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例谈学生数学错误的辨别标准

发布时间:2013-11-04 13:38:34  

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题,这个辨别标准就是“规律性的内容”。

刘莹,副教授,多年来一直从事小学教

师教育的教学和科研工作,主持和参与了初等数论》等多部著作的编写工作。《

教育感言:教育应当根植于真实的情

景,研究最小的问题。

对于学生学习数学的错误研究,多集中于“诊断”与“治疗”两个方面,而诊断首先应当解决“错没错”的问

例谈学生数学错误的

辨别标准

首都师范大学初等教育学院

郜舒竹

1.一个案例引出的思考对于类似于114×21这样的两位数乘法,其竖式标

准算法为:

这种算法与前面的标准算法不同,先算出了20个

114相加的结果,然后与1个114相加。在课堂中,学生

的这种算法遭到了教师的否定,被认为是错误的。

事实上,学生的算法是符合乘法的意义或乘法对加法的分配律的,只是与标准算法的运算顺序不同。而且,由于学生已经熟悉一个因数是一位数和整十数的乘法运算,因此应当说这种算法更加符合学生的认知规律。当然不可否认,学生的算法与课本中标准算法的书写格式不同。

11

×2

11

+228

239

4144

这种竖式算法依据的是乘法的意义或乘法对加法的分配律,即把21个114相加变为1个114和20个114相加,先算出1个114的结果,再算出20个114相加的结果,最后将两个结果相加。

课堂观察中,发现有学生在自主探究过程中,给出了如下的算法:

2.数学内容的主客定位

小学生学习的数学内容可以分为三类:

第一类是按照数学自身发展规律自然生成的内容。比如加法交换律(a+b=b+a),它反映的是两种“加”的过程间的内在联系,是加法运算的自然规律。只要有加法存在,这种规律就随之存在,不以人的意志为

×+

228

11239

11

0044

转移。再如,“平面上三角形内角和等于180度”,反映的是平面上三角形三个内角之间的内在联系,是平面上三角形的自然属性,只要是平面上的三角形都具有这种属性。

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第二类是依据数学发展的需要人为规定的内容。

在“有余数除法”这一教学内容中,特别强调“余数要比除数小”,这一规定并不是除法运算自然拥有的规律。除法作为乘法的逆运算,a÷b=q……r正确与否,应当由a=b×q+r是否成立来判断。比如对于7÷2,下面两个算式应当同时成立:

7÷2=3……1,7=2×3+1

如果没有“余数要比除数小”的规定,7÷2在整数范围内就会出现四种形式的不同结果,依据对应的乘法算式检验都是正确的(见下表)。

除法

乘法

简言之,第一类数学内容是数学自身发展的必然产物,不以人的主观意志为转移,是学习过程中应当探索、发现的内容;第二类数学内容具有相对的人为规定性,规定的目的是为了数学内部的需要,学习的着力点在于理解规定的道理;第三类数学内容具有较强的人为规定性,这种内容的科学性体现于能否为多数人所承认并接受。

如果把第一类内容叫做“规律性知识”,那么第二类和第三类内容就叫做“规则性知识”从两者各自所。具有的特征看,规律性知识具有较强的客观性,而规则性知识则具有明显的主观特征。

7÷2=0……77÷2=1……57÷2=2……37÷2=3……1

7=2×0+77=2×1+57=2×2+37=2×3+1

被除数和除数分别相等的除法运算,却得到不同的运算结果。像这种运算结果不确定的情况将会给以此为基础的数学推理带来麻烦,比如,如果没有“余数小于除数”这一条件,下面的推理就不能成立:

a1÷b1=q1……r1a2÷b2=q2……r2

如果a1=a2,并且b1=b2那么q1=q2,并且r1=r2

为了保证运算结果的确定性,不得已做出“余数要比除数小”的规定。这种规定性的内容是人为的,是为了数学自身发展的需要。

第三类是依据人的某种需要而规定的内容。比如前面案例中提及的竖式标准算法,在没有电子计算机(器)时代,为了减轻计算的思维负担,需要借助纸笔作为计算的工具。在此基础上,人们发明了多种多样的计算方法,经过长时间的使用与对比,把为多数人所接受的算法传承下来,作为后人学习的标准算法。虽然这些标准算法是依据数学中的规律形成的,但其更主要的特征是人为规定,目的在于方便。

比如,15世纪的欧洲曾经流传的“格子算法”,就是当时人们发明出来用于减轻思维负担的标准算法。像3×67和43×67这样的问题,在当时是按如下方式计算的:

3.辨别数学错误的标准

前面案例中学生的算法之所以被认为是错误的,原因就是违背了数学课本中的书写标准。另外,在小学数学测试中可以见到这样的判断题:“长方体的六个面都是长方形。”

如果学生答“对”,则被认为是错误的,因为命题者的意图是希望学生知道“长方体的六个面除了长方形之外,还有正方形的情况”。而事实上,是命题者自身误解了长方形与正方形的属种关系,把题目中的长方形理解为长与宽不相等的长方形。

将辨别学生正误的标准局限于教科书或命题人的主观意图方面,显然是不恰当的。依据《现代汉语词典》对错误的定义,应当把这个标准定位于数学中的客观实际”规律性内容”当然,“,也就是前面所说的“。这并不意味着“规则性内容”是可以随意违背而不必纠正的,应当认识到“规则”制定出来是为大家所共同遵守的,并且在不同条件下是会发生变化的。

前面关于两位数乘法的案例中,学生的计算方法符合数学中的规律性内容,应当视为正确。但同

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感悟数学的“魅力”

浙江宁海县城东小学

陈东贤

如何让大多数学生建立起学习“模型”,感受到数学的魅笔者认力,增强学数学的兴趣,这始终是我们教师探讨的课题。为可通过以下几种方式让学生去感悟数学的“存在”、数学的魅力”“。

一、操作中感悟数学

在19世纪的德国有一位普普通通的烧砖工,他经常把儿“

子带到砖窑厂去玩,孩子在观察父亲堆砌砖瓦的劳动中,很自然地发现了数的概念和形的概念的关系,并由此而产生了浓厚的数学兴趣。这位烧砖工的儿子,就是19世纪伟大的数学玩砖瓦玩出了数学家,说明数学离不开操作,在家———高斯。”操作中感悟“数学”做中学”玩中学”的教学理念。,体现“、“

比如,在3点钟的时候,时针与分针组成的角是直角,那么

创造”的过程,在变换、转化过程中享受数学思想的独特魅力。

例如,兄弟四人一起去买彩电,老大带的钱是另外三人所带钱总数的一半,老二带去的钱是另外三人总钱数的带的钱是另外三人总数的

,老三3

,老四带364元钱,兄弟四人带去4

钱刚好买一台彩电,那么这台彩电的价格是多少元?

题中出现了

111

三个分数,这三个分数的单位“1”234

的量不一样。学生碰到此类问题难以着手,如果把分率进行转化,问题就容易多了。因为老大带的钱是另外三人所带钱总数的一半,那么老大带的钱是四个人总钱数的的钱为总钱数的价钱为:364÷(1-

,同理,老二带3

11

,老三带的钱为总钱数的,这样彩电的总45111

--)=1680(元)。345

又如在梯形ABCD中,E是DC的中点,已知梯形的面积为

()点钟的时候时针和分针成的角也是直角,1点到4点之间,

碰到这种题,中国学生习惯)次。

100平方厘米,求阴影部分的面积。

时针和分针组成直角共有(

用计算来解决,而美国学生习惯用拨钟表来得出结果,其实拨比算容易得多,这说明我们课堂教学要更加重视操作。

又如,一根长16厘米的绳子,对折3次后,沿中间剪开,剪成了(

为100÷2=50(平方厘米)。

②③

)段,其中较短一段的长为()厘米。此题如果画图

本题要通过割补转化成图②或图③可得阴影部分的面积三、对比中鉴赏数学

学生对数学概念分辨不清,解决问题时常出现错误,其中一点就是教师的教学缺少对比,对比可通过讨论等方式进行。对比教学的关键是让学生抓住本质分清比较对象的异同点。

例如,下面三图都是从同一个正方体中切去一个长方体后所得的立体图形,剩下图形的体积分别是多

(下转第37页)

解较难找到答案。有些学生用小纸条折一折、剪一剪,很快就得出了答案。其实好多数学问题用操作法能找到解题的捷径。

二、变换中发现数学

变换”在数学中是一种处理数学问题的思想方法。恰到“

好处的交换能使数学问题深入浅出,从而引导学生不断经历艰辛的自主探索的学习过程,让学生亲历数学知识“再发现”再、“

XIAOXUEJIAOXUEYANJIU

时应当让学生认识到,这种计算方法是有局限性的。如果用这种方法计算像114×27这样的题目:

久以来为多数人所认可并接受,应当是有其合乎道理的地方。

关于学生学习数学的错误研究,多集中于“诊断”与“治疗”两个方面。治疗措施的设计必须以诊断结果为基础,如果仅仅把诊断视为寻找“病因”为,即研究“什么错”这样的问题,似乎并不全面。诊断首先应当解决“有病”还是“没病”错没错”这样的问题。,也就是“

1×

2+

12

7042897

0088

其中114×7这一步就只能依靠口算完成,不如课本中的标准算法来得更为简便。课本中的标准算法长

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