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三表五律娃娃乐(小学数学基础教学)

发布时间:2013-10-21 11:34:56  

三表五律娃娃乐

前言

在教学工作中,不同年级的小学生多次提出:【数位上的数字】与【数位上的数】是一回事吗?面对这一质疑,我于2000年写了《在基础教育教材中“数位上的数字”与“数位上的数”两个基础概念使用的混淆现象,再也不能继续下去了》一文,被收入《“世纪烛光”优秀教育论文选》第二卷。十二年过去了,人教出版社只是删掉了四个错误命题,问题并未从根本上得到彻底解决。

解不解决无所谓吗?在深入探究中发现:并不只是上面这对概念使用混淆,

【数字】与【数】这对概念使用也是混淆的。人类基础数文化,数位演算技术,受民族传统数文化的影响,不仅没有科学化;而且对数位运算存在技术用语横竖不通的问题,换句话说数位演算理论脱离数位演算实际。没有明确技术参量,没有抓住技术规律,尽管教程重复冗长,然而,教学效果依然底下,学生负担重,教育成本高。

基础概念使用混淆,数位运算技术教程的不科学,严重阻碍着绝大多数娃娃们的数学入门,从总体上说,制约了基础数学的普及;制约了科技队伍的壮大;制约了人类的科技进步的步伐。与快出人才,多出人才的时代要求不和谐。

出于教师的职业道德,以《三表五律娃娃乐》为题编写了一本科普读物(数位运算专著)。揭示了数位演算的加、减 、乘、除的四个技术规律,面向现行小学,揭开了极少数小学生跳级的谜底。开平方技术规律面向现行初中。意在从核准基础概念入手,整合人类基础数学,让已进入两对概念混淆的五里雾中的人们走出来,避免今后的娃娃再进入这个五里雾,坚持科学发展观,摒弃非科学的部分,精减教材,缩短教程。引导娃娃们顺畅撑握数位演算技术规律,为提高人们的科学素质打下坚实基础,改变目前文科考生过胜,理科考生不足、高级技工严重短缺的现状,为人类的科技进步尽微薄之力。

由于个人水平和时间的局限,很可能有想表达而表达不清,想说明而说不透的问题,甚至有误,敬请国内外专家、前辈和广大读者予以指正。

作者 迁西县新庄子乡大峪村 路殿轩

第一章 数位算术基础

第一节 认知和掌握世界通用的十个数字

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。

第二节 自然数

一、自然数

从0开始数数

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,???100,101,102,103,???1000,1001,1002,???

自然数又称整数。

二、自然数的大小比较

1、我们感知从0开始数数越数越大。

引入“>”读作“大于”

“<”读作“小于”

2、0<1<2<3<4<5<6<7<8<9<10??

?? 10>9>8>7>6>5>4>3>2>1>0。

第三节 认知和掌握数位记数

一、数位记数的要领

一个数字占一个数位,一个数位上只有一个数字。

二、数位记数

1、整数

— 1 —

一位数是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。

两位数是10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,??99 三位数是100,101,102,103,104,105,106,??999 四位数是1000,1001,1002,1003,1004,??9999

??

2、小数

①小数概念

用数位表示

整数是0的非0数,叫做小数。引入小数点“.”。

依次读作“0点1;0点2;0点3??0点9”。

一位小数0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9。 两位小数0.01,0.02,0.03,0.04,0.05,0.06,??0.99。 三位小数0.001,0.002,0.003,0.004,0.005,??0.999。 四位小数0.0001,0.0002,0.0003,0.0004,??0.9999。 ??

②小数的性质

小数的末尾添0去0,小数的大小不变。

例:0.1=0.10=0.100

3、带小数

整数部分不是0,并带有小数的数,叫做带小数。

例:3.1,3.14,3.142,3.1416。

— 2 —

第四节 数位的前后和高低

人们的书写习惯是从左到右,我们把一个数左边先写出来的数位叫做前位,右边后写出来的数位叫做后位。前位也称为高位,后位也称为低位。简称左前高,右后低。

第五节 数位顺序的具体称谓

一、整数位的具体称谓

从最低位右边开始依次是个位,十位,百位,千位,万位,十万位,百万位,千万位,亿位,十亿位??

二、小数位的具体称谓

从小数最高位左边开始依次是十分位,百分位,千分位,万分位,十万分位,百万分位,千万分位,亿分位,十亿分位??

第六节 数位上的数字

一、数字有序进入数位后的称谓,叫做数位上的数字。

例:对于123.456这个数来说

百位上的数字是1。

十位上的数字是2。

个位上的数字是3。

十分位上的数字是4。

百分位上的数字是5。

千分位上的数字是6。 对于987.65这个数来说 百位上的数字是9。 十位上的数字是8。 个位上的数字是7。 十分位上的数字是6。 百分位上的数字是5。

— 3 —

二、数位上的数字的个数

任何数位上的数字只能是0到9这十个数字。

第七节 数位基数

一、数位基数概念

达到某一数位的基础数,(十进制记数单位)叫做数位基数。

二、数位基数

1、整数的数位基数。

个位的数位基数是1。

十位的位数基数是10。

百位的数位基数是100。

千位的数位基数是1000。

万位的数位基数是10000。

?? 2、小数位的数位基数。 十分位的数位基数是0.1。 百分位的数位基数是0.01。 千分位的数位基数是0.001。 万分位的数位基数是0.0001 ??

第八节 超前代数及其应用

一、超前代数

用专用汉字表示不同的数位基数,见于四千多年前的华夏甲骨文中,即比印度人三世纪提出“0”,超前了两千三百多年,又比欧洲人十六世纪用自己的文字表示阿拉伯数,超前了三千六百多年,故称它为超前代数。

引入“=”读作“等于”

十=10,百=100,千=1000,万=10000,??

— 4 —

二、超前代数的应用

1、早在四千多年以前,我们的祖先,就在甲骨文中出现了十、百、千、万。

2、汉语整数记数的读写特点:

除了一位数,或个位上的数以外的非0整数数字后都读写它的数位基数。 例:数位记数 123 汉语读作一百二十三

第二章 数位算术基础(续)和数位运算技术规律

第一节 数位一级算术规律

一、数位数加求和技术规律

1、熟练掌握数位相加技术表——55个数字对的相加。

①引入“+”读作“加”

②相加技术称谓

横式1+2=3

竖式 1 ← 加数

+ 2 ← 加数

3 ← 和

③不进位的30对。 和 0+0 0 0+1 1 0+2 1+1 2 0+3 1+2 3 — 5 —

0+4 1+3 2+2 4 0+5 1+4 2+3 5 0+6 1+5 2+4 3+3 6 0+7 1+6 2+5 3+4 7 0+8 1+7 2+6 3+5 4+4 8 0+9 1+8 2+7 3+6 4+5 ④向前位数字进数字1的25对。1+9 2+8 3+7 4+6 5+5 2+9 3+8 4+7 5+6 3+9 4+8 5+7 4+9 5+8 5+9 2、数位相加例举。 ①整数相加

计算 28+13=41 28 + 13 41 509+491=1000 509 + 491 1000 ②小数相加。

— 6 —

6+6 6+7 6+8 7+7 6+9 7+8 7+9 9 和 10 11 12 13 14 15 8+8 16 8+9 17 9+9 18 137+549=686 137 + 549 686

1234+5678=6912 1234 + 5678 6912

计算 0.15+0.26=0.41 0.37+0.481=0.851

0.15 0.37

+ 0.26 + 0.481

0.41 0.1263+0.789=0.9153 0.39+0.124=0.514 0.1263 0.39

+ 0.789 + 0.124

0.9153 0.514

③整数加小数。

计算 78+0.34=78.34 0.15+46=46.15 78 0.15

+ 0.34 + 46

78.34 46.15

93+0.34=93.74 0.38+37=37.38 93 0.38

+ 0.74 + 37

93.74 37.38

④带小数相加。

计算 1.345+8.65=9.995 16.6+14.389=30.989

1.345 16.6 + 8.65 + 14.389

9.995 30.989

3、数位相加技术参量。

从上面数位相加的演算技术中,我们可以发现只有相同数位上的数字在参加运算,我们将数位上的数字叫做数位相加的技术参量。

任何数位上的数字,只有0到9这十种情况。

数位相加技术参量,只有0到9这十个数字。

— 7 —

相加技术参量相加仅有55对。

4、数位相加法则。

①相同数位对齐。

②从最低位加起。

③哪位上的数字相加满数10,向前位数字进数字1。

④后位相加若有进位,前位数字相加时,要先加数字1。

5、数位数加技术规律。

两数位数相加求和,是相同数位上的数字从最低位开始的依次相加,相加技术参量共形成55个数字对,55个数字对的相加满足任意数位的两数相加的技术需要。

二、数位相减求差技术规律。

1、熟练掌握数位相减技术表——100对数的相减。

①引入“-”读作“减”。

②相减技术称谓。

横式 3-2=1

竖式 3 ← 被减数

- 2 ← 减数

1 ← 差

③55个数字对的相减。 差 0-0 1-1 2-2 3-3 4-4 5-5 6-6 7-7 8-8 9-9 0 1-0 2-1 3-2 4-3 5-4 6-5 7-6 8-7 9-8 1 2-0 3-1 4-2 5-3 6-4 7-5 8-6 9-7 2 3-0 4-1 5-2 6-3 7-4 8-5 9-6 3 4-0 5-1 6-2 7-3 8-4 9-5 4 — 8 —

5-0 6-1 7-2 8-3 9-4 5 6-0 7-1 8-2 9-3 6 7-0 8-1 9-2 7 8-0 9-1 8 9-0 9 ④10到18的45对退位减。

10-4

10-3 11-4

10-2 11-3 12-4

-1 11-2 12-3 13-4

2、数位相减例举。

①整数相减

计算 38-25=13

38

- 25

13

234-125=109

234

- 125

109

②小数相减 10-6 10-5 11-6 11-5 12-6 12-5 13-6 13-5 14-6 14-5 15-6 差 10-9 1 10-8 11-9 2 10-7 11-8 12-9 3 11-7 12-8 13-9 4 12-7 13-8 14-9 5 13-7 14-8 15-9 6 14-7 15-8 16-9 7 15-7 16-8 17-9 8 16-7 17-8 18-9 9 123-45=78 123 - 45 78 2345-458=1887 2345 - 458 1887

— 9 — 10

计算 0.345-0.123=0.222 0.705-0.69=0.015 0.345 0.705 - 0.123 - 0.69

0.222 0.015

0.456-0.18=0.276 0.357-0.1426=0.2144 0.456

- 0.18

0.276

③整数减小数

计算 28-0.69=27.31

28

- 0.69

27.31

77-0.33=76.67

77

- 0.33

76.67

④带小数相减

计算 1.8-1.23=0.57

1.8

- 1.23

0.57

48.123-27.3456=20.7774

48.123

- 27.3456

20.7774

3、数位相减的技术参量。

— 10 — 0.357 - 0.1426 0.2144 65-0.15=64.85 65 - 0.15 64.85 1-0.35=0.65 1 - 0.35 0.65 25.12-12.35=12.77 25.12 - 12.35 12.77 69.1-19.29=49.81 69.1 - 19.29 49.81

从上面数位相减操作技术中,我们发现:够减的每次涉及一个数位;不够减,需要退位的涉及被减数的相邻前位,变为10到18的退位减。

数位相减的技术参量是0到18的前十九个自然数。

数位相减的技术参量形成55个数字对的相减和10到18与数字相减的45对退位减。

4、数位数相减法则。

①相同数位对齐。

②从最低位减起。

③哪位上的数字不够减,从前位数字退数字1在本位数字上加数10再减。 ④后位数字相减时若有退位,前位数字相减时要先减数字1。

5、数位数相减技术规律。

两数位数相减求差,是相同数位上的数字从最低位开始的依次相减,技术参量中够减的只形成55对数字减,不够减,需要退位的变为10到18与数字的45对数减,该100对数的相减,满足任意数位的两数相减的技术需要。

第二节 数位二级算术规律

一、数位相乘技术规律

1、两数相乘是加数相同运算的升级。

例:引入“×”读作“乘”

2+2+2=2×3

2、熟练掌握数位相乘技术表——55个数字对的相乘。

①相乘的技术称谓

横式 2×3=6

— 11 —

竖式 2 ← 因数

× 3 ← 因数

6 ← 积

②不进位的数字乘23对 积 0×0 0×1 0×2 0×3 0×4 0×5 0×6 0×7 0×8 0×9 1×1 1×2 1×3 1×4 2×2 1×5 1×6 2×3 1×7 1×8 2×4 1×9 3×3 ③向前位进位的32对

a、向前位数字进数字1的9对乘。

2×5=10 2×6=12 3×4=12 2×7=14 3×5=15 2×8=16

4×4=16 2×9=18 3×6=18

b、向前位数字进数字2的7对乘。

4×5=20 3×7=21 4×6=24 3×8=24 5×5=25 3×9=27 4×7=28

c、向前位数字进数字3的5对乘。

5×6=30 4×8=32 5×7=35 6×6=36 4×9=36

d、向前位数字进数字4的5对乘。

5×8=40 6×7=42 5×9=45 6×8=48 7×7=49

e、向前位数字进数字5的2对乘。

— 12 — 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

6×9=54 7×8=56

f、向前位数字进数字6的2对乘。

7×9=63 8×8=64

g、向前位数字进数字7的1对乘。

8×9=72

h、向前位数字进数字8的1对乘。

9×9=81

3、数位上的数

所在数位的数位基数与数位上的数字之积,叫做该数位上的数。

例:对于123.456这个数来说

百位上的数是100×1=100

十位上的数是10×2=20

个位上的数是1×3=3

十分位上的数是0.1×4=0.4

百分位上的数是0.01×5=0.05

千分位上的数是0.001×6=0.006 对于987.65这个数来说 百位上的数是100×9=900 十位上的数是10×8=80 个位上的数是1×7=7 十分位上的数是0.1×6=0.6 百分位上的数是0.01×5=0.05 数位有无穷个,数位上的数有无数个。

4、用数位记数的一个数等于它各数位上的数之和。

例:123.456=100+20+3+0.4+0.05+0.006

987.65=900+80+7+0.6+0.05

5、数位数的两类读法。

①整数的读法:

从高位到低位依次读数位上的数(不管中间连续有几个0,只读一个0)读出来的。

②小数的读法:

从小数的最高位开始依次读数位上的数字(中间连续有几个0,必须全部 — 13 —

读出来)读出来的。

6、数字的汉语定义和内涵。

具有数目属性,表示一位数和个位上的数,构成任意数词、单独或与不同文字结合组成任意数码和编码的文字。叫做数字。

用于数位记数的这些文字的内涵,只有0到9十个,没有外延。

7、数位相乘例举。

①整数相乘。

计算 25×37=925

25

× 37

175

+ 75

925

397×54=21438

397

× 54

1588

+ 1985

21438

②整数乘小数。

计算 38×0.15=5.7

38

× 0.15

190

+ 38

5.70

— 14 — 14×68=952 14 × 68 112 + 84 952 47×903=42441 47 × 903 141 + 423 42441 237×0.26=61.62 237 × 0.26 1422 + 474 61.62

③带小数乘小数。

计算 15.96×0.38=6.0648 3.142×0.25=0.7855

15.96 3.142

× 0.38 × 0.25

12768 15710

+ 4788 + 6284

6.0648 0.78550

8、数位相乘技术参量。

从上面数位数相乘的演算技术中,我们发现,是两因数中各数位上的数字从最低位开始的依次交叉相乘,相乘的技术参量只有0到9这十个数字。在相乘过程中有数位数加技术规律的应用。

相乘技术参量共形成55个数字对的相乘。

9、数位相乘法则。

①两因数最低位对齐。

②从最低位乘起。

③依次用一个因数各数位上的数字依次乘以另一个因数各数位上的数字。 ④在相乘过程中,记准与后位数字相乘时,有无进位,若有进位,所进数字是几,加到与前位数字相乘积的低位数字上,积的相同数位对齐。

⑤竖式下部的因数不是非0一位数字的,再相加。

⑥遇有尾数是0的整数相乘时,因数最后的非0数字对齐,乘完后,积的尾0个数是两因数尾0个数之和。

⑦积的小数定位,是两个小数因数中小数位之和。

10、数位相乘技术规律。

— 15 —

两数位因数相乘求积,是从两因数最低位开始的数位上的数字依次交叉相乘,相乘技术参量只形成55个数字对的相乘,55个数字对的相乘在数位相加技术规律的配合下,满足任意数位的两数相乘的技术需要。

任何数与0的积都等于0. 二、数位相除技术规律。 1、引入“÷”读作“除以”。 2、相除的技术称谓。 横式:6÷3=2 竖式: 2 ← 商 除数→ 6 ← 被除数 - 6 0 3、数位相除例举 ①整除

计算: 24÷6=4 4 24 - 24 0 ②余数除

计算: 29÷7=4??1 4 729 - 28 1 365÷12=30??5 30 — 16 —

72÷8=9 9 872 - 72 0 37÷7=5??2 5 737 - 35 2 855÷37=23??4 23

12365 37855

- 36 - 74

5 115

- 111

③整数除以小数

将小数化为整数,除数扩大多少倍,被除数也扩多少倍,按整数除法进行。 计算: 5÷0.12=500÷12=41.666??

41.6

12500

- 48

20

- 12

80

- 72

8

④小数除以整数

计算: 0.24÷8=0.03 0.57÷55=0.01??0.02

0.03

80.24 550.57

- 24 - 55

0 0.02

⑤小数除以小数

将除数化为整数,被除数也扩大同样倍数,再除。p

4、数位相除技术参量。

从上面数位数相除的技术演算中,我们会发现,是:a除数,b商的数位上的数字,c首看数位显数或余数续看一位或若干位显数作为技术参量。

技术参量关系是:c-a×b。

5、数位相除求商法则。

— 17 —

①从高位除起。

②被除数小于除数的,商的个位数字商0.

③首看数位显数或余数续看一位或若干位显数够几个除数就商几。

④每找到商的一位非0数字,就要从首看数位或余数续看一位或若干位减掉这个数字与除数的积到除尽或停除为止。

6、数位相除求商技术规律。

两数位数相除求商,是以除数为一个计数单位,从高位开始依次求解商的数位上的数字的运算,每找到商的一位非0数字,就要从被除数中首看数位或余数续看一位中减掉这个数字与除数的积。(当除至数位这个余数续看一位显数小于除数时商0后再后延一位再商,再乘再减),这一相减关系满足任意数位的两数相除的技术需要。是数位数乘规律和数位数减规律的相间应用。

0不能做除数。

0除以任何一个非0数,商都是0。

7、对自然数的两种分类。

①按能否被2整除分为:

a奇数,即不能被2整除的数叫做奇数。

1,3,5,7,9,11,13,15,??

b偶数,即能被2整除的数叫做偶数。

0,2,4,,6,8,10,12,14,16,??

②依据有1和本身两个整因数以外还有无其它整因数分为:

a质数,即无其它整因数的叫做质数。

2,3,5,7,11,13,17,19,23??

b合数,还有其它整因数的数叫做合数。

— 18 —

4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21??

c、0,1既不是质数也不是合数。

8、2,3,5的倍数的快捷判定。

①个位是2的整数倍的数就是2的倍数。

②一个数各个数位上的数字的和是3的倍数。这个数就是3的倍数。

例:111111这个六位数六个数位上的数字之和是6,6是3的倍数,111111是3的倍数。

③个位是0或5的数是5的倍数。

9、哥德巴赫猜想的证明。

德国数学家哥德巴赫于1742年6月7日提出:

是不是所有大于2的偶数,都可以表示为两个质数的和呢?

按照常理,企图用统一的方法加以证明,对猜想来说,是达不到证明目的的。

人们常说破解难题。破在前,解在后。放弃统一的证明方法,将证明破拆位两部分,加以证明:

一、将猜想中头一个偶数4,与头一个质数(质数中唯一的偶数)2,抽出来,单证: 4=2+2,一式完成穷举。

二、≥3的质数有无数个,相加的穷举无法完成,采用反证法:

质数的定义决定,从3开始,质数从小到大都是奇数。任意两个≥3的质数的和都是一个偶数,这是一个不争的结论。

只要我们能够证明:从3开始,两个质数科学恰当配对的和,形成的≥6的偶数,是连续的即可。

质数的定义决定:

— 19 —

除2以外,一位质数是:3,5,7;

两位和两位以上的质数的尾数是:1,3,7,9(此命题的逆命题不成立)。 ≥3的质数的尾数是有限的,只有1,3,5,7,9这五个数字,而这五个数字的相加能够完成穷举,只有15组,即

1+1=2 1+3=4 3+3=6 3+5=8 5+5=10

1+5=6 1+7=8 3+7=10 5+7=12 7+7=14

1+9=10 3+9=12 5+9=14 7+9=16 9+9=18

显而易见,该15组的和所得偶数是连续的。其中1泛指尾数是1≥11的全体质数,3泛指尾数是3≥3的全体质数,尾数5仅有5一个质数,7泛指尾数是7≥7的全体质数,9泛指尾数是9≥19的全体质数。这就决定了以1,3,5,7,9为尾数的相同数位(包括相同数)和不同数位的≥3的两个质数的和,足以满足≥6的偶数从小到大是连续的需要。

也就是说,≥3的质数科学恰当配对的和,足以满足≥6的偶数从小到大是连续的。

反之,任何一个≥6的偶数都可以表示为≥3的两个质数的和。

一、二合并这个证明:

所有大于2的偶数,都可以表示为两个质数的和。

从而解决了一个270多年来尚未解决的世界性数学难题。

10、你知道吗?什么是数学运算中的自然趋同律?

数学运算中的自然趋同律是指自然数经过某种数学运算之后就进入了一种循环境况。例如,任意选四个不同的数字,组成一个最大的数和一个最小的数,用大数减去小数。用所得结果的四位数重复上述过程,最多七步,必得6174。

若选1,4,6,7这四个数字7641-1467=6174,只用一步,这是自然趋— 20 —

同律在数学运算中的体现。

第三节 数位的三级算术规律

一、数位的乘方。

1、乘方就是相同因数相乘的升级——幂。

2、乘方的技术称谓。

例:3×3=32 3 ← 幂底 2 ← 幂指数 32读作3的二次方,3的平方,3的2次幂。

33读作3的三次方,3的立方,3的3次幂。

3、小数幂结果定位是底中小数位数的指数倍。

4、乘方技术适用于数位相乘技术定理。

5、数位基数集合。

是10的整个整数(包括负整数)幂的集合。

二、数位的开平方技术规律。

1、开方的技术称谓。

引入“”读作“根号”。 例:9读作根号9,理解为对9开二次方,也叫开平方,等于3,这里3是9的平方根,通常书写时一律省略跟指数2,即将9写为。

8=2 理解为对8开三次方,也叫开立方。被开方数是8,根指数是3,8的立方根是2.

2、数位数开平方例举。

①根是一位整数的开平方。

0?0 ?1

4?2 ?3 ?4 25?5 36?6 — 21 —

49?7 ?8 ?9

②根是一位小数的开平方。

0.01?0.1 0.04?0.2

0.49?0.7 0.09?0.3 0.64?0.8 .16?0.4 0.81?0.9 .25?0.5 0.36?0.6

③根不是一位数的开平方。

计算: 576?24

2 4

22 → -4

2×20+4 → 44/ 176

-176 ← 44×4

0 89?67 计算:44’

6 7

44’89

62 → -36

6×20+7 → 127/889

- 889 ←127×7 0

计算: .0609

1. 0 3

09 .06’

12 → -1

1×20×10+3 → 203/06 09

- 6 09 ← 203×3 0

— 22 —

计算:6225.21

7 8. 9

62’25’.21

72 → -49

7×20+8 → 148/13 25

11 84 ← 148×8

78×20+9 → 1569/1 41 21

1 41 21 ←1569×9

④开不尽

计算: .3?12.05??0.0975

1 2. 0 5

45’.3000 ’

12 → -1

1×20+2 → 22/45

-44 ← 22×2

12×20×10+5 →2405/1 3000

1 2025 ← 2405×5

0.0975

3、数位开平方的技术参量。

从上面开平方的演算技术中,我们会发现:

①首减技术参量。

a首节 0,1~3,4~8,9~15,16-24,25~35,36~48,49-63,64~80,81~99。

b平方根首位数字的平方。

1,4,9,16,25,36,49,64,81。

参量关系:a-b

— 23 —

②续减技术参量。

c余数续看一节

d已开出根的20倍

c÷d试商——即根的次位数字——用E表示即0到9这十个数字。 续减关系:c-(d+E)E

若c小于d,次根为0,再续看一节或若干节,每续看一节d×10再除、加、乘、减。

4、数位数开平方法则。

①将被开方数以小数点为界向左、向右每两位一节分开(小数点后出现一位数字的添0)。

②从高位节开起。

③首节中含有几的平方数,根的首位数字就开出几。

④从首节中减掉,根首位数字的平方数。

⑤从根的次位数字开始对已开出根20位后应用续减参量——前面所讲的c-(d+E)E到开尽或停开为止。

5、【数位开平方技术规律】

数位数的开平方求根是以被开方数为一个平方数从高位节开始依次求解平方根数位上的数字的运算。

前边 所讲a-b,c-(d+E)E 满足任意数位数开平方的技术需要。按顺序是数乘规律,数减规律和数除规律,数加规律,数乘规律和数减规律的重复应用。 — 24 —

第三章 运算顺序

第一节 运算级别的运算顺序

一、同一级运算从左到右依次进行。

例:11+23-31+8 25÷5×7÷35

=34-31+8 =5×7÷35

=3+8 =35÷35

=11 =1

二、当三级运算同时出现一式中时,是三级后二级再一级。例: 314+160÷42-25×49

=314+160÷16-25×7

=314+10-175

=324-175

=149

第二节 括号的使用

先算小括号内,后算中括号,再算大括号内。

例:100-{52+[23-(6-)]}

=100-{25+[8-(6-3)]}

=100-{25+[8-3]}

=100-{25+5}

=100-30

=70

— 25 —

数位运算小词典

【数字】具有数目属性,表示一位数和个位上的数,构成任意数词、单独或与异种文字结合组成任意数码和编码的文字。

内涵:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个文字,没有外延。

【数位】一个数字占有一个位置。

①整数部分从右到左依次为个位,十位,百位,千位,万位,十万位,百万位,千万位,亿位,??

②小数部分从左到右依次为十分位,百分位,千分位,万分位,十万分位,百万分位,千万分位,亿位,??

左为前位,右为后位,左为高位,右为低位。

【数位基数】达到某一数位的基础数,十进制计数单位,叫做该数位的数位基数。数位基数集合是10的整个整数幂,有无数个。

【数位上的数字】数字有序进入数位后的称谓。

①表示所在数位的数位基数的个数。

②是数位运算的基本出发点。

③是加、减、乘数位运算的技术参量。

④任何数位上的数字都是0到9。

【数位上的数】是所在数位上的数字与数位基数的积。有无数个。数位上的数之和构成数位数。

【超前代数】用专用汉字表示数位基数。见于四千多年的甲骨文,即超前于三世纪印度人的提出的“0”;又超前于十六世纪欧洲人用字母表示数,透出华夏民族的聪明和智慧。

— 26 —

十=10,百=100,千=1000,万=10000,亿=100000000,??

【数位运算技术参量】参与数位运算的技术的数量范围。

【数位数加技术参量】0到9这十个数字。

【数位数减技术参量】0到18这前十九个自然数。

【数位数乘、乘方技术参量】0到9这十个数字。

【数位数除技术参量】被除数中首看数位或余数续看一位或若干位;除数;商数位上的非0数字。

【数位开平方技术参量】被开方数中首节、余数续看一节或若干节,根首位数字的平方,已开出根的20倍,根的次位数字,已开出根的20倍加根的次位数字。

【数位数加求和技术规律】两数位数相加求和,是相同数位上的数字从最低位开始的依次相加,技术参量只形成55个数字对,55个数字对的相加满足任意数位的两数相加的技术需要。

【数位数相减求差技术规律】两数位数相减求差,是相同数位上的数字从最低位开始的依次相减,技术参量够减的,只形成55对数字的相减。不够减需要从前位数字退下数字1,在本位数字上加数10再减的45对退位减,该100对数的相减满足任意数位的两数相减的技术需要。

【数位数相乘、乘方技术规律】两数位数相乘求积,一个数位数的乘方都是从两因数的最低位开始的依次交叉相乘,技术参量只形成55个数字对的相乘,55个数字对的相乘在数位数加技术规律的配合下满足任意数位的两数相乘和任意数位数乘方的技术需要。

【数位数除求商技术规律】两数位数相除求商,是以除数为一个计数单位从高位开始,依次求解商的数位上的数字的运算,每找到商的一位非0数字,都要

— 27 —

从被除数中首看数位或余数续看一位或若干位的数位上减掉这个数字与除数的积,这一乘、减关系满足任意数位的两数相除的技术需要。

【数位开平方技术规律】数位数的开平方是从被开方数的高位节开始依次求解平方根数位上的数字的运算,首节减去根首位数字的平方,从次根开始就要以余数和续看一节为被除数,已开出根的20倍为除数试商——即次根,再将次根加到已开出根的20倍上后再与次根相乘,从余数续看一节中减掉前边的积,当余数每续看一节小于已开出根的20倍时,次根商0,对20倍再10倍再除、加、乘、减。到开尽或停开为止。

上述首减和续减关系满足任意数位数开平方求根的技术需要。

【0】①自然数的起始数。②正数和负数的分界数。③平面直角坐标的原点。④空间坐标系的几何中心。⑤海平面的高度。⑥摄氏温度的冰点。

以上十八条推荐给《现代汉语词典》和《中华大词典》。

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