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高斯求和

发布时间:2014-07-11 11:43:31  

高斯求和

?高斯的故事
? 德国著名数学家高斯幼年时代聪 明过人,上学时,有一天老师出了一 道题让同学们计算: ? 1+2+3+4+…+99+100=? ? 老师出完题后,全班同学都在埋 头计算。只有小高斯不急不慌的思考 着,想了一会儿,小高斯很快给出了 答案:5050。 ?

? 高斯为什么算得又快又准呢? 原来小高斯通过细心观察发现:
? 1+2+3+4+…+50+51+…+97+98+99+100=?

? 高斯为什么算得又快又准呢? 原来小高斯通过细心观察发现:
? 1+2+3+4+…+50+51+…+97+98+99+100=?

4+97=101

3+98=101 2+99=101 1+100=101

小高斯通过细心观察发现:
1+100=2+99=3+98=…=49+52= 50+51。 ? 1~100正好可以分成这样的50对数,每对数 的和都相等。于是,小高斯把这道题巧算为 ? (1+100)×100÷2=5050。 ? ? 小高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了, 简单快捷。 ?

?

小高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了,

简单快捷。并且广泛地适用于“等差数列”
的求和问题。

?

哪什么 叫等差 数列呢?

?

后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数 列称为等差数列,后项与前项之差称为公差。 ? 例如: ? (1)1,2,3,4,5,…,100; ? ? (2)1,3,5,7,9,…,99; ? ? (3)8,15,22,29,36,…,71。

一个数称为一项,其中第一项称为首项,最

若干个数排成一列称为数列,数列中的每

(1)1,2,3,4,5,…,100; (2)1,3,5,7,9,…,99; (3)8,15,22,29,36,…,71。 ? 其中(1)是首项为1,末项为100,公差为1的 等差数列; ? (2)是首项为 1 ,末项为 99,公差为 2 的等差 数列; ? (3)是首项为 8 ,末项为 ,公差为 的等差 7 71 数列。 ? 若干个数排成一列称为数列,数列中的每一 个数称为一项,其中第一项称为首项,最后 一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列 称为等差数列,后项与前项之差称为公差。

? 由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式:

?

和=(首项+末项)×项数÷2

? (1)1,2,3,4,5,…,100; ? 1+2+3+4+…+99+100=? ? (2)1,3,5,7,9,…,99; ? 1+3+5+7+…+99=?

?(3)8,15,22,29,36,…,71。
? 8+15+22+29+…+71=?

? 例1 1+2+3+…+1999=? ? ? 分析与解:这串加数1,2,3,…,1999是 等差数列,首项是1,末项是1999,共有1999 个数。由等差数列求和公式 ? 和=(首项+末项)×项数÷2可得 ? 原式=(1+1999)×1999÷2=1999000 ? 注意:利用等差数列求和公式之前,一定要判 断题目中的各个加数是否构成等差数列。 ?

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