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二次函数知识点总结最新有用

发布时间:2013-11-15 12:58:51  

二次函数知识点

一、二次函数概念:

1.二次函数的概念:一般地,形如y?ax?bx?c(a,b,c是常数,a?0)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a?0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数y?ax?bx?c的结构特征:

⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. ⑵ a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项. 二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式:y?ax的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

2

2

2

2

2. y?ax?c的性质: 上加下减。

3. y?a?x?h?的性质:

左加右减。 4.

2

y?a?x?h??k的性质:

三、二次函平移 1. 平移

方法抛物线解成顶点式

2

数图象的步骤: 一:⑴ 将析式转化

1

y?a?x?h??k,确定其顶点坐标?h,k?;

⑵ 保持抛物线y?ax的形状不变,将其顶点平移到?h,k?处,具体平移方法如下:

22

向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位【或左(h<0)】

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.

概括成八个字“左加右减,上加下减”.

方法二:

⑴y?ax2?bx?c沿y轴平移:向上(下)平移m个单位,y?ax2?bx?c变成

y?ax2?bx?c?m(或y?ax2?bx?c?m)

⑵y?ax2?bx?c沿轴平移:向左(右)平移m个单位,y?ax2?bx?c变成y?a(x?m)2?b(x?m)?c(或y?a(x?m)2?b(x?m)?c)

四、二次函数y?a?x?h??k与y?ax?bx?c的比较 22

从解析式上看,y?a?x?h??k与y?ax?bx?c是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22

b?4ac?b2b4ac?b2?y?a?x?,其中h??. ,k???2a?4a2a4a?

五、二次函数y?ax?bx?c图象的画法

五点绘图法:利用配方法将二次函数y?ax?bx?c化为顶点式y?a(x?h)?k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在2222

c?、c?关于对称轴对称的点?2h,c?、对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y轴的交点?0,以及?0,

0?,?x2,0?(若与x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 与x轴的交点?x1,

画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.

六、二次函数y?ax?bx?c的性质 2

?b4ac?b2?b 1. 当a?0时,抛物线开口向上,对称轴为x??,顶点坐标为???. 2a4a2a??

4ac?b2bbb当x??时,y随x的增大而减小;当x??时,y随x的增大而增大;当x??时,y有最小值. 4a2a2a2a

?b4ac?b2?bb 2. 当a?0时,抛物线开口向下,对称轴为x??,顶点坐标为??时,y随x的增大而增大;当?.当x??2a4a2a2a??

2

4ac?b2bb. x??时,y随x的增大而减小;当x??时,y有最大值4a2a2a

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式:y?ax?bx?c(a,b,c为常数,a?0);

2. 顶点式:y?a(x?h)?k(a,h,k为常数,a?0);

3. 两根式:y?a(x?x1)(x?x2)(a?0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).

注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即22

b2?4ac?0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数y?ax?bx?c中,a作为二次项系数,显然a?0.

⑴ 当a?0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大;

⑵ 当a?0时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大.

总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小.

2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.

⑴ 在a?0的前提下,

当b?0时,?

当b?0时,?

当b?0时,?2b?0,即抛物线的对称轴在y轴左侧; 2ab?0,即抛物线的对称轴就是y轴; 2ab?0,即抛物线对称轴在y轴的右侧. 2a

b?0,即抛物线的对称轴在y轴右侧; 2a

b?0,即抛物线的对称轴就是y轴; 2a⑵ 在a?0的前提下,结论刚好与上述相反,即 当b?0时,?当b?0时,?

当b?0时,?b?0,即抛物线对称轴在y轴的左侧. 2a

总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.

ab的符号的判定:对称轴x??

总结:

3. 常数项c b在y轴左边则ab?0,在y轴的右侧则ab?0,概括的说就是“左同右异” 2a

⑴ 当c?0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;

⑵ 当c?0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;

⑶ 当c?0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.

总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.

总之,只要a,b,c都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.

二次函数解析式的确定:

根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:

1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;

3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.

3

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达

1. 关于x轴对称

y?ax?bx?c关于x轴对称后,得到的解析式是y??ax?bx?c; 22

y?a?x?h??k关于x轴对称后,得到的解析式是y??a?x?h??k;

2. 关于y轴对称

y?ax?bx?c关于y轴对称后,得到的解析式是y?ax?bx?c; 2222

y?a?x?h??k关于y轴对称后,得到的解析式是y?a?x?h??k;

3. 关于原点对称

y?ax?bx?c关于原点对称后,得到的解析式是y??ax?bx?c;

y?a?x?h??k关于原点对称后,得到的解析式是y??a?x?h??k;

4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°) 222222

b2

y?ax?bx?c关于顶点对称后,得到的解析式是y??ax?bx?c?; 2a22

y?a?x?h??k关于顶点对称后,得到的解析式是y??a?x?h??k. 22

n?对称 5. 关于点?m,

y?a?x?h??k关于点?m,n?对称后,得到的解析式是y??a?x?h?2m??2n?k

根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.

十、二次函数与一元二次方程:

1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况):

一元二次方程ax?bx?c?0是二次函数y?ax?bx?c当函数值y?0时的特殊情况.

图象与x轴的交点个数: 2222

0?,B?x2,0?(x1?x2),其中的x1,x2是一元二次方程① 当??b?4ac?0时,图象与x轴交于两点A?x1,2

ax?bx?c?0?a?

0?的两根.这两点间的距离AB?x2?x1? 2

② 当??0时,图象与x轴只有一个交点;

③ 当??0时,图象与x轴没有交点.

1' 当a?0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y?0;

2' 当a?0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y?0.

2. 抛物线y?ax?bx?c的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);

3. 二次函数常用解题方法总结:

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;

⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;

4 2

⑶ 根据图象的位置判断二次函数y?ax?bx?c中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置,要数形结合;

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax?bx?c(a?0)本身就是所含字母x的二次函数;下面以a?0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:

图像参考:

2

2

y=-2x2

2

y=3(x+4)2

y=3x2

2

2

2-3

5

y=-2(x-3)2

十一、函数的应用

?刹车距离?二次函数应用?何时获得最大利润

?最大面积是多少?

二次函数考查重点与常见题型

1. 考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:

已知以x为自变量的二次函数y?(m?2)x2?m2?m?2的图像经过原点, 则m的值是2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为

选择题,如:

如图,如果函数y?kx?b的图像在第一、二、三象限内,那么函数y?kx2?bx?1的图像大致是( )

3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如:

已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为x?5,求这条抛物线的解析式。 3

4. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如:

32已知抛物线y?ax?bx?c(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y2

(1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。

【例题经典】

由抛物线的位置确定系数的符号

例1 (1)二次函数y?ax?bx?c的图像如图1,则点M(b,2c)在( ) a

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

(2)已知二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象如图2所示,?则下列结论:①a、b同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

6

2

(1) (2)

【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,c之间的关系,是解决问题的关键.

例2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2,O)、(x1,0),且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在点(O,2)的下方.下列结论:①a<b<0;②2a+c>O;③4a+c<O;④2a-b+1>O,其中正确结论的个数为( )

A 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个

答案:D

会用待定系数法求二次函数解析式

例3.已知:关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为( ) A(2,-3) B.(2,1) C(2,3) D.(3,2)

答案:C

例4、(2006年烟台市)如图(单位:m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动,直到AB与CD重合.设x秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为ym.

(1)写出y与x的关系式;

(2)当x=2,3.5时,y分别是多少?

(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,

三角形移动了多长时间?求抛物线顶点坐标、

对称轴. 2222

例5、已知抛物线y=1252x+x-. 2

(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.

(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.

【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查,第(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系.

例6.已知:二次函数y=ax-(b+1)x-3a的图象经过点P(4,10),交x轴于A(x1,0),B(x2,0)两点(x12?x2),交y轴负半轴于C点,且满足3AO=OB.

(1)求二次函数的解析式;(2)在二次函数的图象上是否存在点M,使锐角∠MCO>∠ACO?若存在,请你求出M点的横坐标的取值范围;若不存在,请你说明理由.

(1)解:如图∵抛物线交x轴于点A(x1,0),B(x2,O),

则x1·x2=3<0,又∵x1<x2,

∴x2>O,x1<O,∵30A=OB,∴x2=-3x1.

∴x1·x2=-3x1=-3.∴x1=1.

x1<0,∴x1=-1.∴.x2=3.

∴点A(-1,O),P(4,10)代入解析式得解得a=2 b=3

∴.二次函数的解析式为y-2x-4x-6.

(2)存在点M使∠MC0<∠ACO.

(2)解:点A关于y轴的对称点A’(1,O),

∴直线A,C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0,-6),(5,24).

∴符合题意的x的范围为-1<x<0或O<x<5.

当点M的横坐标满足-1<x<O或O<x<5时,∠MCO>∠ACO.

例7、 “已知函数222 y?12, x?bx?c的图象经过点A(c,-2)2

求证:这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

(1

)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式?若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象;若不能,

7

请说明理由。

(2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整。

点评: 对于第(1)小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用,再结合条件“图象经过点A(c,-2)”,就可以列出两个方程了,而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第(2)小题,只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第(1)小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。

[解答] (1)根据y?12x?bx?c的图象经过点2A(c,-2),图象的对称轴是x=3,得

?12?2c?bc?c??2,

? ?b??3,?1?2?2?

解得??b??3, c?2.?

所以所求二次函数解析式为

(2)在解析式中令y=0,得y?12x?3x?2.图象如图所示。 212x?3x?2?0,解得x1?3?,x2?3?5. 2

,0)”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3?,0). 所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3+

令x=3代入解析式,得

所以抛物线5y??, 2125x?3x?2的顶点坐标为(3,?), 22

5所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3,?)等等。 2y?

函数主要关注:通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征;借助多种现实背景理解函数;将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;渗透函数的思想;关注函数与相关知识的联系。

用二次函数解决最值问题

例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图),其中AF=2,BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积.

【评析】本题是一道代数几何综合题,把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起,能很好考查学生的综合应用能力.同时,也给学生探索解题思路留下了思维空间.

例2 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)?与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:

若日销售量y是销售价x的一次函数.

(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;

(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元??此时每日销售利润是多少元?

【解析】(1)设此一次函数表达式为y=kx+b.则??15

k?b?25, 解得k=-1,b=40,?即一次函数表达式为y=-x+40.

?2k?b?20

2 (2)设每件产品的销售价应定为x元,所获销售利润为w元 w=(x-10)(40-x)=-x+50x-400=-(x-25)+225.

产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利润为225元.

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点:(1)设未知数在“当某某为何值时,什么最大(或 8 2

最小、最省)”的设问中,?“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数;(2)?问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程.

例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5 m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5 m,则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)

( )

A.1.5 m B.1.625 m

C.1.66 m D.1.67 m

分析:本题考查二次函数的应用

答案:B

9

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