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三角形知识点

发布时间:2013-09-30 09:22:56  

第七章《三角形》知识归纳及配套练习题

? 与三角形有关的线段

(1)三角形的定义

(2)?三角形??底和腰不相等的三角形 ①(按边)?等腰三角形? 等边三角形??

?直角三角形?三角形?锐角三角形 ?②按角?斜三角形?钝角三角形??

(3)三角形的主要线段

①三角形的中线:顶点与对边中点的连线,三中线交点叫重心

②三角形的角平分线:内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三角角

平分线的交点叫内心

③三角形的高:顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂

心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置

不同)

(4)三角形三边间的关系.

①两边之和大于第三边 a?b?c,b?c?a,c?a?b

②两边之差小于第三边 c?a?b,a?b?c,b?c?a

(5)三角形的稳定性:

三角形的三条边确定后,三角形的形状和大小不变了,这个性质叫做三角形 的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.

? 本章知识结构图

例1:已知BD,CE是?ABC的高,直线BD,CE相交,所成的角中有一个角为50°, 则?BAC等于

分析:本题中由于没有图形, ?ABC的形状不确定,应分两种情况:

①?ABC是锐角三角形 ②?ABC是钝角三角形

解:50或130(过程略)

例2:如图,已知?ABC中,?ABC和?ACB的角平分线BD,CE相交于点O,且?A?60?,求?BOC的度数

例3:三角形的最长边为10,另两边的长分别为x和4,周长为c,求x和c的取值范围.

解:已知三角形的两边为10和4.那么第三边x的范围应满足:

10?4?x?10?4 即6<x<14.

?10是最长边

?6?x?10

?周长c的范围满足10?4?6?c?10?10?4,即20?c?24

? 与三角形有关的角

(1)三角形的内角和定理及性质

定理:三角形的内角和等于180°。

推论1:直角三角形的两个锐角互余。

推论2:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 推论3:三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

(2)三角形的外角及外角和

①三角形的外角:三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的

外角。

②三角形的外角和等于360°。

(3)多边形及多边形的对角线

①正多边形:各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.

②凸凹多边形:画出多边形的任何一条边所在的直线,若整个图形都在这条

直线的同一侧,这样的多边形称为凸多边形;,若整个多边形不都在这条直线的同一侧,称这样的多边形为凹多边形。

③多边形的对角线的条数:

A.从n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线,将多边形分成(n-2)个三角形。

n(n?3)B.n 边形共有条对角线。 2

(4)多边形的内角和公式及外角和

①多边形的内角和等于(n-2)×180°(n≥3)。

②多边形的外角和等于360°。

(5)平面镶嵌及平面镶嵌的条件。

①平面镶嵌:用形状相同或不同的图形封闭平面,把平面的一部分既无缝

隙,又不重叠地全部覆盖。

②平面镶嵌的条件:有公共顶点、公共边;在一个顶点处各多边形的内角

和为360°。

例1.如图,BP平分∠FBC,CP平分∠ECB,∠A=40°求∠BPC的度数。 分析:可以利用三角形外角的性质及三角形的内角和求解。 11解:∵∠1=(?A??4) ?2?(?A??3) 22

∵?BPC?180??(?1??2) ?A?40?

1?1?∴?BPC?180?????A??4)???A??3?? 2?2?

?180??

?70?

1?180??40?? 2

例2.如图,求∠A+∠C+∠3+∠F的度数。

分析:由已知∠B=30°,∠G=80°,

∠BDF=130°,利用四边形内角和,求出

∠3的度数,再计算要求的值。

解:∵四边形内角和为(4-2)×180°=360°

∴∠3=360°-30°-80°-130°=120°

又∵∠A ∠C ∠F是三角形的内角

∴∠A+∠C+∠F+∠3=180°+120°=300°

例3.已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的1,求这个多边形的边4

数。

分析:每一个外角的度数都是其相邻内角度数的1,而每个外角与其相邻的内角4

的度数之和为180°。

解:设此多边形的外角为x,则内角的度数为4x 则x?4x?180?解得x?36?

360??10 ?边数n? 36?

即这个多边形的边数为10

例4.用正三角形、正方形和正六边形能否进行镶嵌?

分析:可以进行镶嵌的条件是:一个顶点处各个内角和为360°

解:正三角形的内角为60?

正方形的内角为90?

正六边形的内角为120?

∴可以镶嵌。一个顶点处有1个正三角形、2个正方形和1个正六边形。

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