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巧算和速算指南

发布时间:2014-07-10 13:52:55  

常用的巧算和速算方法 【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。

例如著名的大数学家高斯(德国)小时候就做过的“百数求和”题,可以计算为

1 + 2 + …… + 99 + 100

所以,1+2+3+4+……+99+100

=101×100÷2

=5050。

“3+5+7+………+97+99=?

3+5+7+……+97+99=(99+3)×49÷2= 2499。

【由小推大】“由小推大”是一种数学思维方法,也是一种速算、巧算技巧。 遇到有些题数目多,

关系复杂时,我们可以从数目较小的特殊情况入手,研究题目特点,找出一般规律,再推出题目的结果。例如:

(1)计算下面方阵中所有的数的和。

这是个“100×100”的大方阵,数目很多,关系较为复杂。不妨先化大为小,再由小推大。先观察“5×5”的方阵,如下图(图4.1)所示。

容易看到,对角线上五个“5”之和为25。

这时,如果将对角线下面的部分(右下部分)用剪刀剪开,如图4.2 那样拼接,那么将会发现,这五个斜行,每行数之和都是25。所以,“5×5”方阵的所有数之和为25×5=125, 即5×5×5=125。

于是,很容易推出大的数阵“100×100”的方阵所有数之和为100×100×100=1,000,000。 【分组计算】一些看似很难计算的题目,采用“分组计算”的方法,往往可以使它很快地解答出来。

例如:

求1 到10 亿这10 亿个自然数的数字之和。

这道题是求“10 亿个自然数的数字之和”,而不是“10 亿个自然数之和”。

什么是“数字之和”?例如,求1 到12 这12 个自然数的数字之和,算式是

1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1+1+1+2=5l。

显然,10 亿个自然数的数字之和,如果一个一个地相加,那是极麻烦,也极费时间(很多年都难于算出结果)的。怎么办呢?我们不妨在这10 亿个自然数的前面添上一个“0”,改变数字的个数,但不会改变计算的结果。然后,将它们分组(首尾法分组):

0 和999,999,999;1 和999,999,998;

2 和999,999,997;3 和999,999,996;

4 和999,999,995;5 和999,999,994;

……… ………

依次类推,可知除最后一个数,1,000,000,000 以外,其他的自然数与添上的0 共10 亿个数,共可以分为5 亿组,各组数字之和都是81,如

0+9+9+9+9+9+9+9+9+9=81

1+9+9+9+9+9+9+9+9+8=81

………………

最后的一个数1,000,000,000 不成对,它的数字之和是1。所以,此题的计算结果是 (81×500,000,000)+1

=40,500,000,000+1

=40,500,000,001

根据此原理:

求1 到12 这12 个自然数的数字之和,

解:利用首尾法分组:0,9 1,8,2,7共5组数,加上10,11,12的和,即:9*5+1+0+1+1+1+2=51

【凑整巧算】用“凑整方法”巧算,常常能使计算变得比较简便、快速。例如

(1)99.9+11.1=(90+10)+(9+1)+(0.9+0.1)=111

(2)9+97+998+6=(9+1)+(97+3)+(998+2)+6-1-3-2

=10+100+1000

=1110

(3)125+125+125+125+120+125+125+125

=125+125+125+125+(120+5)+125+125+125-5

=125×8-5

=1000-5

=995

【恒等变形】恒等变形是一种重要的思想和方法,也是一种重要的解题技巧。

它利用我们学过的知识,去进行有目的的数学变形,常常能使题目很快地获得解答。 例如

(1)1832+68=

(1832-32)+(68+32)

=1800+100

=1900

(2)359.7-9.9=(359.7+0.1)-(9.9+O.1)

=359.8-10

=349.8

【拆数加减】在分数加减法运算中,把一个分数拆成两个分数相减或相加,使隐含的数量关系明朗化,并抵消其中的一些分数,往往可大大地简化运算。

(1) 拆成两个分数相减。例如

又如

(2) 拆成两个分数相加。

例如

又如

【巧妙试商】除数是两位数的除法,可以采用一些巧妙试商方法,提高计算速度。

(1)用“商五法”试商。

当除数(两位数)的10 倍的一半,与被除数相等(或相近)时,可以直接试商“5”。如70÷14=5,125÷25=5。

当除数一次不能除尽被除数的时候,有些可以用“无除半商五”。“无除”指被除数前两位不够除,“半商五”指若被除数的前两位恰好等于(或接近)除数的一半时,则可直接商“ 5”。例如1248÷24=52,2385÷45=53

(2)同头无除商八、九。

“同头”指被除数和除数最高位上的数字相同。“无除”仍指被除数前两位不够除。这时,商定在被除数高位数起的第三位上面,再直接商8 或商9。

5742÷58=99,4176÷48=87。

(3)用差数试商。

当除数是11、12、13…………18 和19,被除数前两位又不够除的时候,可以用“差数试商法”,即根据被除数前两位临时组成的数与除数的差来试商的方法。若差数是1 或2,则初商为9;差数是3 或4,则初商为8;差数是5 或6,则初商为7;差数是7 或8,则初商是6;差数是9 时,则初商为5。若不准确,只要调小1 就行了。

例如

1476÷18=82(18 与14 差4,初商为8,经试除,商8正确);

1278÷17=75(17 与12 的差为5

,初商为7,经试除,商7 正确)。

为了便于记忆,我们可将它编成下面的口诀:

差一差二商个九,差三差四八当头;

差五差六初商七,差七差八先商六;

差数是九五上阵,试商快速无忧愁。

【同分子分数加减】同分子分数的加减法,有以下的计算规律:

分子相同,分母互质的两个分数相加(减)时,它们的结果是用原分母的积作分母,用原分母的和(或差)乘以这相同的分子所得的积作分子。

分子相同,分母不是互质数的两个分数相加减,也可按上述规律计算,只是最后需要注意把得数约简为既约(最简)分数。

例如

(注意:分数减法要用减数的原分母减去被减数的原分母。)

由上面的规律还可以推出,当分子都是1,分母是连续的两个自然数时,这两个分数的差就是这两个分数的积,根据这一关系,我们也可以简化运算过程。例如

【先借后还】“先借后还”是一条重要的数学解题思想和解题技巧。例如

做这道题,按先通分后相加的一般办法,势必影响解题速度。现在从“凑整”着眼,采用“先借后还”的办法,很快就将题目解答出来了。

【个数折半】下面的几种情况下,可以运用“个数折半”的方法,巧妙地计算出题目的得数。

(1)分母相同的所有真分数相加。求分母相同的所有真分数的和,可采用“个数折半法”,即用这些分数的个数除以2,就能得出结果。

这一方法,也可以叙述为分母相同的所有真分数相加,只要用最后一个分数的分子除以2

,就能得出结果。

(2)分母为偶数,分子为奇数的所有同分母的真分数相加,也可用“个数折半法”求得数。比方

(3)分母相同的所有既约真分数(最简真分数)相加,同样可用“个数折

半法”求得数。

比方

【带分数减法】带分数减法的巧算,可用下面的两个方法。 (

1)减数凑整。例如

(2)交换位置。例如

在这两种方法中,第(1)种“凑整”法,也可以运用到带分数的加法中去。 例如

【带分数乘法】有些特殊的带分数相乘,可以采用一些特殊的巧算方法。 (1

)相乘的两个带分数整数部分相同,分数部分的和是1,则乘积也是个带分数,它的整数部分是一个因数的整数部分乘以比它大1 的数,分数部分是两个因数的分数部分的乘积。例如

(2)

相乘的两个带分数整数部分相差1,分数部分和为1,则积也是个带分数,它用较大数的整数部分的平方,减去分数部分的平方,所得的差就是这两个带分数的乘积。例如

(注:这是根据“(a+b)(a-b)=a2-b2”推出来的。)

(3)相乘的两个带分数,整数部分都是1,分子也都是1,分母相差1,则乘积也是个带分数。这个带分数的整数部分是1,分子是2,分母与较大因数的分母相同。例如

读者自己去试一试,此处略)。 【两分数相除】有些分数相除,可以采用以下的巧算方法:

(1)分子、分母分别相除。在个别情况下,分数除法可沿用整数除法的做法:用分子相除的商作分子,用分母相除的商作分母。不过,这只有在被除数的分子、分母,分别是除数的分子、分母的整数倍数的情况下,计算才比较简便。

例如

(2)分母相除,一次得商。在两个带分数相除的算式中,当被除数和除数的整数与分母调换了位置,而它们的分子又相同时,根据分数除法法则,只要用原除数的分母除以被除数的分母,所得的数就是它们的商。

例如

(注:用除法法则可以推出这种方法,此处略。)

小数的速算与巧算——凑整

【知识精要】

凑整法是小数加减法速算与巧算运用的主要方法。用的时候主要看末位。但是小数计算中“小数点”一定要对齐。

【例题精讲】

<一>凑整法

例1、 计算5.6+2.38+4.4+0.62。

【分析】5.6 与4.4 刚好凑成10,2.38 与0.62 刚好凑成3,这样先凑整运算起来会更加简便。

【解答】原式=(5.6+4.4)+(2.38+0.62)

=10+3

=13

【评注】凑整,特别是“凑十”、“凑百”等,是加减法速算的重要方法。

例2、计算:1.999+19.99+199.9+1999。

【分析】因为小数计算起来容易出错。刚好1999 接近整千数2000,其余各加数看做与它接近的容易计算的整数。再把多加的那部分减去。

【解答】 1.999+19.99+199.9+1999

=2+20+200+2000-0.001-0.01-0.1-1

=2222-1.111

=2220.889

【评注】所谓的凑整,就是两个或三个数结合相加,刚好凑成整十整百,我们也可以引申为读整法,譬如此题。“1.999”刚好与“2”相差0.001,因此我们就可以先把它读成“2”来进行计算。

但是,一定要记住刚才“多加的”要“减掉”。“多减的”要“加上”!

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