天数:8-1=7(天)

答:第七天就可以剪去最后一段。 (级)台阶,而从1层走到6层需要走6-1=5(层)楼梯,这 例2 一根木料在24秒内被切成了4段,用同样的速度切成5 样问题就可以迎刃而解了。 段,需要多少秒? 解:每一层楼梯有:36÷(3-1)=18(级台阶) 晶晶从1层走到6层需要走:18×(6-1)=90(级)台阶。 答:晶晶从第1层走到第6层需要走90级台阶。 注:例1~例4所叙述的问题虽然不是上楼梯,但它和上楼 梯有许多相似之处,请同学们自己去体会.爬楼梯问题的解 题规律是:所走的台阶数=每层楼梯的台阶数×(所到达的 可以从中发现规律:切的次数总比切的段数少1.因此,在24 。 秒内切了4段,实际只切了3次,这样我们就可以求出切一 层数减起点的层数)

次所用的时间了,又由于用同样的速度切成5段;实际上切 了4次,这样切成5段所用的时间就可以求出来了。 习题三 解:切一次所用的时间:24÷(4-1)=8(秒) 1.一根木料截成3段要6分钟,如果每截一次的时间相等,那 切5段所用的时间:8×(5-1)=32(秒) 么截7段要几分钟? 答:用同样的速度切成5段,要用32秒。 2.有一幢楼房高17层,相邻两层之间都有17级台阶,某人从 例3 三年级同学120人排成4路纵队,也就是4个人一排,排 1层走到11层,一共要登多少级台阶? 成了许多排,现在知道每相邻两排之间相隔1米,这支队伍 3.从1楼走到4楼共要走48级台阶,如果每上一层楼的台阶数 长多少米? 都相同,那么从1楼到6楼共要走多少级台阶? 解:因为每4人一排,所以共有:120÷4=30(排) 4.一座楼房每上1层要走16级台阶,到小英家要走64级台阶, 30排中间共有29个间隔,所以队伍长:1×29=29(米) 小英家住在几楼? 答:这支队伍长29米。 5.一列火车共20节,每节长5米,每两节之间相距1米,这列 例4 时钟4点钟敲4下,12秒钟敲完,那么6点钟敲6下,几 火车以每分钟20米的速度通过81米长的隧道,需要几分 秒钟敲完? 钟? 分析 如果盲目地计算:12÷4=3(秒), 3×6=18(秒), 6.时钟3点钟敲3下,6秒钟敲完,12点钟敲12下,几秒钟敲 认为敲6下需要18秒钟就错了.请看下图: 完? 7.某人到高层建筑的10层去,他从1层走到5层用了100秒, 如果用同样的速度走到10层,还需要多少秒? 8.A、B 二人比赛爬楼梯,A 跑到4层楼时,B 恰好跑到3层 楼,照这样计算,A 跑到16层楼时,B 跑到几层楼? 时钟敲4下,其间有3个间隔,每个间隔是:12÷3=4(秒); 9.铁路旁每隔50米有一根电线杆,某旅客为了计算火车的速

时钟敲6下,其间共有5个间隔,所用时间为: 度,测量出从第一根电线杆起到经过第37根电线杆共用了2 4×5=20(秒)。 分钟,火车的速度是每秒多少米? 解:每次间隔时间为:12÷(4-1)=4(秒) 习题三解答 敲 6下共用的时间为:4×(6-1)=20(秒) 1.解:每截一次需要:6÷(3-1)=3(分钟),截成7段要3× 答:时钟敲6下共用20秒。 (7-1)=18(分钟)

例5.某人要到一座高层楼的第8层办事,不巧停电,电梯停 答:截成7段要18分钟。 开,如从1层走到4层需要48秒,请问以同样的速度走到八 2.解:从1层走到11层共走:11-1=10(个)楼梯,从1层走 层,还需要多少秒? 到11层一共要走:17×10=170(级)台阶。

答:从1层走到11层,一共要登170级台阶。

3.解:每一层楼梯的台阶数为:48÷(4-1)=16(级),从1 ③ 如果植树路线的两端都不植树,则棵数就比②中还少1 楼到6楼共走:6-1=5(个)楼梯,从1楼到6楼共走:16×5=80 棵。

(级)台阶。

答:从1楼到6楼共走80级台阶。 4.解:到小英家共经过的楼梯层数为:64÷16=4(层),小 英家住在:4+1=5(楼) 答:小英家住在楼的第5层。 5.解:火车的总长度为:5×20+1×(20-1)=119(米),火 棵数=段数-1 车所行的总路程:119+81=200(米),所需要的时间: =全长÷株距-1.如右图所示.段数为5段,植树棵数为4棵。 200÷20=10(分钟) 株距=全长÷(棵数+1)。 答:需要10分钟。 2.封闭的植树路线 6.解:每个间隔需要:6÷(3-1)=3(秒),12点钟敲12下, 需要3×(12-1)=33(秒) 答:33秒钟敲完。

7.解:每上一层楼梯需要:100÷(5-1)=25(秒),还需要

的时间:25×(10-5)=125(秒) 答:从5楼再走到10楼还需要125秒。 8.由 A 上到4层楼时,B 上到3层楼知,A 上3层楼梯,B 上2 层楼梯。那么,A 上到16层时共上了15层楼梯,因此 B 上 2×5=10个楼梯,所以 B 上到10+1=11(层)。 例如:在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树,因 答:A 上到第16层时,B 上到第11层楼。

为头尾两端重合在一起,所以种树的棵数等于分成的段数。 9.解:火车2分钟共行:50×(37-1)=1800(米)

如右图所示。 2分钟=120秒

棵数=段数=周长÷株距. 火车的速度:1800÷120=15(米/秒)

二、方阵问题 答:火车每秒行15米。

学生排队,士兵列队,横着排叫做行,竖着排叫做列.如果 行数与列数都相等,则正好排成一个正方形,这种图形就 叫方队,也叫做方阵(亦叫乘方问题)。 第四讲 植树与方阵问题 方阵的基本特点是: 一、植树问题 ① 方阵不论在哪一层,每边上的人(或物)数量都相同. 要想了解植树中的数学并学会怎样解决植树问题,首先要 每向里一层,每边上的人数就少2。 牢记三要素:①总路线长.②间距(棵距)长.③棵数.只要知 ② 每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系: 道这三个要素中任意两个要素.就可以求出第三个。 四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4; 关于植树的路线,有封闭与不封闭两种路线。 每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1。 1.不封闭路线 ③ 中实方阵总人(或物)数=每边人(或物)数×每边人(或 例:如图 物)数。 例1 有一条公路长900米,在公路的一侧从头到尾每隔10米 栽一根电线杆,可栽多少根电线杆? 分析 要以两棵电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长

可分成若干段.由于公路的两端都要求栽杆,所以电线杆的 根数比分成的段数多1。

① 若题目中要求在植树的线路两端都植树,则棵数比段数 解:以10米为一段,公路全长可以分成

多1.如上图把总长平均分成5段,但植树棵数是6棵。 900÷10=90(段)

全长、棵数、株距三者之间的关系是: 共需电线杆根数:90+1=91(根)

棵数=段数+1=全长÷株距+1 答:可栽电线杆91根。

全长=株距×(棵数-1) 例2 马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟 株距=全长÷(棵数-1) 共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米?

② 如果题目中要求在路线的一端植树,则棵数就比在两端 分析 张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树 植树时的棵数少1,即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之 了;只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度. 间的关系就为: 解:5分钟汽车共走了:

全长=株距×棵数; 9×(501-1)=4500(米),

棵数=全长÷株距; 汽车每分钟走:4500÷5=900(米),

汽车每小时走: 株距=全长÷棵数。

900×60=54000(米)=54(千米) 列综合式: 9×(501-1)÷5×60÷1000=54(千米) 答:汽车每小时行54千米。

例3 某校五年级学生排成一个方阵,最外一层的人数为60 人.问方阵外层每边有多少人?这个方阵共有五年级学生多 少人?

分析 根据四周人数和每边人数的关系可以知: 每边人数=四周人数÷4+1,可以求出方阵最外层每边人数, 那么整个方阵队列的总人数就可以求了。 解:方阵最外层每边人数:60÷4+1=16(人) 整个方阵共有学生人数:16×16=256(人)

答:方阵最外层每边有16人,此方阵中共有256人。 例4 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵,最外一层每边 有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个?

分析 方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个.知道最外 面一层每边放14个,就可以求第二层及第三层每边个数.知 道各层每边的个数,就可以求出各层总数。 解:最外边一层棋子个数:(14-1)×4=52(个) 第二层棋子个数:(14-2-1)×4=44(个) 第三层棋子个数:(14-2×2-1)×4=36(个). 摆这个方阵共用棋子: 52+44+36=132(个) 还可以这样想:

中空方阵总个数=(每边个数一层数)×层数×4进行计算。 解:(14-3)×3×4=132(个)

答:摆这个方阵共需132个围棋子。

例5 一个圆形花坛,周长是180米.每隔6米种一棵芍药花, 每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少 棵芍药?多少棵月季?两棵月季之间的株距是多少米? 分析 ①在圆形花坛上栽花,是封闭路线问题,其株数=段 数.② 由于相邻的两棵芍药花之间等距的栽有两棵月季,则 每6米之中共有3棵花,且月季花棵数是芍药的2倍。 解:共可栽芍药花:180÷6=30(棵) 共种月季花:2×30=60(棵) 两种花共:30+60=90(棵) 两棵花之间距离:180÷90=2(米)

相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍药 花,所以月季花的株距是2米或4米。

答:种芍药花30棵,月季花60棵,两棵月季花之间距离为2 米或4米。

例6 一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三 角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始,到下一个顶点 均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花?整个花园 中共栽多少棵花?

分析 ①从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角 形边长的2倍.又知道每个小三角形的边上均匀栽9株, 则大 三角形边上栽的棵数为

9×2-1=17(棵)。

② 又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的

两条边公有的,所以大三角形三条边上共栽花

(17-1)×3=48(棵)。

③.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的 边上.在计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次,所以小 三角形每条边上栽花棵数为9-2=7(棵) 解:大三角形三条边上共栽花:

(9×2-1-1)×3=48(棵)

中间画斜线小三角形三条边上栽花:

(9-2)×3=21(棵)

整个花坛共栽花:48+21=69(棵)

答:大三角形边上共栽花48棵,整个花坛共栽花69棵。

习题四

1.一个圆形池塘,它的周长是150米,每隔3米栽种一棵树. 问:共需树苗多少株?

2.有一正方形操场,每边都栽种17棵树,四个角各种1棵, 共种树多少棵?

3.在一条路上按相等的距离植树.甲乙二人同时从路的一端 的某一棵树出发.当甲走到从自己这边数的第22棵树时,乙 刚走到从乙那边数的第10棵树.已知乙每分钟走36米.问:甲 每分钟走多少米?

4.在一根长100厘米的木棍上,从左向右每隔6厘米点一个红 点.从右向左每隔5厘米点一个红点,在两个红点之间长为4 厘米的间距有几段?

习题四解答

1.提示:由于是封闭路线栽树,所以棵数=段数, 150÷3=50(棵)。

2.提示:在正方形操场边上栽树.正方形边长都相等,四个 角上栽的树是相邻的两条边公有的一棵,所以每边栽树的 棵数为17-1=16(棵),共栽:(17-1)×4=64(棵) 答:共栽树64棵。

3.解:甲走到第22棵树时走过了22-1=21(个)棵距.同样乙 走过了10-1=9(个)棵距.乙走到第10棵树,所用的时间为 (9×棵距÷36),这个时间也是甲走过21个棵距的时间,甲 的速度为:21×棵距÷(9×棵距÷36)=84米/分。 答:甲的速度是每分钟84米。

4.① 根据已知条件,从左至右每隔6厘米点一红点,不难算 出共有17个点(包括起点,终点)并余4厘米。②100厘米 长的棒从右到左共点21个点,可分为20段,而最后一点与 端点重合,相当于从左到右以5厘米的间距画点.③ 在5与6 的公倍数30中,不难看出有2个4厘米的小段;同样在第二 个和第三个30厘米中也各有2个,剩下的10厘米只有一个4 厘米的小段,所以在100厘米的木棍上只能有2×3+1=7(段) 4厘米长的间距.

第五讲 找几何图形的规律

找规律是解决数学问题的一种重要的手段,而规律的找寻 既需要敏锐的观察力,又需要严密的逻辑推理能力.为培养 这方面的能力,本讲将从几何图形的问题入手,逐步分析 应从哪些方面来观察思考。因此,学习本讲的知识有助于 养成全面地、由浅入深、由简到繁观察思考问题的良好习

惯,可以逐步掌握通过观察发现规律并利用规律来解决问 题的方法。

下面就来看几个例子。

例1 按顺序观察图5—1与图5—2中图形的变化,想一想, 按图形的变化规律,在带“?”的空格处应画什么样的图形? 分析 观察中,注意到图5—1中每行三角形的个数依次减 少,而正方形的个数依次增多,且三角形的个数按4、3、X、 1的顺序变化.显然 X 应等于2;图5—2中黑点的个数从左到 右逐次增多,且每一格(第一格除外)比前面的一格多两 个点.事实上,本题中几何图形的变化仅表现在数量关系上, 是一种较为基本的、简单的变化模式。

解:在图5—1的“?”处应是三角形△,在图5—2的“?”处应 是

例2 请观察右图中已有的几个图形,并按规律填出空白处 的图形。

分析 首先可以看出图形的第一行、第二列都是由一个圆、 一个三角形和一个正方形所组成的;其次,在所给出的图 形中,我们发现各行、各列均没有重复的图形,而且所给 出的图形中,只有圆、三角形和正方形三种图形.由此,我 们知道这个图的特点是:

① 仅由圆、三角形、正方形组成;

② 各行各列中,都只有一个圆、一个三角形和一个正方形。 因此,根据不重不漏的原则,在第二行的空格中应填一个 三角形,而第三行的空格中应填一个正方形。 解略。

例3 按顺序观察下图中图形的变化规律,并在“?”处填上合 适的图形.

分析 显然,图(a)、图(b)中都是圆,而图(c)中却不 是圆;同时,图(a)、(c)中都有3个图形,而(b)中只 有两个.由此可知:图(a)到(b)的变化规律对应于图(c) 到(d)的变化规律.再注意到图(a)到图(b)中图形在繁

简、多少、位置几方面的变化,就容易得到图(d)中的图 形了。

解:在上图的“?”处应填如下图形.

例4 下图中的图形是按一定规律排列的,请仔细观察,并 在“?”处填上适当的图形.

分析 本题中,首先可以注意到每个图形都由大、小两部分 组成,而且,大、小图形都是由正方形、三角形和圆形组 成, 图中的任意两个图形均不相同.因此,我们不妨试着把 大、小图形分开来考虑,再一次观察后我们可以发现:对 于大图形来说,每行每列的图形决不重复。因此,每行每 列都只有一个大正方形,一个大三角形和一个大圆,对于 小图形也是如此,这样,“?”处的图形就不难得出。 解:图中,(b)、(f)、(h)处的图形分别应填下面的 图甲、图乙、图丙.

小结:对于较复杂的图形来说,有时候需要把图形分开几 部分来单独考虑其变化规律,从而把复杂问题简单化。 例5 观察下列各组图的变化规律,并在“?”处画出相关的图 形.

分析 我们先来看这样两个图:

(甲)图与(乙)图中,点 A、B、C、D 的顺序和距离都 没有改变,只是每个点的位置发生了变化,如:甲图中,A 在左方;而乙图中,A 在上方,……我们把这样一种位置 的变化称为图形的旋转,乙图可以看作是甲图

90°(或一格)。

现在我们再回到题目上来,容易看出:例5题中按(a)、 (b)、(c)、(d)、(e)、(f)、(g)、(h)、(i)

顺序排列的9个图形,它们的变化规律是:每一个图形(a 除外)都是由其前一个图形逆时针旋转90°而得到的.甲乙丙 丁四个图形变化规律也类似。

解:图(i)处的图形应是下面左图,丁图处的图形应是下 面右图

注意:因为图形是由旋转而得到的,所以其中三角形、菱 形的方向随旋转而变化,作图的时候要注意到这一点。 旋转是数学中的重要概念,掌握好这个概念,可以提高观 察能力,加快解题速度,对于许多问题的解决,也有事半 而功倍的效果。

下面再来看几个例子:

例6 仔细观察下图中图形的变化规律,并在“?”处填入合适 的图形.

分析 显然,图(a)、(b)的变化规律对应于图(c)的变 化规律;图(d)、(e)的变化规律也对应于图(f)的变 化规律,我们先来观察(a)、(b)两组图形,发现在形 状、位置方面都发生了变化,即把圆变为它的一半——半 圆,把三角形也变为它的一半——直角三角形;同时,变 化后图形的位置相当于把原图形沿顺时针方向旋转90°而得 到.因此,我们很容易地就把图(c)中的直角梯形还原为等 腰梯形并通过逆时针旋转而得到图(c)“?”处的图形。

当我们从左到右来观察图(d)、(e)的变化规律时,我 们发现,图(d)、(e)的变化规律有与图(a)、(b)相 同的一面,即都是把一个图形变为自身的一半,但也有与 图(a)、(b)不同的一面,即图(d)、(e)中右半部分 的图形无法通过旋转原图来得到,只能通过上下翻转而获 得.这样,我们就得到了这些图形的变化规律。

解:图(c)中“?”处的图形应是下面甲图,图(f)中“?” 处的图形应是乙图.

小结:本题是一道较为复杂的题,观察的出发点主要有3点: ① 形状变化;② 位置变化;③ 颜色变化。

例7 四个小动物排座位,一开始,小鼠坐在第1号位子上, 小猴坐在第2号,小兔坐在第3号,小猫坐在第4号.以后它们 不停地交换位子,第一次上下两排交换.第二次是在第一次 交换后左右两列交换,第三次再上下两排交换,第四次再 左右两列交换…这样一直换下去.问:第十次交换位子后, 小兔坐在第几号位子上?(参看下图)

分析 这是“华罗庚金杯”第二届初赛的一道试题,如果有充 裕的时间,我们当然可以把十次变化的图都画出来,从而 得到答案.10并不是一个很大的数字,因此这样的方法虽然 麻烦,却也是行之有效的.然而,在初赛中,本题的思考时 间只有30秒,不可能一步步把图画出来,这就要求我们仔 细观察,认真思考,找出规律再做题。

方法1:因为题目中问的只是第十次交换位子后,小兔的位 子是几.因此,我们只需考虑小兔的位子变化规律,小兔刚 开始时在3号位子,记为③,则

次交换座位,小兔的座位按顺时针方向转动一格,每四次 交换座位后,小兔又回到原处,知道了这个规律,就不难 得出答案.即10次后,小兔到了第2号位子。

方法2:受方法一的启示,我们可以思考,其他小动物的变 化规律怎样?四个小动物的整体变化规律又怎样呢?事实 上,当我们仔细观察示意图时会发现,开始的图沿顺时针 方向旋转两格(即180°)时,恰得到第二次交换位子后的图, 由此可以知道,每一次上下交换后再一次左右交换的结果 就相当于把原图沿顺时针方向旋转180°,第十次交换位子 后,相当于是这些小动物沿顺时针方向转了4圈半,这样, 我们就得到了小兔的位子及它们的整体变化规律.但其中需 注意一点的是:单独一次上下(或左右)的交换与旋转90° 得到的结果是不同的.小猫、小鼠的位子变化规律是沿逆时 针方向,而小猴的位子变化规律与小兔相似。 解:第十次交换位子后,小兔到了2号位子。

例8 将 A、B、C、D、E、F 六个字母分别写在正方体的六 个面上,从下面三种不同摆法中判断这个正方体中,哪些 字母分别写在相对的面上。

分析 本题所给的是一组立体几何图形.但是,我们注意到: 由于图(a)、(b)、(c)都是同一个正方体的不同摆法, 所以,(a)、(b)、(c)可以通过旋转来互相转化,这

三个图形中,字母 C 所在的一面始终不改变位置.因此,这 三个图形的转化只能是前后转动.把图(a)向后翻转一次 (90°)得图(b),由此可知,字母 A 的对面是 D,把图 (a)向前翻转一次(90°)得图(c),所以,字母 B 的对 面是字母 E,最后得出只有字母 C、F 相对。

解:正方体中,相对的字母分别是 A—D、B—E、C—F。 总结:一般地说,在观察图形变化的规律时,应抓住以下 几点来考虑问题: 1.图形数量的变化; 2.图形形状的变化; 3.图形大小的变化; 4.图形颜色的变化; 5.图形位置的变化; 6.图形繁简的变化等。

对较复杂的图形,也可分成几部分来分别考虑.总而言之, 只要全面观察,勤于思考,就一定能抓住规律、解决问题。

习题五

1.顺序观察下面图形,并按其变化规律在“?”处填上合适的 图形。

习题五解答

1.解:①图(a)到(b)的规律也就是图(c)到(d)的规 律,所以①中“?”处应填的是下图。

②图(a)和(c)的规律就是图(b)到(d)的规律,也即 把原图沿逆时针方向旋转180°.因此②中“?”处的图形是下 图.

③图(c)处的图形应是下图。

④把图形分为顶部、中部和底部分别考虑,④中“?”处的图 形应是下图.

2.答.是3.

第六讲 找简单数列的规律

日常生活中,我们经常接触到许多按一定顺序排列的数, 如:

自然数:1,2,3,4,5,6,7,… (1)

年份:1990,1991,1992,1993,1994,1995,1996

(2)

某年级各班的学生人数(按班级顺序一、二、三、四、五 班排列)

45,45,44,46,45 (3)

像上面的这些例子,按一定次序排列的一列数就叫做数列. 数列中的每一个数都叫做这个数列的项,其中第1个数称为 这个数列的第1项,第2个数称为第2项,…,第 n 个数就称 为第 n 项.如数列(3)中,第1项是45,第2项也是45,第3 项是44,第4项是46,第5项45。

根据数列中项的个数分类,我们把项数有限的数列(即有 有穷多个项的数列)称为有穷数列,把项数无限的数列(即 有无穷多个项的数列)称为无穷数列,上面的几个例子中,

2.一个正方体的小木块,1与6、2与5、3与4分别是相对面, (2)(3)是有穷数列,(1)是无穷数列。 如照下图那样放置,并按图中箭头指示的方向翻动,则木 块翻动到第5格时,木块正上方那一面的数字是多少?

研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性,以作为解 决问题的依据,本讲将从简单数列出发,来找出数列的规 律。

例1 观察下面的数列,找出其中的规律,并根据规律,在 括号中填上合适的数. ①2,5,8,11,(),17,20。 ②19,17,15,13,(),9,7。 ③1,3,9,27,(),243。 ④64,32,16,8,(),2。 ⑤1,1,2,3,5,8,(),21,34… ⑥1,3,4,7,11,18,(),47… ⑦1,3,6,10,(),21,28,36,(). ⑧1,2,6,24,120,(),5040。 ⑨1,1,3,7,13,(),31。 ⑩1,3,7,15,31,(),127,255。 (11)1,4,9,16,25,(),49,64。 (12)0,3,8,15,24,(),48,63。 (13)1,2,2,4,3,8,4,16,5,(). (14)2,1,4,3,6,9,8,27,10,(). 分析与解答

①不难发现,从第2项开始,每一项减去它前面一项所得的 差都等于3.因此,括号中应填的数是14,即:11+3=14。 ② 同①考虑,可以看出,每相邻两项的差是一定值2.所以, 括号中应填11,即:13—2=11。

不妨把①与②联系起来继续观察,容易看出:数列①中, 随项数的增大,每一项的数值也相应增大,即数列①是递 增的;数列②中,随项数的增大,每一项的值却依次减小, 即数列②是递减的.但是除了上述的不同点之外,这两个数 列却有一个共同的性质:即相邻两项的差都是一个定值.我 们把类似①②这样的数列,称为等差数列. ③1,3,9,27,(),243。

此数列中,从相邻两项的差是看不出规律的,但是,从第2 项开始,每一项都是其前面一项的3倍.即:3=1×3,9= 3×3, 27=9×3.因此,括号中应填 81,即 81= 27×3,代入后, 243 也符合规律,即 243=81×3。 ④64,32,16,8,(),2

与③类似,本题中,从第1项开始,每一项是其后面一项的 2倍,即:

因此,括号中填4,代入后符合规律。

综合③④考虑,数列③是递增的数列,数列④是递减的数 列,但它们却有一个共同的特点:每列数中,相邻两项的 商都相等.像③④这样的数列,我们把它称为等比数列。 ⑤ 1, 1, 2, 3, 5, 8,( ), 21, 34…

首先可以看出,这个数列既不是等差数列,也不是等比数 列.现在我们不妨看看相邻项之间是否还有别的关系,可以 发现,从第3项开始,每一项等于它前面两项的和.即2=1+1,

3=2+1,5=2+3,8=3+5.因此,括号中应填的数是 13,即 13=5+8, 21=8+13, 34=13+21。

这个以1,1分别为第1、第2项,以后各项都等于其前两项 之和的无穷数列,就是数学上有名的斐波那契数列,它来 源于一个有趣的问题:如果一对成熟的兔子一个月能生一 对小兔,小兔一个月后就长成了大兔子,于是,下一个月 也能生一对小兔子,这样下去,假定一切情况均理想的话, 每一对兔子都是一公一母,兔子的数目将按一定的规律迅 速增长,按顺序记录每个月中所有兔子的数目(以对为单 位,一月记一次),就得到了一个数列,这个数列就是数 列⑤的原型,因此,数列⑤又称为兔子数列,这些在高年 级递推方法中我们还要作详细介绍。 ⑥1, 3, 4, 7, 11, 18,( ),47…

在学习了数列⑤的前提下,数列⑥的规律就显而易见了, 从第3项开始,每一项都等于其前两项的和.因此,括号中应 填的是29,即 29=11+18。

数列⑥不同于数列⑤的原因是:数列⑥的第2项为3,而数 列⑤为1,数列⑥称为鲁卡斯数列。 ⑦1,3,6,10,( ), 21, 28, 36,( )。 方法1:继续考察相邻项之间的关系,可以发现:

因此,可以猜想,这个数列的规律为:每一项等于它的项 数与其前一项的和,那么,第5项为15,即15=10+5,最后 一项即第 9项为 45,即 45=36+9.代入验算,正确。 方法2:其实,这一列数有如下的规律: 第1项:1=1 第2项:3=1+2 第3项:6=1+2+3 第4项:10=1+2+3+4 第5项:( )

第6项:21=1+2+3+4+5+6 第7项:28=1+2+3+4+5+6+7 第8项;36=1+2+3+4+5+6+7+8 第9项:( )

即这个数列的规律是:每一项都等于从1开始,以其项数为 最大数的 n 个连续自然数的和.因此, 第五项为15,即:15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5;

第九项为45,即:45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。 ⑧1,2,6,24,120,( ),5040。

方法1:这个数列不同于上面的数列,相邻项相加减后,看 不出任何规律.考虑到等比数列,我们不妨研究相邻项的商, 显然:

所以,这个数列的规律是:除第1项以外的每一项都等于其 项数与其前一项的乘积.因此,括号中的数为第6项720,即 720=120×6。

方法2:受⑦的影响,可以考虑连续自然数,显然: 第1项 1=1 第2项 2=1×2 第3项 6=1×2×3 第4项 24=1×2×3×4 第5项 120=1×2×3×4×5 第6项 ( ) 第7项 5040=1×2×3×4×5×6×7 所以,第6项应为 1×2×3×4×5×6=720 ⑨1,1,3,7,13,( ),31 与⑦类似:

可以猜想,数列⑨的规律是该项=前项+2×(项数-2)(第1 项除外),那么,括号中应填21,代入验证,符合规律。 ⑩1,3,7,15,31,( ),127,255。 则:

因此,括号中的数应填为63。

小结:寻找数列的规律,通常从两个方面来考虑:①寻找 各项与项数间的关系;②考虑相邻项之间的关系.然后,再 归纳总结出一般的规律。

事实上,数列⑦或数列⑧的两种方法,就是分别从以上两 个不同的角度来考虑问题的.但有时候,从两个角度的综合 考虑会更有利于问题的解决.因此,仔细观察,认真思考, 选择适当的方法,会使我们的学习更上一层楼。 在⑩题中,1=2-1 3=22-1 7=23-1

15=24-1 31=25-1 127=27-1 255=28-1

所以,括号中为26-1即63。

(11)1,4,9,16,25,( ),49,64. 1=1×1, 4=2×2, 9=3×3, 16=4×4, 25=5×5,49= 7×7, 64=8×8,即每项都等于自身项数与项数的乘积,所以括号 中的数是36。

本题各项只与项数有关,如果从相邻项关系来考虑问题, 势必要走弯路。

(12)0,3,8,15,24,( ), 48, 63。

仔细观察,发现数列(12)的每一项加上1正好等于数列(11), 因此,本数列的规律是项=项数×项数-1.所以,括号中填35, 即 35= 6×6-1。

(13)1, 2, 2, 4, 3, 8,4, 16, 5,( )。

前面的方法均不适用于这个数列,在观察的过程中,可以 发现,本数列中的某些数是很有规律的,如1,2,3,4,5, 而它们恰好是第1项、第3项、第5项、第7项和第9项,所以 不妨把数列分为奇数项(即第1,3,5,7,9项)和偶数项 (即第2,4,6,8项)来考虑,把数列按奇数和偶数项重 新分组排列如下:

奇数项:1,2,3,4,5

偶数项:2,4,8,16 可以看出,奇数项构成一等差数列, 偶数项构成一等比数列.因此,括号中的数,即第10项应为 32(32=16×2)。

(14) 2, 1, 4, 3, 6, 9, 8, 27, 10,( )。 同上考虑,把数列分为奇、偶项: 偶数项:2,4,6,8,10 奇数项:1,3,9,27,( ).所以,偶数项为等差数列, 奇数项为等比数列,括号中应填81(81=27×3)。

像(13)(14)这样的数列,每个数列中都含有两个系列,这两 个系列的规律各不相同,类似这样的数列,称为双系列数 列或双重数列。

例2 下面数列的每一项由3个数组成的数组表示,它们依次 是:

(1,3,5),(2,6,10),(3,9,15)…问:第100 个数组内3个数的和是多少?

方法1:注意观察,发现这些数组的第1个分量依次是:1, 2,3…构成等差数列,所以第 100个数组中的第 1个数为 100;这些数组的第2个分量 3,6,9…也构成等差数列, 且3=3×1,6=3×2,9=3×3,所以第100个数组中的第2个数为 3×100=300;同理,第3个分量为5×100=500,所以,第100 个数组内三个数的和为100+300+500=900。

方法2:因为题目中问的只是和,所以可以不去求组里的三 个数而直接求和,考察各组的三个数之和。 第1组:1+3+5=9,第2组:2+6+10=18 第3组:3+ 9+ 15= 27…,由于9=9×1,18= 9×2,27= 9×3, 所以9,18,27…构成一等差数列,第100项为9×100=900, 即第100个数组内三个数的和为900。

例3 按下图分割三角形,即:①把三角形等分为四个相同 的小三角形(如图(b));②把①中的小三角形(尖朝下 的除外)都等分为四个更小的三角形(如图(C))…继续

下去,将会得到一系列的图,依次把这些图中不重叠的三 角形的个数记下来,成为一个数列:1,4,13,40…请你 继续按分割的步骤,以便得到数列的前5项.然后,仔细观察 数列,从中找出规律,并依照规律得出数列的第10项,即 第9项分割后所得的图中不重叠的小三角形的个数.

分析与解答

第4次分割后的图形如左图:

因此,数列的第5项为121。 这个数列的规律如下: 第1项1

第2项4=1+3 第3项13=4+3×3 第4项40=13+3×3×3 第5项121=40+3×3×3×3 或者写为:第1项 1=1 第2项4=1+31

第3项13=1+3+32

第4项 40=1+3+32+33

第 5项 121=1+3+32+33+34

因此,第10项也即第9次分割后得到的不重叠的三角形的个 数是29524。

例4 在下面各题的五个数中,选出与其他四个数规律不同 的数,并把它划掉,再从括号中选一个合适的数替换。 ①42,20,18,48,24 (21,54,45,10) ②15,75,60,45,27 (50,70,30,9)

③42,126,168,63,882 (27,210,33,25)

解:①中,42、18、48、24都是6的倍数,只有20不是,所 以,划掉20,用54代替。

② 15、 75、 60、 45都是 15的整数倍数,而 27不是,用 30来替换27。

③同上分析,发现这些数中, 42、 126、 128、 882都是 42的整数倍,而63却不是.因此,用210来代替63。

习题六

按一定的规律在括号中填上适当的数: 1.1,2,3,4,5,( ),7… 2.100,95,90,85,80,( ),70 3.1,2,4,8,16,( ),64

5.2,1,3,4,7,( ),18,29,47 6.1,2,5,10,17,( ),37,50 7.1,8,27,64,125,( ),343 8.1,9,2,8,3,( ),4,6,5,5

习题六解答

1.等差数列,括号处填6。 2.等差数列,括号处填75。 3.等比数列,括号处填32。

5.相邻两项的和等于下一项,括号处填11。 6.后项-前项=前项的项数×2-1,括号处填 26。

7.立方数列,即每一项等于其项数乘以项数再乘以项数,括 号处填216。

8.双重数列,括号处填7.

第七讲 填算式(一)

在这一讲中介绍填算式的未知数的方法.我们将根据算式中 给定的运算关系或数量关系,利用运算法则和推理的方法 把待定的数字确定出来.研究和解决这一类问题对学生观察 能力、分析和解决问题的能力,以及联想、试探、归纳等 思维能力的培养有重要的作用。

例1 在下面算式的空格中,各填入一个合适的数字,使算 式成立.

分析 这是一个三位数加上一个四位数,其和为五位数,因 此和的首位数字为1,进一步分析,由于百位最多向千位进 1,所以第二个加数的千位数

问题得解.

例2 在下面算式的空格内各填入一个合适的数字,使算式 成立。

分析 这是一个四位数加上一个四位数,其和仍为四位数. 先从个位入手,

解:此题有以下两解。

例3 用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字组成下 面的加法算式,每个数字只许用一次,现已写出三个数字, 请把这个算式补齐.

分析 由于三位数加三位数,其和为四位数,所以和的首位 数字为1,第一个加数的百位数字为9或7。

如果第一个加数的百位数字为9,则和的百位数字为1或2, 而1和2都已用过,所以第一个加数的百位数字不为9。 如果第一个加数的百位数字为7,则和的百位数字必为0, 且十位必向百位进1.现在还剩下9,6,5,3这四个数字,这 里只有一个偶数,如果放在第二个加数(或和)的个位, 那么和(或第二个加数)的个位也必为偶

的十位数字为6,和的十位数字为5。 解:

例4 在下面算式的空格内填上合适的数字,使算式成立。

分析 由于被减数是三位数,减数是两位数,差是一位数, 所以被减数的首位数字为1,且十位必向百位借1,由于差 是一位数,所以个位必向十位借1.因此,被减数的个位数字 为0,被减数的十位数字也为0。 解:

例5 在下面算式的空格内各填入一个合适的数字,使算式 成立。

分析 这是一个四位数减去一个四位数,差仍为四位数.先看 个位,由于 解:

例6 在下面算式的空格内各填入一个合适的数字,使算式 成立.

分析 这是一道加减混合的填算式题,为了便于分析,可以 把加法、减法分开考虑:

观察这两个算式,减法算式空格内的数字容易填。 ①减法算式

由于被减数是四位数,减数是三位数,差为一位数,所以 被减数为1000,减数为999,因此,加法算式的和就已知了。 ②加法算式 解:

习题七

1.在下面的加法算式的空格内各填入一个合适的数字,使算 式成立.

2.在下面减法算式的空格内各填入一个合适的数字,使算式 成立.

2.

3.在下面的算式中,每个方框代表一个数字,问每个算式中 所有方框中的数字的总和各是多少?

4.在下面算式的空格内各入一个合适的数字,使算式成立.

习题七解答

第八讲 填算式(二)

上一讲介绍了在加、减法算式中,根据已知几个数字之间 的关系、运算法则和逻辑推理的方法,如何进行推断,从 而确定未知数的分析思考方法.在乘、除法算式中,与加减 法算式中的分析方法类似,下面通过几个例题来说明这类 问题的解决方法。

例1 在右面算式的方框中填上适当的数字,使算式成立。

由于前四种解中第一个加数的十位与第三个加数的十位可 互换,所以共有9种解法。

共六个解。

3.本题主要从各数位上的进位情况加以分析,而不必把每个 空格所代表的数字求出来。

①由于个位相加的和为9,十位相加的和为14,所以所有方 框中的数字总和为9+14=23。

②由于个位相加的和为13,十位相加的和为18,百位相加 的和为18,所以所有方框中的数字总和为13+18+18=49。 4.

所以乘数的十位数字为8或9,经试验,乘数的十位数字为8。 被乘数和乘数确定了,其他方框中的数字也就容易确定了。 解:

例2 妈妈叫小燕上街买白菜,邻居张老师也叫小燕顺便代 买一些.小燕买回来就开始算帐,她列的竖式有以下三个, 除三式中写明的数字和运算符号外,其余的由于不小心都 被擦掉了.请你根据三个残缺的算式把方框中原来的数字重 新填上。

两家买白菜数量(斤):

小燕家买菜用钱(分):

张老师家买菜用钱(分):

分析 解决问题的关键在于算式①,由于算式①是两个一位 数相加,且和的个位为7,因此这两个加数为8和9。 算式②与③的被乘数应为白菜的单价,考虑这个两位数乘 以8的积为两位数,所以这个两位数应小于13,再考虑这个 两位数乘以9的积为三位数,所以这个两位数应大于11.因此 这个两位数为12。

例3 在下面算式的空格内各填入一个合适的数字,使算式 成立。

解:

例4 下式中,□“ ”表示被擦掉的数字,那么这十三个被擦掉 的数字的和是多少?

9乘以1~9中的哪个数字都不可能出现个位为0,进而被乘 数的个位数字不为9,只能为4,则乘数的十位数字必为5.

与乘数的个位数字6相乘的积的十位数字为0,考虑3×6=18, 8×6=48,

的积的十位数字为7,所以被乘数的十位数字为3.再由于被

千位数字为 1.因而问题得到解决。 解:

∴1+3+4+5+7+4+6+1+6+9+1+0+4=51。

例5 某存车处有若干辆自行车.已知车的辆数与车轮总数都 是三位数,且组成这两个三位数六个数字是2、3、4、5、6、 7,则存车处有多少辆自行车?

分析 此题仍属于填算式问题,因为车辆数乘以2就是车轮 总数,所以此题可转化为把2、3、4、5、6、7分别填在下 面的方框中,每个数字使用一次,使算式成立.

此题的关键在于确定被乘数——即自行车的辆数。

因为一个三位数乘以2的积仍为三位数,所以被乘数的首位 数字可以为2、3或4。

①若被乘数的首位数字为2,则积的首位数字为4或5。 (i)若积的首位数字为4,则积的个位数字必为6,由此可 知,被乘数的个位数字为3. 这时只乘下5和7这两个数字, 不论怎样填,都不可能使算式成立。 (ii)若积的首位数字为5,说明乘数2与被乘数的十位数字 相乘后必须向百位进1,所以被乘数的十位数字可以为6或

7。

若被乘数的十位数字为6,则积的个位数字为4,那么被乘 数的个位数字便为7,积的十位数字为3.得到问题的一个解:

2.在下列除法算式的空格内各填入一个合适的数字,使算式 若被乘数的十位数字为7,则积的个位数字为4或6,但由于 成立. 2和7都已被使用,所以积的个位数字不可能为4,因而只能

为6.由此推出被乘数的个位数字为3,则积的十位数字为4. 得到问题的另一解: ②若被乘数的首位数字为3,则积的首位数字为6或7。 (i)若积的首位数字为6,则积的个位数字只能为4,则被

乘数的个位数字为2或7。

若被乘数的个位数字为2,则还剩下5和7这两个数字,不论

怎样填,都不可能使算式成立。 若被乘数的个位数字为7,则这时剩下2和5这两个数字,那 么被乘数的十位数字为2,积的十位数字为5.得到问题的第 三个解 :

(ii)若积的首位数字为7,则被乘数的十位数字为5或6。 若被乘数的十位数字为5,则积的十位数字只能为0或1,与

已知矛盾,所以被乘数的十位数字不为5。 若被乘数的十位数字为6,则积的个位数字必为4,因而被 乘数的个位数字为2,此时5已无法使算式成立,因此被乘 数的十位数字也不为6。

③由于2、3、4、5、6、7这六个数字中,最大的为7,因而

被乘数的首位数字不可能为4。

解:因为 3.某数的个位数字为2,若把2换到此数的首位,则此数增加 一倍,问原来这个数最小是多少?

4.一个四位数被一位数 A 除得(1)式,被另一个一位数 B

除得(2)式,求这个四位数。 所以存车处有267辆、273辆或327辆自行车。

习题八

1.在下列乘法算式的空格内各填入一个合适的数字,使算式 成立。

共六个解。

5.在右面的□“ ”内填入 1~8(每个数字必须用一次),使算 式成立. 1.

③共有十三个解.

④共有四个解。 2.

第九讲 数字谜(一)

数字谜是一种有趣的数学问题.它的特点是给出运算式子, 但式中某些数字是用字母或汉字来代表的,要求我们进行 恰当的判断和推理,从而确定这些字母或汉字所代表的数 字.这一讲我们主要研究加、减法的数字谜。

例1 右面算式中每一个汉字代表一个数字,不同的汉字表 示不同的数字.当它们各代表什么数字时算式成立?

分析 由于是三位数加上三位数,其和为四位数,所以 “真”=1.由于十位最多向百位进1,因而百位上的“是”=0, “好”=8或9。

①若“好”=8,个位上因为8+8=16,所以“啊”=6,十位上, 由于6+0+1=7≠8,所以“好”≠8。

②若“好”=9,个位上因为9+9=18,所以“啊”=8,十位上, 8+0+1=9,百位上,9+1=10,因而问题得解。

真=1,是=0,好=9,啊=8

例2 下面的字母各代表什么数字,算式才能成立?

习题八解答

3.原数最小是105263157894736842。

4.当 A=3,B=2时,这个四位数为1014,当 A=9,B=5时, 这个四位数为1035。 5.有两个解。

分析 由于四位数加上四位数其和为五位数,所以可确定和 的首位数字 E=1.又因为个位上 D+D=D,所以 D=0.此时 算式为:

下面分两种情况进行讨论:

①若百位没有向千位进位,则由千位可确定 A=9,由十位 可确定 C=8,由百位可确定 B=4.因此得到问题的一个解:

②若百位向千位进1,则由千位可确定 A=8,由十位可确定 C=7,百位上不论 B 为什么样的整数,B+B 和的个位都不 可能为7,因此此时不成立。 解:

A=9,B=4,C=8,D=0,E=1.

例3 在下面的减法算式中,每一个字母代表一个数字,不 同的字母代表不同的数字,那么 D+G=?

分析 由于是五位数减去四位数,差为三位数,所以可确定 A=1,B=0,E=9.此时算式为:

分成两种情况进行讨论:

①若个位没有向十位借1,则由十位可确定 F=9,但这与 E=9 矛盾。

②若个位向十位借1,则由十位可确定 F=8,百位上可确定 C=7.这时只剩下2、3、4、5、6五个数字,由个位可确定出:

解:因为

所以 D+G=2+4=6或 D+G=3+5=8 或 D+G=4+6=10

例4 右面的算式中不同的汉字表示不同的数字,相同的汉 字表示相同的数字.如果巧+解+数+字+谜=30,那么“巧解数 字谜”所代表的五位数是多少?

分析 观察算式的个位,由于谜+谜+谜+谜+谜和的个位还是 “谜”,所以“谜”=0或5。

①若“谜”=0,则巧+解+数+字=30,因为9+8+7+6=30,那 么“巧”、“解”、“数”、“字”这四个汉字必是9、8、7、6这四 个数字.而十位上,9+9+9+9=36,36的个位不为9,8+8+8 +8=32,32的个位不为8,7+7+7+7=28,28的个位不为7, 6+6+6+6+=24,24的个位不为6,因而得出“字”≠9、8、7、 6,矛盾,因此“谜”≠0。

②若“谜”=5,则巧+解+数+字=25.观察这个算式的十位,由 于字+字+字+字+2和的个位还是“字”,所以“字”=6,则巧+ 解+数=19.再看算式的百位,由于数+数+数+2和的个位还是 “数”,因而“数”=4或9,若“数”=4,则“解”=9.因而

“巧”=19-4-9=6,“赛”=5,与“谜”=5重复,因此“数”≠4,所 以“数”=9,则“巧”+“解”=10.最后看算式的千位,由于“解”+ “解”+2和的个位还是“解”,所以“解”=8,则“巧”=2,因此 “赛”=1.问题得解。

因此,“巧解数字谜”所代表的五位数为28965。

例5 英文“HALLEY”表示“哈雷”,“COMET”表示“彗星”, “EARTH”表示地球.在下面的算式中,每个字母均表示0~9 中的某个数字,且相同的字母表示相同的数字,不同的字 母表示不同的数字.这些字母各代表什么数字时,算式成 立?

分析 因为是一个六位数减去一个五位数,其差为五位数, 所以可确定被减数的首位数字 H=1.若个位没有向十位借 1,则十位上 E-E=0,有 T=0,那么个位上,Y-0=1,得 Y =1,与 H=1矛盾,所以个位要向十位借1,于是十位必向 百位借1,则十位上,10+E-1-E=9,则 T=9,因此,由个 位可确定 Y=0.此时算式为:

①若百位不向千位借位,则有 R+M+1=L,这时剩下数字 2、3、4、5、6、7、8,因为2+3+1=6,所以 L 最小为6。 若 L=6,则(R,M)=(2,3)(表示 R、M 为2、3这两 个数字,其中 R 可能为2,也可能为3,M 也同样).这时还

剩下4、5、7、8这四个数字,由千位上有 O+A=6,而在4、 5、7、8这四个数字中,不论哪两个数字相加,和都不可能 为6,因此 L≠6.

若 L=7,则 M+R=6,于是(M,R)=(2,4),还剩下 3、5、6、8这四个数字.由千位上 O+A=7,而在 3、5、6、 8这四个数字中,不论哪两个数字相加,和都不可能为7, 因此 L≠7。

若 L=8,则 M+R=7,(M,R)=(2,5)或(M,R)= (3,4)。

若(M,R)=(2,5),则还剩下3、4、6、7这四个数字。 由千位可确定 O+A=8,而在3、4、6、7这四个数字中,不 论哪两个数字相加,和都不可能为8,因此(M, R) ≠(2, 5)。

若(M,R)=(3,4),则还剩下2、5、6、7这四个数字。 由千位可确定 O+A=8,而2+6=8,所以(O,A)=(2, 6),最后剩下5和7.因为5+7=12,所以可确定 A=2,O=6, 则(C,E)=(5,7).由于 C 与 E 可对换,M 与 R 可对 换,所以得到问题的四个解: 解:

共以上四个解。

通过以上几个例题我们不难看出,认真分析算式中隐含的 数量关系,选择有特征的部分作为解题的突破口,作出局 部的判断是解数字谜的关键.其次,在采用试验法的同时, 常借助估值的方法,对某些数位上的数字进行合理的估计, 逐步排除一些不可能的取值,缩小所求数字的取值范围, 这样可以加快解题的速度。

习题九

1.下面各题中的字母都代表一个数字,不同的字母代表不同 的数字,相同的字母代表相同的数字,问它们各代表什么 数字时,算式成立?

②若百位向千位借1,则 M+R=L+9.还剩下2、3、4、5、 6、7、8。

若 L=2,则(M,R)=(3, 8)或(M,R)=(4,7) 或(M,R)=(5,6).由千位得 O+A=11,则必有 C+ E=11,而万位上 C+E=9+A,由此可得 A=2,与 L=2矛盾. 所以 L≠2。

若 L=3,则 M+R=12,(M,R)=(4,8)或(M,R) =(5,7).由千位得 O+A=12,这时还剩下2、6这两个 数字.由万位得 C+E=9+A,即2+6=9+A,A 无解.所以 L≠3。 若 L=4,则 M+R=13,(M,R)=(5,8)或(M,R) =(6,7).由千位得 O+A=13,这时还剩下2和3这两个数 字.由万位得 C+E=A+9,即2+3=A+9, A 无解.所以 L≠4。 若 L=5,则 M+R=14,(M,R)=(6,8).由千位得 O +A=14,而在剩下的2、3、4、7这四个数中,任意两个数 字的和都不等于14.所以 L≠5。 若 L=6,则 M+R=15,(M, R)=(7,8).由千位得 O +A=5,则(O,A)=(2,3).这时还剩下4和5这两个数 字,由万位得 C+E=10+A,即4+5=10+A,A 无解.所以 L≠6。

因为 M+R 的和最大为15,所以 L 最大取6。 解:

2.下面各题中的每一个汉字都代表一个数字,不同的汉字代 表不同的数字,相同的汉字代表相同的数字,当它们各代 表什么数字时,算式成立?

3.已知

4.将一个各数位数字都不相同的四位数的数字顺序颠倒过 来,得到一个新的四位数,如果新数比原数大7902,那么

所有符合这样条件的原四位数共有多少个?并把所有符合 条件的原四位数都找出来?

习题九解答

1.

A=9,B=8 A=9,B=8 C=7,D=1 C=6,D=1 E=4,F=0 E=2,F=0

A=1,B=0,C=2~5,D=9,E=5~8,共四个解。

A=5,B=2 C=7,D=4

大=5,家=2爱=1,上=4学=0

我=1,攀=8登=7,高=4峰=0

助=1,人=7为=9,乐=6

力=8,争=6,办=7,奥=2,运=5,会=0,成=9,功=4

4.共有六个,它们是:1329、1439、1549、1659、1769、1879.

第十讲 数字谜(二)

在一些乘除法的运算中,也可以用字母或汉字来表示数字, 形成数字谜算式.这一讲,将介绍如何巧解乘除法数字谜。

例1 右面算式中相同的字母代表相同的数字,不同的字母 代表不同的数字,问 A 和 E 各代表什么数字?

分析 由于被乘数的最高位数字与乘数相同,且积为六位 数,故 A≥3。

①若 A=3,因为3×3=9,则 E=1,而个位上1×3=3≠1,因此, A≠3。

②若 A=4,因为4×4=16,16+6=22,则 E=2,而个位上 2×4=8≠2,因此 A≠4。 ③若 A=5,因为5×5=25,25+8=33,则 E=3,而3×5=15, 积的个位为5不为3,因此 A≠5。 ④若 A=6,因为6×6=36,36+8=44,则 E=4.个位上,4×6=24, 写4进2.十位上,因为2×6+2=14,D 可以为2,但不论 C 为 什么数字,C×6+1个位都不可能为4,因此 D 不可能为2. 因为7×6+2=44,所以可以有 D=7.百位上,因为50×6+4=34, 所以 C=5.千位上,不论 B 为什么数字,B×6+3的个位都不 可能为4,因此 B 无解.故 A≠6。 ⑤若 A=7,因为7×7=49,49+6=55,则 E=5.个位上,5×7=35, 写5进3.十位上,因为6×7+3=45,所以 D=6.百位上,因为3×7 +4=25,所以 C=3.千位上,因为9×7+2=65,所以 B=9. 万位上,因为7×7+6=55,所以得到该题的一个解。

⑥若 A=8,因为8×8=64,64+2=66,则 E=6.个位上, 6×8 =48,则积的个位为8不为6,因此 A≠8。 ⑦若 A=9,因为9×9=81,81+7=88,则 E=8,而个位上, 8×9=72,则积的个位为2不为8,因此 A≠9。 解:

所以,A=7,E=5。

例2 下面竖式中的每个不同汉字代表0~9中不同的数码, 求出这些使算式成立的汉字的值。

分析 为了叙述方便,把算式中每个“奇”与“偶”字都标上角 码,如下式所示。

分析 由于乘数是四位数,而在用乘数的每位数字去乘被乘 数时,只有三层结果,由此观察出“数”=0,且积的最高位 为1.为了叙述方便,在算式中“×”的位置用字母代替,此时 的算式如下式.

由于百万位要向千万位进1,而十万位最多只能向百万位进 1,因而

积为四位数,因而“味”=1或2。

①若“味”=1,则 A5=3,A10=3,于是,A5+A10=3+3=6,这 样不论万位有没有向十万位进位,十万位都不可能向百万 位进1,因此“味”≠1。

②若“味”=2,则 A5=6,A6=4,A10=6,于是,A5+A10=12, 因此十万位必向百万位进1,所以“味”=2。

解:

因此,“趣”=3,“味”=2,“数”=0“学”=1.

例3 右面算式中的每个“奇”字代表1、3、5、7、9中的一个, 每个“偶”字代表0、2、4、6、8中的一个,为使算式成立, 求出它们所代表的值。

定向“奇2”所在位借1,因而排除“偶4”=0。

(积为奇奇偶) 22×8=176(积为奇奇偶)

24×6=144(积为奇偶偶) 24×8=192(积为奇奇偶) 42×4=168(积为奇偶偶) 42×6=252(积为偶奇偶) 42×8=336(积为奇奇偶)

=168+8=176,便得:

44×4=176 (积为奇奇偶) 44×6=264 (积为偶偶偶) 44×8=352 (积为奇奇偶)

而22×6=132(积为奇奇偶) 22×8=176(积为奇奇偶) 因此,“偶2”≠4。 解:

个位上,因为3×7=21,所以“校”=3.十位上,因为3×7+2 =23,则“学”=3,与“校”=3重复,因而“好”≠7。 解:

则“华罗庚学校赞”=428571或857142。

例5 在下面的算式中,每一个汉字代表一个数字,不同的 汉字表示不同的数字,当“开放的中国盼奥运”代表什么数 时,算式成立?

盼盼盼盼盼盼盼盼盼□÷ =开放的中国盼奥运 分析 这是一道除法算式题. 因为盼盼盼盼盼盼盼盼盼是□“ ”的倍数,且又为9的倍数, 分析 首先确定“好”≠0、1、5、9,且“好”≠6、8(若“好”=6

所以□“ ”可能为3或9.

或8,则被乘数的最高位数字“赞”=1,而个位上“校”与“好”

①若□“ ”=3,则盼盼盼盼盼盼盼盼盼÷3的商出现循环,且周

的积的个位不可能是1,所以“好”≠6、8.),因此,“好”=2、

期为3,这样就出现重复数字,因此“□”≠3。

3、4或7。

②若□“ ”=9

①若“好”=2,则被乘数的最高位“赞”字可能为1、3或4,而

因为 盼盼盼盼盼盼盼盼盼÷9

个位上“校”×2的积的个位等于“赞”,所以“赞”≠1、3,因而

=盼×(111111111÷9)

“赞”=4。

=盼×12345679

个位上,因为7×2=14,所以“校”=7.十位上,因为3×2+1=7,

若“盼”=1,则“开放的中国盼奥运”=12345679×1=12345679,

8×2+1=17,所以“学”=3或8.若“学”=3,则“庚”×2积的个位

“盼”=6,前后矛盾,所以“盼”≠1。

为3,而不论“庚”为什么样的整数,都不可能实现,因此,

若“盼”=2,则“开放的中国盼奥运”=12345679×2=24691358,

“学”≠3.若“学”=8,则“庚”×2+1和的个位为8,而不论“庚”

“盼”=3,矛盾,所以“盼”≠2。

为什么样的整数,都不可能实现,因此,“学”≠8.故“好”≠2。

若“盼”=3,则“开放的中国盼奥运”=12345679×3=37037037,

②若“好”=3,则被乘数的最高位数字“赞”=1或2。

“盼”=0,矛盾,所以“盼”≠3。

若“赞”=1,个位上因为7×3=21,所以“校”=7.十位上,因为

若“盼”=4,则“开放的中国盼奥运”=12345679×4=49382716,

5×3+2=17,所以“学”=5.百位上,因为8×3+1=25,所以

“盼”=7,矛盾,所以“盼”≠4。

“庚”=8.千位上,因为2×3+2=8,所以“罗”=2.万位上,因为

若“盼”=5,则“开放的中国盼奥运”=12345679×5=61728395,

4×3=12,所以“华”=4.十万位上,便有1×3+1=4,得到一个

“盼”=3,矛盾,所以“盼”≠5。 解:

若“盼”=6,则“开放的中国盼奥运”=12345679×6=74074074,

则“盼”=0,矛盾,所以“盼”≠6。

若“盼”=7,则“开放的中国盼奥运”=12345679×7=86419753,

“盼”=7,得到一个解:777777777÷9=86419753

若“盼”=8,则“开放的中国盼奥运”=12345679×8= 若“赞”=2,个位上因为4×3=12,所以“校”=4.十位上,因为1×3

98765432,“盼”=4,矛盾,所以“盼”≠8。 +1=4,所以“学”=1.百位上,因为7×3=21,所以“庚”=7.千

若“盼”=9 ,则“开放的中国盼奥运”= 位上,因为5×3+2=17,所以“罗”=5.万位上,因为8×3+1=25,

12345679×9=111111111,“盼”=1,矛盾,所以“盼”≠9。 所以“华”=8.十万位上便有2×3+2=8,于是得到一个解:

解:777777777÷9=86419753

则“开放的中国盼奥运”=86419753。

从以上几个题不难看出,逐渐缩小范围的思想和试验法在

数字谜的分析解答过程中起着重要的作用,良好的分析思

考习惯还需要同学们在今后的学习中进一步培养。 ③若“好”=4,则被乘数的最高位数字“赞”=1或2,而个位上

“校”×4积的个位不可能为1,所以“赞”只能为2.个位上,因

为3×4=12,8×4=32,则“校”=3或8。 习题十 若“校”=3,十位上,因为8×4+1=33,所以“学”=8.百位上, 1.下面竖式中不同的字母代表0~9中不同的数字,求出它们 不论“庚”为什么样的整数,庚“ ”×4+3和的个位都不可能为8, 使竖式成立的值。 所以“校”≠3。

若“校”=8,十位上,不论“学”为什么样的整数,“学”×4+3 和的个位都不可能为8,所以“校”≠8。 因此,“好”≠4。

④若“好”=7,则被乘数的最高位数字“赞”=1.

例4 下页算式中不同的汉字表示不同的数字,相同的汉字 表示相同的数字,则符合题意的数“华罗庚学校赞”是什么?

C=7,D=8

A =3,B=9 =8,D=6 C E=1

A=3,B=8

蜂=1,蜜=2,甜=4,其中蜂和甜的值可对 换.<PGN0101.TXT/PGN>

4.下列竖式中的每个“奇”字代表1、3、5、7、9中的一个, 每个“偶”字代表0、2、4、6、8中的一个.为使算式成立,求 出它们所代表的数值。

习题十解答

A=8,B=2 C=1,N=4 E=3

A=2,B=1

2.将下面算式中的汉字换成适当的数字,(相同的汉字代表 相同的数字)使两个算式的运算结果相同。

3.下面竖式中的每个不同汉字代表0~9中不同的数码,求出 它们使得竖式成立的值。

第十一讲 巧填算符(一)

所谓填算符,就是指在一些数之间的适当地方填上适当的 运算符号(包括括号),从而使这些数和运算符号构成的 算式成为一个等式。

在填算符的问题中,所填的算符包括+、-、×、÷、()、[]、 {}。

解决这类问题常用两种基本方法:一是凑数法,二是逆推 法,有时两种方法并用。

凑数法是根据所给的数,凑出一个与结果比较接近的数, 然后,再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少,从而 使等式成立。

逆推法常是从算式的最后一个数字开始,逐步向前推想, 从而得到等式。

例1 在下面算式适当的地方添上加号,使算式成立。 8 8 8 8 8 8 8 8=1000

分析 要在八个8之间只添加号,使和为1000,可先考虑在 加数中凑出一个较接近1000的数,它可以是888,而888+ 88=976,此时,用去了五个8,剩下的三个8应凑成1000-976 =24,这只要三者相加就行了。 解:本题的答案是 888+88+8+8+8=1000

例2 在下列算式中合适的地方添上+、-、×,使等式成立。 ① 9 8 7 6 5 4 3 2 1=1993 ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9=1993

分析 本题的特点是所给的数字比较多,而得数比较大,这 种题目一般用凑数法来做,在本题中应注意可使用的运算 符号只有+、-、×。 ①中,654×3=1962,与结果1993比较接近,而1993-1962=31, 所以,如果能用9 8 7 2 1凑出31即可,而最后两个数合在一 起是21,那么只需用9 8 7凑出10,显然,9+8-7=10,就有: 9+8-7+654×3+21=1993

②中,与1993比较接近的是345×6=2070.它比1993大77,现 在,剩下的数是1 2 7 8 9,如果把7、8写在一起,成为78, 则无论怎样,前面的1、2和最后的9都不能凑成1.注意到 8×9=72,而7+8×9=79,1×2=2,79-2=77.所以这个问题可以 如下解决: 1×2+345×6-7-8×9=1993。 解:本题的答案是: ① 9+8-7+654×3+21=1993; ② 1×2+345×6-7-8×9=1993。

例3 在下面算式合适的地方添上+、-、×号,使等式成立。 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3=1992

分析 本题等号左边数字比较多,右边得数比较大,仍考虑 凑数法,由于数字比较多,在凑数时,应多用去一些数, 注意到333×3=999,所以333×3+333×3=1998,它比1992大6, 所以只要用剩下的八个3凑出6就可以了,事实了,

3+3+3-3+3-3+3-3=6,由于要减去6,则可以这样添:333×3 +333×3-3-3+3-3+3-3+3-3=1992。 解:本题的一个答案是: 333×3+333×3-3-3+3-3+3-3+3-3=1992。

补充说明:前面例1至例3中,它们的特点是等号左边的数

比较多,而等号右边的数比较大,这种问题一般用凑数法 解决比较容易。

例4 在下面算式合适的地方添上+、-、×,使等式成立。 1 2 3 4 5 6 7 8=1

分析 这道题的特点是等号左边的数字比较多,而等号右边 的得数是最小的自然数1,可以考虑在等号左边最后一个数 字8的前面添“-”号。

这时,算式变为:1 2 3 4 5 6 7-8=1

只需让1 2 3 4 5 6 7=9就可以了,考虑在7的前面添“+”号, 则算式变为1 2 3 4 5 6+7=9,只需让1 2 3 4 5 6=2就可以 了,同开始时的想法,在6的前面添“-”号,算式变为1 23 4 5-6 =2,这时只要1 2 3 4 5=8即可.同样,在5前面添“+”号, 则只需1 2 3 4=3即可.观察发现,只要这样添:1+2×3-4=3 就得到本题的一个解为1+2×3-4+5-6+7-8=1。 解:本题的一个答案是: 1+2×3-4+5-6+7-8=1

补充说明:一般逆推法常限于数字不太多(如果太多,推 的步骤也会太多),得数也比较小的题目,如例4.在解决这 类问题时,常把逆推法和凑数法结合起来使用,我们称之 为综合法.所以,在解决这类问题时,把逆推法和凑数法综 合考虑更有助于问题的解决。

例5 在下面算式中合适的地方,只添两个加号和两个减号 使等式成立。

1 2 3 4 5 6 7 8 9=100

分析 在本题条件中,不仅限制了所使用运算符号的种类, 而且还限制了每种运算符号的个数。

由于题目中,一共可以添四个运算符号,所以,应把1 23 4 5 6 7 8 9分为五个数,又考虑最后的结果是100,所以应在 这五个数中凑出一个较接近100的,这个数可以是123或89。 如果有一个数是123,就要使剩下的后六个数凑出23,且把 它们分为四个数,应该是两个两位数,两个一位数.观察发

现,45与67相差22,8与9相差1,加起来正巧是23,所以本 题的一个答案是: 123+45-67+8-9=100

如果这个数是89,则它的前面一定是加号,等式变为1 2 3 4 5 6 7+89=100,为满足要求,1 2 3 4 5 6 7=11,在中间要添 一个加号和两个减号,且把它变成四个数,观察发现,无 论怎样都不能满足要求。 解:本题的一个答案是: 123+45-67+8-9=100

补充说明:一般在解题时,如果没有特别说明,只要得到 一个正确的解答就可以了。

在例5这类限制比较多的题目的解决过程中,要时时注意按 照题目的要求去做,由于题目的要求比较高,所以解决的 方法比较少。

例6 在下列算式中合适的地方,添上()[],使等式成立。 ① 1+2×3+4×5+6×7+8×9=303 ②1+2×3+4×5+6×7+8×9=1395 ③1+2×3+4×5+6×7+8×9=4455

分析 本题要求在算式中添括号,注意到括号的作用是改变 运算的顺序,使括号中的部分先做,而在四则运算中规定 “先乘除,后加减”,要改变这一顺序,往往把括号加在有加、 减运算的部分。

题目中三道小题的等号左边完全相同,而右边的得数一个 比一个大.要想使得数增大,可以让加数增大或因数增大, 这是考虑本题的基本思想。

①题中,由凑数的思想,通过加( ),应凑出较接近303 的数,注意到1+2×3+4×5+6=33,而33×7=231.较接近303, 而231+8×9=303,就可得到一个解为: (1+2×3+4×5+6)×7+8×9=303

②题中,得数比①题大得多,要使得数增大,只要把乘法 中的因数增大.如果考虑把括号加在7+8上,则有6×(7+8) ×9=810,此时,前面1+2×3+4×5无论怎样加括号也得不到 1395-810=585.所以这样加括号还不够大,可以考虑把所有 的数都乘以9,即(1+2×3+4×5+6×7+8)×9=693,仍比得 数小,还要增大,考虑将括号内的数再增大,即把括号添 在(1+2)或(3+4)或(5+6)或(7+8)上,试验一下 知道,可以有如下的添加法: [(1+2)×(3+4)×5+6×7+8]×9=1395

③题的得数比②题又要大得多,可以考虑把(7+8)作为 一个因数,而1+2×3+4×5+6×(7+8)×9=837,还远小于4455, 为增大得数,试着把括号加在(1+2×3+4×5+6)上,作 为一个因数,结果得33,而33×(7+8)×9=4455.这样,得 到本题的答案是: (1+2×3+4×5+6)×(7+8)×9=4455 解:本题的答案是: ①(1+2×3+4×5+6)×7+8×9=303 ②[(1+2)×(3+4)×5+6×7+8]×9=1395 ③(1+2×3+4×5+6)×(7+8)×9=4455

习题十一

1.在下列算式的□中,添入加号和减号,使等式成立。 ①1□23 □4□□5 6 78□□9=100 ②12 □3 □4□□5 6 □7□89=100

2.在下列算式中合适的地方添上+、-号,使等式成立。 ①9 8 7 6 5 4 3 2 1=21 ②9 8 7 6 5 4 3 2 1=23

3.只添一个加号和两个减号,使下面的算式成立。 1 2 3 4 5 6 7 8 9=100

4.在下列算式中适当的地方添上+、-、×号,使等式成立。 ① 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4=1996 ② 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6=1992

5.在下列算式中适当的地方添上()[],使等式成立. ①1+3×5+7×9+11×13+15=401 ②15-13×11-9×7-5×3-1=8

习题十一解答

2.①9-8+7-6+5-4-3+21=21 ②9+8+7+6-5-4+3-2+1=23 3.123-45-67+89=100 4.① 444×4+44×4+4×4+4×4+4×4-4=1996 ② 6×6×6×6+666+6+6+6+6+6+6-6=1992 5.①[(1+3)×5+7]×9+11×13+15=401 ②[(15-13)×11-9×(7-5)]×(3-1)=8

第十二讲 巧填算符(二)

例1 在+、-、×、÷、()中,挑出合适的符号,填入下面 的数字之间,使算式成立。 ① 9 8 7 6 5 4 3 2 1=1 ② 9 8 7 6 5 4 3 2 1=1000

分析 这两道题等号左边的数字各不相同,且从大到小排 列,题目要求在每个数字之间都要填上运算符号,这是解 题中要注意到的。

①中,等号右边的得数是最小的自然数1,而等号左边共有 九个数字。

先考虑用逆推法:由于等号左边最后一个数字恰好是1,与 等号右边相同,所以,可以考虑在1的前面添“+”号,这样 如果前面8个数字的运算结果是0就可以了,观察注意到, 前面8个数字每一个数都比它前面一个数小1,这样,只要 把它们分成4组,每两数相减都得1,在两组的前面添“+”号, 两组的前面添“-”号,即得到:

(9-8)+(7-6)-(5-4)-(3-2)=0 或(9-8)-(7-6)+(5-4)-(3-2)=0 于是得到答案:

9-8+7-6-(5-4)-(3-2)+1=1 或9-8-(7-6)+5-4-(3-2)+1=1

再考虑用凑数法:注意到等号左边每一个数都比前一个数 小1,所以,只要在最前面凑出一个1,其余的凑出0即可, 事实上,恰有

9-8+7-6-(5-4)+(3-2)-1=1

凑数法的解答还有很多,请同学们试一试其他的凑法。 ②中,等号右边是一个较大的自然数1000,而等号左边要 在每两个数字之间添上运算符号,考虑用凑数法。

由于等号右边是1000,所以,运算结果应由个位是5或0的 数与一个偶数的乘积得到。

如果这个偶数是8,则在8的左、右两边都应该添“×”号,而 9×8=72,而1000÷72不是整数.所以,无论在7 65 4 3 2 1之间 怎样添算符,都不能得到所要的答案。 如果这个偶数是6,由于1000÷6不是整数,所以,不能得到 所要的结果。

如果这个偶数是4,那么在4的两边都应该添“×”号,即有: 9 8 7 6 5×4×3 2 1=1000.在4的右边只有添为4×(3-2)×1才有 可能使左边的算式得1000,这时,必须有9 8 7 6 5=250, 经过试验知,无论怎样添算符,都不能使上面的算式成立. 所以,这个偶数不能是4。

如果这个偶数是2,那么,在2的两边都应该添“×”号,即有 9 8 7 6 5 4 3×2×1=1000.只要添适当的算符,使9 8 7 6 5 4 3 的计算结果是500即可.再用凑数法,注意到9×8×7=504,与 500很接近,只要能用6 5 4 3凑出“-”4即可.事实上,6+ 5-4-3=4,所以只需 9×8×7-(6+5-4-3) 即9×8×7-6-5+4+3=500 这样,得到本题的答案是: (9×8×7-6-5+4+3)×2×1=1000

②题还可以综合运用逆推法和凑数法:由于等号右边是 1000,所以,等号左边1的前面只能添“×”或“÷”号(事实上, “×1”与“÷1”结果是相同的),由于等号右边的得数较大,考

虑在2的前面添“×”号,于是9 8 7 6 5 4 3应凑出500,再用与 上面相同的凑数法即可解决。 解:本题的答案是:

① 9-8+7-6-(5-4)-(3-2)+1=1 或9-8-(7-6)+5-4-(3-2)+1=1 或9-8+7-6-(5-4)+(3-2)-1=1 ②(9×8×7-6-5+4+3)×2×1=1000

补充说明:本题的结果不只一个,一般来讲,填算符的问 题只要得到一个答案就可以了.但是我们应该通过解题的各 种方法,开阔我们的思路.所以,一题多解在我们解题中占 有很重要的地位。

值得注意的是,虽然添算符的方法被归结为逆推法和凑数 法,但它们的运用往往不是孤立的,在求解过程中,常常 要将它们结合起来。

例2 在下列算式中合适的地方,添上+、-、×、÷、()等 运算符号,使算式成立。

①6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6=1993 ②2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2=1993

分析 本题中两道小题的共同特点是:等号左边的数字比较 多,且都相同,而等号右边的数是1993,比较大.所以,考 虑用凑数法,在等号左边凑出与1993较接近的数.

①题中,666+666+666=1998,比1993大5,只要用余下的 七个6凑成5就可以了,即6 6 6 6 6 6 6=5.如果把最前面一个6 留下来,则只须将剩下的六个6凑成1,即6 6 66 6 6=1,注 意到6÷6=1,6-6=0,可以这样凑 6÷6+6-6+6-6=1,或 666÷666=1。由于题目中要由1998中减掉5,所以最后的答 案是:

666+666+666-(6-6÷6+6-6+6-6)=1993 或者666+666+666-(6-666÷666)=1993

②题中,等号左边是十二个2,比①题中的数字6小,个数 也比①中的少.所以,要把它们也凑成1993,应该增大左边 的数,也就是要多用乘法,仿照①题的想法,先凑出1998, 可以这样做: 222×(2+2÷2)×(2+2÷2)=1998

用去了九个2,余下三个2,无论怎样也凑不出5,不行.所以 要减少前面用去2的个数,由于222×9=1998,所以,我们要 用几个2凑出9,即: 2×2×2+2÷2,这样,凑出1998共用去了八个2,即222× (2×2×2+2÷2).此时,还剩下四个2,用四个2凑出5是可以 的,即2+2+2÷2=5.这样得到答案为: 222×(2×2×2+2÷2)-(2+2+2÷2)=1993 解:① 666+666+666-(6-6÷6+6-6+6-6) =1993

或者 666+666+666-(6-666÷666)=1993 ② 222×(2×2×2+2÷2)-(2+2+2÷2)=1993

补充说明:由例2的思考过程可以看到,在添运算符号时常 要用到0或1,而对于相同的数(不同的数可以通过运算凑 成相同的数),要想得到0,只要在它们中间添“-”号;要想 得到1,只要在它们中间添“÷”号,0和1是添算符凑等式的 过程中常用的非常重要的数。

例3 在下面的式子里加上()和[],使它们成为正确的等式。 ①217-49×8+112÷4-2=89 ②217-49×8+112÷4-2=1370 ③217-49×8+112÷4-2=728

分析 本题只要求添括号,而括号在四则运算中的作用是改

变运算的先后顺序,即由原来的“先乘除,后加减”改为先做 ()中的运算,再做[]中的运算,然后再按四则运算法做. 所以,一般来讲,括号应加在“+”、“-”运算的部分。

这道题中的三道小题等号左边完全相同,而右边是不同的 数,注意到49×8=392,所以,括号不可能添在(217-49×8) 上,而且每一道小题都要把217后面的减数缩小。

①题中,等号右边的数比较小,所以应考虑用217减去一个 较大的数,并且这个数得小于217,最好是一百多,注意到 49×8+112=504,而504÷4=126.恰有217-126=91,91-2=89, 即可得到答案: 217-(49×8+112)÷4-2=89

②题中,等号右边的数比较大,所以在减小217后面的减数 的同时,要注意把整个算式的得数增大,这可以通过增大 乘法中的因数或减小除法中的除数实现.如果这样做: (217-49)×8,则既减小了减数,又增大了因数,计算知: (217-49)×8=1344.算式中得数是1370.注意到剩下的部分 112÷4-2=26相加恰好得到答案: (217-49)×8+112÷4-2=1370

③题中,等号右边的数介于①题与②题之间,所以,放大 和缩小的程度也要适当,由②题的计算知: (217-49)×8=1344,③题的得数是728,而算式左边还有 +112÷4-2,观察发现,1344+112=1456,1456÷2=728。 这样可以得到③题的答案是: [(217-49)×8+112]÷(4-2)=728 解:① 217-(49×8+112)÷4-2=89 ②(217-49)×8+112÷4-2=1370 ③[(217-49)×8+112]÷(4-2)=728

习题十二

1.从+、-、×、÷、()中,挑选出合适的符号,添入下列算 式合适的地方,使各等式成立。 ①6 6 6 6 6=19 ②7 7 7 7 7=20 ③9 9 9 9 9=21 ④9 9 9 9 9=22

2.在下列各算式的左端填上+、-、×、÷、()等符号使等式 成立。

① 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1993 ② 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1994 ③ 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1995 ④ 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1996

3.在下列各式中合适的地方,添上+、-、×、÷、()等运算 符号,使等式成立.

①4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4=1993 ② 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7=1993

4.在下列等式中合适的地方添上()[]{},使等式成立。 ① 1+2×3+4×5+6×7+8×9=505 ② 1+2×3+4×5+6×7+8×9=1005 ③ 1+2×3+4×5+6×7+8×9=1717 ④ 1+2×3+4×5+6×7+8×9=2899 ⑤ 1+2×3+4×5+6×7+8×9=9081 习题十二解答 1.①6+6+6+6÷6=19

② 7+7+7-7÷7=20 ③(99+9)÷9+9=21 ④(99+99)÷9=22 2.①(8888+8+8)÷8+888-8=1993 ②(8+8)×(8+8)×8-8×8+(88-8)÷8 =1994

③(8+8+8)×88-(8+8)×8+88÷8=1995 ④(8888-8-8-8)÷8+888=1996 3.①444×4+44×(4+4÷4)-4+4÷4+4-4 =1993 ②7777÷7+777+77+7+7+7+7÷7×7 =1993

4.①(1+2×3+4)×5+(6×7+8)×9=505 ②(1+2)×[3+4×(5+6)×7]+8×9=1005 ③ 1+2×3+[(4×5+6)×7+8]×9=1717 ④ 1+[2×3+4×(5+6)×7+8]×9=2899 ⑤{[(1+2)×3+4]×(5+6)×7+8}×9=9081

第十三讲 火柴棍游戏(一)

用火柴棍可以摆成一些数字和运算符号,如 、 、 、 ; 还可以摆出几何图形如正三角形、正方形、菱形、正多边 形和一些物品的形状.通过移动火柴棍,可进行算式的变化, 可以用它来做有趣的图形变化游戏.这一讲将就这些问题进 行讨论。

在用火柴棍摆数学算式时,可以通过添加、去掉和移动几 根火柴来使一些原来不正确的算式成立,在思考由火柴棍 组成的算式的变换时,应注意以下两点: ①在考虑使等式成立的数时,注意数字只限于 、

、 、

.这就缩小了可讨论的数的范围,而运算符号也只限于 、 、 。

②要使算式成立,经常要添加、去掉和移动几根火柴,从 而达到目的,而“添”、“去”、“移”的一般规律是:

添,添加一根火柴,可变 为 ,变 为 ,变 为 , 还可以在数前、数后添上 ,另外,可以把“ ”号变为“ ” 号,把“ ”变为“ ”号,在两个数之间增加“ ”号等。 去,“去”是“添”的反面,要去掉一根火柴棍,常可以变“ ” 为“ ”,变“ ”为“ ”,变“ ”为“ ”,变“ ”为“ ”, 变“ ”为“ ”.还可以去掉数字前面或后面的“ ”,以及数 字之间的“ ”号等.

移,“移”是“去”和“添”的结合,移动火柴棍时,要保证火柴 的根数没有变化.如“ ”与“ ”之间,“ ”与“ ”之间, “ ”与“ ”之间, ”与“ ”之间,“ ”与“ ”之间都 “可以互相转化。

例1 在下面由火柴棍摆成的算式中,添加或去掉一根火柴, 使等式成立。

分析 ①题中,只有一个四位数1244,且它是减数,其余的 数都是三位数,所以,我们首先想到,要把1244千位上的1 去掉,使它变成三位数.这时,等式左边是:772-244-417,

计算的结果恰好就是111.等式成立.①题中,由于减数是四 位数1244,我们又可以想到在被减数的前面添加一根火柴, 使它变成1772.这样,算式左边变为1772-1244-417,计算的 结果也是111,等式仍然成立.所以①题有两个答案。

②题中,原式左边的计算结果是四位数,右边的运算结果 是109.所以,使左边减小是做这道题的想法,左边,12×7= 84,所以,应该有4421变成25,注意到拿掉百位4上的一根 火柴即可变为“4+21”,从而满足等式。 解:①(1)去掉一根火柴棍:

(2)添加一根火柴棍:

②去掉一根火柴棍:

例2 在下面火柴棍摆成的算式中,移动一根火柴,使等式 成立。

分析 ①题中,观察算式两边,等号左边计算的结果是641, 右边计算的结果是141,所以基本想法是通过移动火柴棍, 使左边减小而右边增加.注意到,如果把左边的减数121变成 21,则左边的计算结果是741,且被拿掉一根火柴,右边141 中,添上这根火柴,恰好变成741,于是等式成立。

②题中,左边的计算结果是三位数,而右边是五位数,既 使将右边万位上的1或十位上的1移到左边422的前面,算式 也不能成立.所以想到,应该把右边的五位数变成三位数与 一位数的和,只能是“177+2”或“1+712”,从而使右边变为 三位数.计算左边,结果是287,所以,将17712变成“1+712” 不行,只能考虑从左边移一根火柴到右边,使右边变成 “177+2”,即179.这需要把左边减小一些.试着把左边的“+” 号变为“-”号,则左边为422—27×7—27×2,计算得179,满 足算式。

例3 在下面由火柴摆成的算式中,移动一根火柴棍,使算 式变成等式。

分析 题目中的两个小题只是两个四则运算式子,并没有等 号,而题目要求移动一根火柴使它变成等式.所以,我们一 定是要在数字或“+”号上去掉一根火柴,添在“—”号上或改 “+”为减号。 ①题中, 112 × 7=784,而784—72=712,剩下的部分还有 7+ 2,可变成 712.所以,可以把最后面一个“+”号中“—”移 到7前面的“—”号上,变成等号,即: 112×7—72=712,得到一个答案。

②题中,前面 111+111=222,最后面一个数是 224.所以, 如果能在 222后面再加 2(或加两个1),则可变成等式,

这可以把11中的一个1移到224前的“—”号上,变成“=”号就 得到答案:11l+111+1+1=224。

解:①题的答案是:

②题的答案是:

例4 用火柴棍摆出所有的千位为1的四位数,且每个数位上 的数字各不相同,计算它们的和,并用火柴棍摆出这个等 习题十三 式。 1.在下面由火柴棍摆成的算式中,添上或去掉一根火柴棍, 分析 解决这个问题分两步: 使算式成立。 先用火柴摆出所有的以1开头的四位数,由于火柴棍可摆的

数字只有1、2、4、7,为保证不重、不漏地写出它们摆出

的所有的以1开头的四位数,可以按从小到大(或从大到小) 的顺序来写,它们是1247、1274、1427、1472、1724、1742 2.在下面由火柴棍摆成的算式中,移动一根火柴棍,使算式

成立。 共六个,计算它们的和为8886。

再用火柴棍摆出这个等式,要把它们用火柴棍摆出来,关

键是把8886用1、2、4、7表示,观察发现:8886= 4444× 2—2

解:用火柴棍摆出所有以1开头的四位数是: 3.在下面由火柴棍摆成的算式中,只移动一根火柴棍,使算 式变成等式。 求它们和的等式可以表示为: 4.由火柴棍摆了两只倒扣着的杯子,如右图,请移4根火柴

棍,把杯口正过来。

在用火柴棍摆图形时,可以通过移动一根或几根火柴棍, 使图形发生有趣的变化。 例5 仓库中有一把如左下图所示的椅子,且椅子翻倒还掉

了一条腿,请移动2根火柴,使椅子翻过来,且看上去也不 5.由火柴棍摆成的定风旗如右图,移动四根火柴,使它成为 缺少腿。 一座房子.

分析 要把椅子翻过来,就要使下面有四条腿,上面有

椅子的靠背,故可以移动成(前页右下图所示)的样子。 解:移动的结果如前页右下图(虚线表示移走的火柴)。 例6 用火柴棍摆成头朝上的龙虾如下左图所示,移动它上 面的三根火柴,使它头朝下。 习题十三解答 1.

分析 要把龙虾的头变成朝下的,需要把上面的“头”拆掉,

2. 并摆出“尾”.还要在下面摆出“头”.由上面的分析,可移火柴 摆成上右图的样子。 解:可移火柴成上右图,即把虚线向左移动。 例7 由九根火柴棍组成的天平处于不平衡状态,(左下 3. 图),移动其中五根火柴,使它变为平衡。 分析 要把天平摆平,应先确定水平的天平臂,再把整个天 平摆好,而天平臂可利用一个天平盘的底,另一个天平盘

4. 不移动,如右下图。

解:本题可移走右图中虚线所示的火柴棍,摆成实线的样 子。

5.

第十四讲 火柴棍游戏(二)

这一讲将继续上一讲的内容,请看下面的例题。

例1 在下面由火柴摆成的算式中,移动两根火柴使等式成 立。

分析 ①题中,等号左边有一个四位数1112,而其他的数都 是两位数,所以,基本想法是把这个四位数变成两位数, 或把它变成三位数,再把其他一个数变成三位数.观察算式 例4 在图14—3中,由十二根火柴棍摆成了灯,移动三根火 注意到,等号右边是42,而等号左边第一个数是41,如果 柴,变为五个全等的三角形。 能把“-1112+ 11”的计算结果凑成“+1”,就可以了,可以 这样变:“+112—111”,就满足了算式。

②题中,等号左边有一个减数是1222,而其他数都是三位

数.所以应考虑把1222中的1移走.观察算式,可考虑把1移到

它前面的“—”号上,则算式变成:

222+222+222+711=177

显然,如果把711中的7变为1,而添在177上,变为777,则

分析 要由十二根火柴组成五个全等的三角形,这些三角形 等式成立。

中一定会有公用的“边”.并且在移动火柴棍时,一般应考虑 解:①题的答案是:

斜放着的火柴棍不动,而去移动不容易构成三角形的水平 ②题的答案是: 或竖直放置的火柴.观察图形,可以做如图14—4的移动.恰 好构成五个全等的三角形。

解:本题的移法如右图,其中虚线为移走的部分. 例2 在下面的算式中,移动两根火柴,使算式变成等式。

例5 图14—5是由十一根火柴摆成的希腊式教堂,移动四根 火柴,把它变为十五个正方形。 分析 ①题中,12× 4=48,而最后一个数是24,通过移一根 火柴,可改成44,观察算式知,可将14中的1移到24前面的

“—”号上,变为等式。

②题中,有一个四位数,一个五位数,其他是三位数,所

以,可将所有数都化为不超过三位,做如下的移动,即将 分析 首先注意到题目中并没有要求这十五个正方形大小 1112×2+11144变为112×2+1+114.这时,112×2+1+114=339, 相同,而由条件,要由十一根火柴摆成十五个正方形,可 而 339—222=117,所以只要把 117前面的“+”变为“=”号即 以肯定这些正方形有大有小,且有很多“边”要重复使用,如 可。 果只把“房顶”的两根火柴移下来,如图14-6,则只能得到11 解:①题的答案是: 个正方形(8个小的,3个大的).且只移动了两根火柴,不 满足题目要求,要想增加正方形的个数,正方形应该变小, ②题的答案是:

补充说明:在解决由添加、去掉或移动火柴,从而使算式 成立的问题时,要注意以下几点:

①由火柴棍摆成的数字只有1、2、4、7这四个数。

②在把火柴添、去、移时,目标经常是使等号两边各数的 位数一样多,从而使等式成立。

数一下图14—7中正方形的个数,有9个小正方形,4个由四 个小正方形构成的正方形和一个大正方形,共14个正方形. 那么它再加上一个正方形就满足题目要求了,而事实上, 只要移为图14—8,恰好满足题目的要求。

③要有较强的运算能力和全面观察、分析问题的能力,才 能顺利地解决问题。

火柴棍可以摆出许多图形,它不仅限于生活中的物品,还 能摆出一些几何图形,如三角形、四边形、多边形等等, 而且,通过移动几根火柴棍,使它们之间出现一些有趣的 转化.

例3 移动四根火柴棍,把图14—1中的斧子变为三个全等的 三角形。

分析 本题中,构成斧子的火柴棍共九根,而最后要用这九 根火柴构成三个全等的三角形,说明每个三角形都是边长 为1根火柴棍的三角形,且三个三角形没有公用的边,基于 这种想法,可有如图14—2的摆法。

解:本题的摆法(图14—2)中,虚线为移走的部分。

解:本题拿法如图14—13,按(1)→(2)→(3)→(4) 的步骤每次拿掉一根火柴即可。

习题十四

1.在下面火柴棍摆成的算式中,移动两根火柴,使算式成立。

解:本题的摆法为图14—8,其中,虚线表示被移走的部分。 例6 图14—9是由24根火柴摆成的回字形,移动四根火柴, 使它变成两个大小相同的正方形。

分析 由题目可见,要用24根火柴摆出两个大小相同的正方 形,每个正方形可由12根火柴构成.这样,每个正方形的边 长应由三根火柴棍组成,这样的两个正方形可以有图 14—10的四种摆法。

考虑到题目要求移四根火柴,若移成图14—10中(1)(2) (4)的形状,移动的火柴都要超过四根,而14-10中图(3) 则是由图14—9通过移动四根火柴得到的。

解:本题的摆法如图14—11,其中虚线是移走的部分。

例7 用18根火柴棍(如图14-12)摆成九个大小相同的三角 形,从这个图中每次拿走1根火柴,使它减少一个三角形, 最后使它留下大小相同的五个三角形,该怎样拿法?

分析 由题目,原来有九个三角形,最后要剩下五个三角形, 说明一共移走四根火柴,一般,第一次拿走哪根火柴都可 以减少三角形的个数,但要每次减少一个三角形,则只能 拿掉只做为一个三角形的边的火柴棍.在图14—12中,应该 是构成图形的最外边九根火柴的中一根,为保证每次只减 少一个三角形,可按图14—13的步骤一一拿掉。

2.在下面火柴棍摆成的算式中,移动两根火柴,使算式变为 等式。

3.由十根火柴摆成两只高脚杯,如下图.移动六根火柴,使 它变成一座房子.

4.由九根火柴摆成的路灯,如下图.移动四根火柴,把它变 成四个全等的三角形。

5.在下图所示的火柴摆成的图形中,移动三根火柴,得到三 个相同的正方形。

6.用十六根火柴棍可以摆出四个大小相同的正方形,如下图. 试问:如果用十五根、十四根、十三根、十二根火柴棍, 能否摆成四个大小相同的正方形?

习题十四解答

1.

2.

3.如(下图)

4.如(下图)

5.如(下图)

6.如(下图)

10.三年级(1)班和(2)班共有少先队员66人,已知(1) 班的少先队员人数是(2)班的少先队员人数的一半,则(1) 班有少先队员______人。

11.甲、乙两个图书馆共有图书11万册,如果甲馆的图书增 加1万册,乙馆的图书减少2万册,则两馆的图书就相等了, 那么,甲馆实际上有______万册图书。

12.按照下列图形的排列规律、在空格处填上合适的图形。

13.200到600之间有______个奇数具有3个各不相同的数字。 14.下列竖式中的 A、B、C、D、E 分别代表1~9中不同的 数字,求出它们使竖式成立的值.则:

15.下图是某个城市的街道平面图,图中的横线和竖线分别 表示街道,横线和竖线的交点表示道路的交叉处,小明家 住在 A 处,学校在 B 处,若小明从家到学校总走最短的路,

第十五讲 综合练习题 则小明共有______种不同的走法。

一、填空

1.计算:49+53+47+48+54+51+52+46

2.计算:1993+1992—1991—1990+1989+1988—1987-1986

+…+5+4—3—2+1 3.把1、2、3、4、5、6这6个数字分别填入下面算式的6个方

16.下图中,任意五个相邻方格中的数字之和都相等,则在

格内,能得到的两个三位数的和的最小值是()。

第四个方格中应填______。

4.仔细观察下列各组数的排列规律,并在空格处填入合适的 数。

①2,4,8,14,22,32,44,( ),74 ②2,5,10,17,26,37,50,( ),82 5.火柴棍摆成的算式: + = 这个等式显然是错误的, 请你移动一根火柴,使得等式成立,则正确的等式是( )。 6.右图是由5个大小不同的正方形叠放而成的,如果最大的 正方形的边长是4,求右图中最小的正方形(阴影部分)的 周长.

7.有下面两组卡片:

现从(A)(B)两组卡片中各取一张,用 S 表示这两张卡 片上的数字的和,求不同的 S 共有多少个。

8.求三个连续奇数的乘积的个位数字最小是多少。

17.建筑工人计划修9条笔直的公路,并在被公路分割开的每 个区域内各修一幢楼房,则最多可以修______幢楼。

18.两个自然数之和为350,把其中一个数的最后一位数字去 掉,它就与另一个数相同,则这两个数中较大的一个数是 ______。

19.某阅览室有不同的文科类图书60本,不同的理科类图书 100本,如果两类图书都最多只能借一本,则共有______种 不同的借法。

20.初二(4)班的同学要分组去参加集体劳动,按7人一组, 还剩1人;按6人一组也还剩1人,已知这个班的人数不超过 50人,则这个班应有学生______人。 二、解答题

1.五个连续自然数的和分别能被2、3、4、5、6整除,求满 足此条件的最小的一组数。

2.小明与同学做游戏,第一次他把一张纸剪成6块;第二次 从第一次所得的纸片中任取一块又剪成6块;第三次再从前 面所得的纸片中任取一块剪成6块,这样类似地进行下去, 问第10次剪完后,剪出来的大小纸片共多少块?是否有可 能在某一次剪完后,所有纸片的个数正好是1993?

3.有一个五位奇数,将这个五位奇数中的所有2都换成5,所 有5也都换成2,其他数保持不变,得到一个新的五位数, 若新五位数的一半仍比原五位数大1,那么原五位数是多 少?

习题解答

一、1.400。

原式=(49+51)+(53+47)+(48+52)+(54+46) =400。 2.1993。

原式=(1993+1992—1991—1990)+(1989+1988 -1986)+…+(5+4—3—2)+1

3时,百位数字只有3种选法;2、4,或5,对应于百位数字 的每种选法,十位数字都有8种选法,则这种情况下满足条 件的三位数有 3 × 8= 24个;若个位数字为 5时,同样也有 满足条件的三位数共24个.因此,所有满足题目条件的三位 数的个数为32 × 3+24×2=144个。 14.42857。

从竖式的最后一位看起,可知 E=7,依次可得 D=5,C=8, B=2,A=4。 15.35。

走最短的路,要求小明只能向东或向北走,从图可知:小 明从 A 到 C,到 D 都只有一种选法.因此,小明到 E 的走法 数就等于小明到 D 的走法数加上到 C 的走法数,即1+l=2; 到 F 的走法数就等于到 E 的走法数加上到 G 的走法数,即 2+1=3…如图依次类推,可知到 B 的走法有35种. 3.381。

要使两个三位数的和最小,必须要求每个三位数都尽可能

小,因此,它们的百位数字分别是1、2;十位数字分别是3、

4;个位数字分别是5、6;则和为381。 4.①58;②65。 数列①的规律是:an=an-1+2×(n—1),因此,空格处填 a8

16.7。 =44+2×7=58;

因为任意5个相邻方格中的数字之和都相等,所以方格中的 数列②的规律是 an=n×n+1,因此,空格处填 a8=8×8+1=65。

数字每5个方格为一个循环,即第6个、第11个、第16个方 格中的数都等于第1个方格中的数;第4个方格中的数就等 6.4。 于第9个、第14个方格中的数,应为7。

17.46。 7.5。

最大的 S 为7+6=13,最小的 S 为3+2=5,且因为(A)组 在九条公路把平面分成的每个部分里,依题意只可建一幢 为3个连续奇数,(B)组为3个连续偶数.所以,5~13之间 宿舍楼,因此,这实际上是九条直线最多把平面分成多少

部分的问题.因为一条直线把平面分成2部分,两条直线最多 的每个奇数都可被 S 取到,因此共有5个不同的 S 值。

把平面分面2+2=4部分,三条直线最多把平面分为2+2+ 8.3。

要求乘积的个位数字,只要求各个因数的个位数字的乘积 3=7部分…九条直线最多把平面分成的部分数等于2+2+ 即可.三个连续奇数的个位数只可能是1、3、5;或3、5、7; 3+4+5+6+7+8+9=46,所以最多可建46幢宿舍楼。 或5、7、9;或7、9、1;或9、1、3.因此个位数最小为3。 18.319。

9.178。

110a+11b+c=350,由 11|(110a+11b)可知: 11|(350-c), 9×18+8×2=178. 10.22。 66÷(2+1)=22(人)。 11.4。

实际上甲馆比乙馆少3万册图书,因此甲馆有图书 (11—3)÷2=4(万册)。

12.图形的排列规律是:每个图形都是由它前面的一个图形 顺时针旋转90°而得到的。

13.144。

若个位数字为1,则百位数字可从2、3、4、5,中任选一个, 共四种选法,对应于百位数字的每种选法,十位数字只要 不同于个位数字和百位数字即可.因此有8种选法;这样的三 位数有 4 × 8= 32个;若个位数字为 9或 7时,同上,考虑 可知满足条件的三位数也都是 4 × 8= 32个;若个位数字为

所以 c=9,则10a+b=31,所以 b=1,a=3,则较大的数为319。

19.6160。

只借文科类图书,有60种借法;只借理科类图书,有100种 借法;若两类都借,则有60 × 100=6000种借法,因此共有 6000+100+60=6160(种)不同的借法。 20.43。

因为学生的人数除以6和除以7都余1,所以,这个数减去1 后一定既是6的倍数,也是7的倍数,即它一定是42的倍数 加 1,又因为这个数小于 50,所以只能为 43。 二、

1.解:能被2、3、4、5、6整除的最小自然数为60,因此, 题中5个连续自然数的和一定是60的倍数,又因为60可以写 成10+11+12+13+14,所以满足条件的最小的一组数为:10、 11、12、13、14。

2.解:第一次剪完后,纸片块数为6=1+5,第二次剪完后, 纸片块数为 11= l+5 × 2,第三次剪完后,纸片块数为 16=1 +5×3…因此,第十次剪完后,纸片块数为1+5×10=51.同 时,观察上面的几个数字6、11、16…51可知,它们除以5

都余1,而1993÷5=398…3.因此,不可能在某一次剪完后, 所有纸片的块数正好是1993。

3.解:首先,原数的万位数字显然是2,新数的万位数字则 只能是5;其次原数的千位数字必大于4(否则乘2后不进 位),但百位数字乘2后至多进1到千位,这样千位数字只 能为9,依次类推得到原数的前四位数字为2、9、9、9.又个 位数字只能为1、3、5、7、9,经检验,原数的个位数字为 5,于是得出所求的原五位奇数为29995.

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