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小学数学课外学习材料(五年级暑期)

发布时间:2013-10-28 08:01:53  

小学数学课外学习材料

五年级暑期

第一讲 等差数列(一)

按顺序排列的一列数叫数列。数列中的数叫做项, 第一个数叫首项, 第二个数叫第二项??,最后一个数叫末项。像 3、7、11、15、19、23 这样的数列, 相邻两项的差都相等, 叫等差数列, 相等的差叫公差。生活中, 经常会遇到求等差数列的和一类的问题。为此,再取一个相同的数列, 把顺序颠倒一下, 然后逐项相加, 这就相当于首项与末项, 第二项与倒数第二项, 第三项与倒数第三项??末项与首项相加, 于是这两个等差数列的和等于 (3+23)+(7+19)+(11+15)+(15+11)+(19+7)+(23+3)

很明显, 括号里的 6 个和相等, 都等于 3+23 的和,于是总和等于 (3+23)×6。即, 原来等差数列的和等于 (3+63)×6÷2。如果把 3 换成“首项”, 23 换成“末项”,6换成“项数”,就得到等差数列的求和公式:

和=(首项+末项)×项数÷2

例 1 计算 123+234+345+456+567+678+789。

解:原式=(123+789)×7÷2=3192。

等差数列的用途非常广泛, 应用中除了求和以外, 还可能求公差或项数。 例 2 在二千多年前, 古代巴比伦人的泥板书里有这样一道题:

弟兄 10 个分 100 两银子, 老大分的最多, 从老二起一个比一个少, 但是所少的数都相同, 已知老八分了 6 两, 问挨肩的两兄弟相差多少两? 解:在导出等差数列求和公式的过程中, 我们知道首项与末项, 第二项与倒数第二项, 第三项与倒数第三项??末项与首项的和都相等, 等于多少呢? 从公式看, 应该是“和的 2 倍除以项数”。因此, 老八与老三一共分了 100×2÷10=20 (两), 老三应该分 20-6=14 (两), 老八比老三少分 14-6=8 (两), 而老八比老三少 8-3=5 (个)公差, 所以, 挨肩的两兄弟相差 8÷5=1.6 (两)。

例 3 求 200 到 300 之间, 所有 7 的倍数的和是多少?

解:200÷7=28??4, 所以大于 200 的 7的倍数中, 最小的一个是 7×29=203。300÷7=42??6, 所以, 小于 300 的 7 的倍数中,最大的一个是 7×42=294。因此 200 到 300 之间 7 的倍数有 42-29+1=14(个)。 1

这14 个数的和是 (203+294)×14÷2=497×14÷2=3479。

练 习 一

带“*”的是选做题。

1. 计算 15+19+23+27+31+35+39+43+47+51。

2. 一个剧场共有 20 排座位, 第一排有 38 个座位, 往后每一排都比前一排多 2 个座位, 这个剧场一共有多少个座位?

3. 大华纺织厂举行青年徒工技能大赛, 取前 6 名, 第一名奖金 1000 元, 以下每低一个名次, 奖金少 100 元, 这次大赛共发奖金多少元?

4. 从 1 到 100 所有 5 的倍数的和是多少?

5. 在 300 到 400 之间, 所有能被 9 整除的数的和是多少?

* 6. 下图中共有 30 个数,除了第一行和第一列以外, 其余各数都等于同一行最左边的数与同一列最上边的数的和。这 30 个数的总和是多少?

第二讲 等差数列(二)

在日常生活中, 经常会遇到自然数列、偶数列和奇数列, 这些数列都是等差数列。这一讲我们就来根据等差数的求和公式, 分别导出这些常见数列的求和公式。

一、自然数列 1, 2, 3, ?, n 是公差为 1 的等差数列, 根据等差数列的求和公式, 可以得到自然数列的求和公式: S=n×(n+1)÷2 例 1 求 1+2+3+?+100。

解:因为 n=100, 所以

S=1+2+3+?+100=100×(100+1)÷2=5050

二、偶数列 2, 4, 6,? 是公差为 2 的等差数列, 每一项都是自然数列对应项的 2 倍, 所以第 n 项是 2n, 于是前 n 个偶数和 S=n×(2n+2)÷2=2n×(n+1)÷2=n×(n+1),求和公式是: S=n×(n+1)。

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