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三角形的内角和

发布时间:2013-10-24 13:47:06  

三角形的内角和
澄江二中 初二数学备课组
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内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角,平 时,它们三兄弟非常团结。可是有一天,老 二突然不高兴,发起脾气来,它指着老大说: “你凭什么度数最大,我也要和你一样 大!”“不行啊!”老大说:“这是不可能 的,否则,我们这个家就再也围不起来 了……”“为什么?” 老二很纳闷。

同学们,你们知道其中的道理吗?
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三角形的三个内角和是多少?

你有什么办法可以验证呢? 把三个角拼在一起试试看?

从刚才拼角的过程你 能想出证明的办法吗?
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三角形的内角和等于1800.
证法1:延长BC到CD,在△ABC的外部,
以CA为一边,CE为另一边作∠1=∠A, 于是CE∥BA (内错角相等,两直线平行). ∴∠B=∠2 (两直线平行,同位角相等). A 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°
1

E
2

B

C

D

三角形的内角和等于1800.
证法2:延长BC到D,过C作CE∥BA,
∴ ∠A=∠1 (两直线平行,内错角相等) ∠B=∠2 (两直线平行,同位角相等) A 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°
B
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E
1

2

C

D

三角形的内角和等于1800.
证法3:过A作EF∥BA,
∴∠B=∠2 (两直线平行,内错角相等) E ∠C=∠1 (两直线平行,内错角相等) 又∵∠2+∠1+∠BAC=180° ∴∠B+∠C+∠BAC=180°
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A

2

1

F

B

C

0. 三角形的内角和等于180

证法4:过A作AE∥BC,
∴∠B=∠BAE (两直线平行,内错角相等) ∠EAB+∠BAC+∠C=180° (两直线平行,同旁内角互补) ∴∠B+∠C+∠BAC=180°

E

A

B

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C

在这里,为了证明的需要,在原来 的图形上添画的线叫做辅助线。在平面 几何里,辅助线通常画成虚线。

思路总结
为了证明三个角的和为1800,转 化为一个平角或同旁内角互补,这 种转化思想是数学中的常用方法.
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(1)在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43 °
则∠ C= 102 ° . (2)在△ABC中, ∠A :∠B:∠C=2:3:4 则∠A = 40 ° ∠ B= 60 ° ∠ C= 80 ° . (1)一个三角形中最多有 (2)一个三角形中最多有

1 个直角?为什吗?
1 个钝角?为什吗?

(3)一个三角形中至少有

2 个锐角?为什吗?

(4)任意 一个三角形中,最大的一个角的度数至少 为 60° .
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例1.如图:在△ABC中,∠BAC=40°,∠B=75°, AD是△ABC的角平分线,求∠ADB的度数
? 解:由∠BAC=40°, AD是△ABC的角平分线得:

? ∠BAD=
? 在△ABD中,

1 ?BAC ? 20? 2
A

C D

? ∠ADB=180°— ∠B — ∠BAD ? = 180°— 75°— 20° ? =85°
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B

例题2. 如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,
B岛在A岛的北偏东80 °方向,C岛在B岛的 北偏西40 °方向。从B岛看A,C两岛的视角 ∠ABC是多少度?从C岛看A、B两岛的视角 ∠ACB是多少度? 北

D C E

. .B


A

.

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? ? ? ? ? ?

解:∠CAB= ∠BAD - ∠CAD =80°-50°= 30° ∵AD∥BE,得: ∠BAD +∠BADE=180° ∴ ∠ABE=180°- ∠BAD = 180°- 80°=100° ∠ABC=∠ABE-∠EBC= 100°- 40°=60° 在△ABC中 ,∠ACB= 180°- ∠ABC -∠CAB = 180°- 60°- 30°= 90° ? 答:从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°,从C岛看 A、B两岛的视角∠ACB是90°



你还能想出 其他办法吗?
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1、如图,某同学把一块三角形的玻 璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去 配一块形状完全一 样的玻璃,那 么最省事的办法是 ( C )







(A)带①去 (C)带③去

(B)带②去 (D)带①和②去
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2、在△ABC中,如果 1 1 ∠A = ∠B= ∠ C, 2 3 那么△ABC是什么三角形?

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