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数学1

发布时间:2013-09-19 12:44:36  

第一章 立体几何 1 空间几何体的结构及其三 视图和直观图 基础知识 自主学习
要点梳理 1.多面体的结构特征

平行 (1)棱柱的上下底面 _____,侧棱都平行 ____且 全等 _________,上底面和下底面是_____的多边 长度相等
形. (2)棱锥的底面是任意多边形, 侧面是有一个 公共顶点 __________的三角形.

(3)棱台可由________________的平面截棱 平行于棱锥底面
相似 锥得到,其上下底面的两个多边形_______.

2. 旋转体的结构特征
一边所在直线 (1)圆柱可以由矩形绕其_______________

旋转得到. (2) 圆 锥 可 以 由 直 角 三 角 形 绕 其
一条直角边所在直线 ____________________旋转得到.

(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线 或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得
平行于圆锥底面 到,也可由____________________的平面

截圆锥得到.
直径 (4)球可以由半圆或圆绕其_____旋转得到.

3.空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用_______得到,这种 正投影 投影下与投影面平行的平面图形留下的影子 与平面图形的形状和大小是_________的,三 完全相同 视图包括_______、_______、______. 正视图 侧视图 俯视图 4.空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用________画法, 基 斜二侧 本步骤是: (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴,两 轴相交于点 O, 画直观图时, 把它们画成对应 的 x′轴、y′轴,两轴相交于点 O′,且使 ∠x′O′y′=____________. 45° 135° (或 )

(2)已知图形中平行于 x 轴、y 轴的线段,在直 x′轴、y′轴 观图中分别平行于________________. (3)已知图形中平行于 x 轴的线段, 在直观图中 保持不变 长度____________,平行于 y 轴的线段,长度

原来的一半 变为___________.
(4)在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平 面,在直观图中对应的 z′轴也垂直于 x′O′y′平 面,已知图形中平行于 z 轴的线段,在直观图

不变 中仍平行于 z′轴且长度______.

5.中心投影与平行投影
互相平行 (1)平行投影的投影线____________,而中心 相交于一点 投影的投影线__________________.

(2)从投影的角度看,三视图和用斜二测画法
平行 画出的直观图都是在______投影下画出来的

图形.

6.柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 圆柱 体积 Sh V=___=
πr2h _______

2πrh S 侧=_____

1 Sh V=_____= 3
圆锥

πrl S 侧=_____

1 2 πr h ______= 3 1 2 2 2 πr l -r 3

1 V= (S 上+S 下 3 圆台 + S上S下)h= π(r1+r2)l S 侧=________ 1 π(r2+r2+ 3 1 2 r1r2)h 直棱 柱 正棱 锥

Ch S 侧=____

Sh V=____

1 Ch′ 2 S 侧=____

1 Sh 3 V=_____

正棱 台

1 V= (S 上+S 下 S 侧= 3 1 (C+C′)h′ ___________ + S上S下)h 2



4πR S 球面=_____

2

4 3 πR V=______ 3

7.几何体

的表面积 (1) 棱 柱 、 棱 锥 、 棱 台 的 表 面 积 就 是

各面面积之和 ________________.
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是

矩形 _______、________、________;它们的表 扇形 扇环形
侧面积与底面面积之和 面积等于__________________________.

[难点正本 疑点清源]
1. 画空间几何体的三视图的两个步骤 第一步,确定三个视图的形状;第二步,将这

三个视图摆放在平面上.在绘制三视图时,分界
线和可见轮廓线都用实线画出,被遮挡的部分 的轮廓线用虚线表示出来,即“眼见为实、不 见为虚”.

2.三视图与空间几何体中的几何量的关系 空间几何体的数量关系也体现在三视图中,正视图和

侧视图的“高平齐”,正视图和俯视图的“长对正”,
侧视图和俯视图的“宽相等”.其中,正视图、侧视图 的高就是空间几何体的高,正视图、俯视图中的长就 是空间几何体的最大长度,侧视图、俯视图中的宽就 是空间几何体的最大宽度.要尽量按照这个规则画空间 几何体的三视图.

[难点正本

疑点清源]

4.几何体的侧面积和全面积

几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和,而全面积是
侧面积与所有底面积之和.对侧面积公式的记忆,最 好结合几何体的侧面展开图来进行.要特别留意根据 几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题. 如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形,则可用矩形面 积公式求解.

再如圆锥侧面展开图为扇形,此扇形的特点是半径为圆
锥的母线长,圆弧长等于底面的周长,利用这一点可以

求出展开图扇形的圆心角的大小.
5. 要注意领会和掌握两种数学思想方法:割补法与等 积法 割补法是割法与补法的总称.补法是把不规则(不熟悉的 或复杂的)几何体延伸或补成规则的(熟悉的或简单的) 几何体,把不完整的图形补成完整的图形.

割法是把复杂的(不规则的)几何体切割成简单的(规则的)
几何体.割与补是对立统一的,是一个问题的两个相反方 面.割补法无论是求解体积问题还是求解空间角(或空间 距离)以及证明垂直或平行关系都有简化解题过程、开阔 思维的优点. 等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图 形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到, 利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,

特别是在求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了具
体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计 算得到高的数值.

题型分类

深度剖析

题型一

空间几何体的结构特征

例1设有以下四个命题: ①底面是平行四边形的四棱柱是平 行六面体; ②底面是矩形的平行六面体是长方体;

③直四棱柱是直

平行六面体;
④棱台的相对侧棱延长后必交于一点. 其中真命题的序号是 思维启迪:利用有关几何体的概念 判断所给命题的真假. .

解析

命题①符合平行六面体的定义,故命题①是正

确的.底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不 垂直,故命题②是错误的.因为直四棱柱的底面不一 定是平行四边形,故命题③是错误的.命题④由棱台 的定义知是正确的. 答案 ①④

探究提高 解决该类题目需准确理解几何体的定义, 要真正把握几何体的结构特征,并且学会通过反例 对概念进行辨析,即要说明一个命题是错误的,设 法举出一个反例即可.

例2.一个几何体的正视图为一个三角形,则这 个几何体可能是下列几何体中的 ______________(填入所有可能的几何体前的编 号). ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤ 圆锥 ⑥圆柱 解析 ①三棱锥的正视线与其中一侧面平行可以得

正视图为三角形;②四棱锥,若底面是矩形,有一
侧棱垂直于底面可以得正视图为三角形;③三棱柱, 把侧面水平放置,正对着底,沿着一个侧面看,得

正视图为三角形;

④四棱柱,不论从哪个方向看都得不出三角
形;⑤圆锥的底面水平放置,正视图是三角

形;⑥圆柱从不同方向看是矩形或圆,不可
能是三角形.

答案

①②③⑤

例3.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体 题 的正视图与侧视图分别如图所示,则该几何体的 型 ( C ) 二 俯视图为 、 三 视 图

解析 由三视图中的正、 侧视图得到几何体的直 观图如图所示,所以该 几何体的俯视图为 C.

探究提高

根据几何体的直观图,画三视图,要

根据三视图的画法规则进行.要严格按以下几点 执行:

①三视图的安排位置.
正视图、侧视图分别放在左、右两边,俯视图画

在正视图的下边.
②注意实虚线的区别.

题型三 几何体的表面积 例 4 一 个 几 何 体 的三 视 图 如 图,该几何体的表面积是 ( B ) A.372 C .292
解析

B.360 D.280

由三视图可知该几何体是由下面一个长方

体,上面一个长方体组合而成的几何体. ∵ 下 面 长 方 体 的 表 面 积 为 8× 2 + 2× 2 + 10× 8× 10× 2=232,上面长方体的表面积为 8× 2+ 2× 6× 2× 2+2× 2=152,又∵长方体表面积重叠一部 8× 6× 分,∴几何体的表面积为 232+152-2× 2=360. 6×

探究提高

(1)以三视图为载体考查几何体的表面积,

关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析,从三
视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关 系. (2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的 表面积应注意重合部分的处理. (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时 需要将这个曲面展为平

面图形计算,而表面积是侧

面积与底面圆的面积之和.

易错警示 1.三视图识图不准致误 试题:(5 分)一个空间几何 体的三视图,如图所示,则 这个空间几何体的表面积 是 .

学生答案展示

4π 或 3π+4

审题视角

(1)由三视图还原成直观图, 并注意

数据的对应.(2)表面积包括哪些部分.

解析

这是一个由轴截面割开的半个圆柱与

一个球的组合体,其表面积是圆柱的上下两个 底面半圆、圆柱的侧面积的一半、圆柱的轴截 1 面和球的表面积之和,故这个表面积是 2× 2 ?1 ?2 1 2 ×π×1 + ×2π×1×2+2× 2+4π×? ? =4(π+1). 2 ?2 ?
正确答案 4(π+1)

思想与方法 1.空间与平面的转化 试题: 分)长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, (12 宽、 长、高分别为 3、4、5,现有一个小虫从 A 出发沿长方体表面爬行到 C1 来获取食物, 求其路程的最小值.
审题视角 (1)可将长方体表面展开, 利用平面

内两点间的线段长是两点间的最短距离来解 答.(2)长方体的表面展开方式不同,可考虑不 同的展开方式.

规范解答 解 把长方体含 AC1 的面作展开图,有三种情形如图所 [8 分] 示:利用勾股定理可得 AC1 的长分别为 90、 74、 80.

由此可见图②是最短线路,其路程的最小值 为 74. [12 分]

思想方法

感悟提高

方法与技巧 1. 棱柱主要是理解、掌握基本概念和性 质,并能灵活应用. 2. 正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、 斜高、底面正多边形内切圆半径或外接圆半径、 底面边长的一半构成的直角三角形中解决.

3. 圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是
旋转体这一特点,弄清旋转轴、旋转面、轴截面.

思想方法

感悟提高

方法与技巧

4. 对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、
棱锥、棱台与球的表面积的问题,要结合它们的结

构特点与平面几何知识来解决.
5. 要注意将空间问题转化为平面问题.

6. 求几何体的体积,要注意分割与补形.将
不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的

几何体求解.

失误与防范 1. 台体可以看成是由锥体截得的,但一定强调截面

与底面平行.
2. 掌握三视图的概念及画法 在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面的 交线是它们的分界线.在三视图中,分界线和可见轮 廓线都用实线画出,被挡住的轮廓线画成虚线.并做 到“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”.

3. 掌握直观图的概念及斜二测画法 在 斜 二 测 画法 中 , 要确 定 关 键点 及 关 键 线 段.“平行于 x 轴的线段平行性不变, 长度不变; 平行于 y 轴的线段平行性不变,长度减半.” 4. 能够由空间几何体的三视图得到它的直观图; 也能够由空间几何体的直观图得到它的三

视 图,提升空间想象能力

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失误与防范 5. 将几何体展开为平面图形时,要注意在何处剪开, 多面体要选择一条棱剪开,旋转体要沿一条母线剪开. 6. 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接. 解题时要 认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素 间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方 体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球 的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上, 正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合, 通常作它们的轴截面进行解题,球与多面体的组合,通 过多面体的一条侧棱和球心,或“切点”、“接点”作 出截面图.
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