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小学数学所有概念、定律、公式、单位换算、典型应用题

发布时间:2013-11-25 12:32:15  

小学数学概念、定律、公式、问题和单位换算

方程、代数与等式 等式:等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。

等式的基本性质:等式两边同时乘以(或除以)一个相同的数,等式仍然成立。 方程式:含有未知数的等式叫方程式。 一元一次方程式:含有一个未知数,并且未知数的次 数是一次的等式叫做一元一次方程式。学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。 代数: 代数就是用字母代替数。 代数式:用字母表示的式子叫做代数式。如:3x =ab+c

分数 分数:把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几分的数,叫做分数。 分数大小的比较:同分母的分数相比较,分子大的大,分子小的小。异分母的分数相比较,先通分然后再比较;若分子相同,分母大的反而小。 分数的加减法则:同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变。异分母的分数相加减,先通分,然后再加减。 分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变。 分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作为分母。 分数的加、减法则:同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变。异分母的分数相加减,先通分,然后再加减。

倒数的概念:如果两个数乘积是1,我们称一个是另一个的倒数。这两个数互为倒数。1的倒数是1,0没有倒数。

分数除以整数(0除外),等于分数乘以这个整数的倒数。

1

分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数(0除外),分数的大小。 分数的除法则:除以一个数(0除外),等于乘这个数的倒数。

真分数:分子比分母小的分数叫做真分数。

假分数:分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。

带分数:把假分数写成整数和真分数的形式,叫做带分数。

分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数(0除外),分数的大小不变。

比 什么叫比:两个数相除就叫做两个数的比。如:2÷5或3:6或1/3 比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数(0除外),比值不变。 什么叫比例:表示两个比相等的式子叫做比例。如3:6=9:18 比例的基本性质:在比例里,两外项之积等于两内项之积。 解比例:求比例中的未知项,叫做解比例。如3:χ=9:18 正比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着化,如果这两种量中相对应的的比值(也就是商k)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系就叫做正比例关系。如:y/x=k( k一定)或kx=y 反比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系就叫做反比例关系。 如:x×y = k( k一定)或k / x = y

百分数 百分数:表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。 把小数化成百分数,只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。其实,把小数化成百分数,只要把这个小数乘以100%就行了。把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。

2

把分数化成百分数,通常先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。其实,把分数化成百分数,要先把分数化成小数后,再乘以100%就行了。 把百分数化成分数,先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。

要学会把小数化成分数和把分数化成小数的化发。

倍数与约数 最大公约数:几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数。公因数有有限个。其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。 最小公倍数:几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数。公倍数有无限个。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 互质数: 公约数只有1的两个数,叫做互质数。相临的两个数一定互质。两个连续奇数一定互质。1和任何数互质。 通分:把异分母分数的分别化成和原来分数相等的同分母的分数,叫做通分。(通分用最小公倍数) 约分:把一个分数的分子、分母同时除以公约数,分数值不变,这个过程叫约分。 最简分数:分子、分母是互质数的分数,叫做最简分数。分数计算到最后,得数必须化成最简分数。 质数(素数):一个数,如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫做质数(或素数)。 合数:一个数,如果除了1和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数。1不是质数,也不是合数。 质因数:如果一个质数是某个数的因数,那么这个质数就是这个数的质因数。 分解质因数:把一个合数用质因数相成的方式表示出来叫做分解质因数。

倍数特征:

3

2的倍数的特征:各位是0,2,4,6,8。

3(或9)的倍数的特征:各个数位上的数之和是3(或9)的倍数。

5的倍数的特征:各位是0,5。

4(或25)的倍数的特征:末2位是4(或25)的倍数。

8(或125)的倍数的特征:末3位是8(或125)的倍数。

7(11或13)的倍数的特征:末3位与其余各位之差(大-小)是7(11或13)的倍数。17(或59)的倍数的特征:末3位与其余各位3倍之差(大-小)是17(或59)的倍数。19(或53)的倍数的特征:末3位与其余各位7倍之差(大-小)是19(或53)的倍数。23(或29)的倍数的特征:末4位与其余各位5倍之差(大-小)是23(或29)的倍数。倍数关系的两个数,最大公约数为较小数,最小公倍数为较大数。

互质关系的两个数,最大公约数为1,最小公倍数为乘积。

两个数分别除以他们的最大公约数,所得商互质。

两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

两个数的公约数一定是这两个数最大公约数的约数。

1既不是质数也不是合数。

用6去除大于3的质数,结果一定是1或5。

奇数与偶数 偶数:个位是0,2,4,6,8的数。 奇数:个位不是0,2,4,6,8的数。

偶数±偶数=偶数 奇数±奇数=奇数 奇数±偶数=奇数

偶数个偶数相加是偶数,奇数个奇数相加是奇数。

偶数×偶数=偶数 奇数×奇数=奇数 奇数×偶数=偶数

4

相临两个自然数之和为奇数,相临自然数之积为偶数。

如果乘式中有一个数为偶数,那么乘积一定是偶数。

奇数≠偶数

小数 自然数:用来表示物体个数的整数,叫做自然数。0也是自然数。 纯小数:个位是0的小数。 带小数:各位大于0的小数。 循环小数:一个小数,从小数部分的某一位起,一个数字或几个数字依次不断的重复出现,这样的小数叫做循环小数。如3.141414 不循环小数:一个小数,从小数部分起,没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现,这样的小数叫做不循环小数。如3.141592654 无限循环小数:一个小数,从小数部分到无限位数,一个数字或几个数字依次不断的重复出现,这样的小数叫做无限循环小数。如3.141414?? 无限不循环小数:一个小数,从小数部分起到无限位数,没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现,这样的小数叫做无限不循环小数。如3.141592654??

算术定律

1、加法交换律:两数相加交换加数的位置,和不变。

2、加法结合律:a + b = b + a

3、乘法交换律:a × b = b × a

4、乘法结合律:a × b × c = a ×(b × c)

5、乘法分配律:a × b + a × c = a × b + c

6、除法的性质:a ÷ b ÷ c = a ÷(b × c)

5

7、除法的性质:在除法里,被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数,商不变。0除以任何不是0的数都得0。

8、简便乘法:被乘数、乘数末尾有0的乘法,可以先把0前面的相乘,0不参加运算,有几个0都落下,添在积的末尾。

9、有余数的除法: 被除数=商×除数+余数

四则运算规则 1. 加法交换律:

两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变,即a+b=b+a 。

2. 加法结合律:

三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先把后两个数相加,再和第一个数相加它们的和不变,即(a+b)+c=a+(b+c) 。

3. 乘法交换律:

两个数相乘,交换因数的位置它们的积不变,即a×b=b×a。

4. 乘法结合律:

三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘以第三个数;或者先把后两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变,即(a×b)×c=a×(b×c) 。

5. 乘法分配律:

两个数的和与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加,即

(a+b)×c=a×c+b×c 。

6. 减法的性质:

从一个数里连续减去几个数,可以从这个数里减去所有减数的和,差不变,即a-b-c=a-(b+c) 。

7.除法的运算性质:

一个数除以两个数的积,等于这个数依次除以积的两个因数。即a÷(b×c) = a÷b÷c

数量关系计算公式

1、 每份数×份数=总数 总数÷每份数=份数 总数÷份数=每份数

2、 1倍数×倍数=几倍数 几倍数÷1倍数=倍数 几倍数÷倍数=1倍数

3、 速度×时间=路程 路程÷速度=时间 路程÷时间=速度

4、 单价×数量=总价 总价÷单价=数量 总价÷数量=单价

5、 工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率

6

6、 加数+加数=和 和-一个加数=另一个加数

7、 被减数-减数=差 被减数-差=减数 差+减数=被减数

8、 因数×因数=积 积÷一个因数=另一个因数

9、 被除数÷除数=商 被除数÷商=除数 商×除数=被除数

数学图形计算公式

1 、正方形

C:周长 S:面积 a:边长

1) 周长=边长×4 C=4a

2) 面积=边长×边长 S=a×a

2 、正方体

V:体积 a:棱长

1) 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6

2) 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a

3 、长方形

C:周长 S:面积 a:边长

1) 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)

2) 面积=长×宽 S=ab

4 、长方体

V:体积 s:面积 a:长 b:宽 h:高

1) 表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)

2) 体积=长×宽×高 V=abh

5 、三角形

7

S:面积 a:底 h:高

面积=底×高÷2 S=ah÷2

三角形高=面积 ×2÷底

三角形底=面积 ×2÷高

6 、平行四边形

S:面积 a:底 h:高

面积=底×高 S=ah

7 、梯形

S:面积 a:上底 b:下底 h:高

面积=(上底+下底)×高÷2 S=(a+b)× h÷2 8 、圆形

S:面积 C:周长 πd=直径 r=半径

周长=直径×∏=2×π×半径 C=πd=2πr 面积=半径×半径×π S=πr2

9、 圆柱体

V:体积 h:高 S:底面积 r:底面半径 c:底面周长

1) 侧面积=底面周长×高 S=ch

2) 表面积=侧面积+底面积×2

3) 体积=底面积×高

4) 体积=侧面积÷2×半径

10、 圆锥体

V:体积 h:高 S:底面积 r:底面半径

体积=底面积×高÷3 V=Sh÷3

8

和差问题

(和+差)÷2=大数

(和-差)÷2=小数

和倍问题

和÷(倍数-1)=小数

小数×倍数=大数

(或者 和-小数=大数)

差倍问题

差÷(倍数-1)=小数

小数×倍数=大数

(或 小数+差=大数)

植树问题

1.非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴、如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:

株数=段数+1=全长÷株距-1

全长=株距×(株数-1)

株距=全长÷(株数-1)

⑵、如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:

株数=段数=全长÷株距

全长=株距×株数

9

株距=全长÷株数

⑶、如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:

株数=段数-1=全长÷株距-1

全长=株距×(株数+1)

株距=全长÷(株数+1)

2.封闭线路上的植树问题的数量关系如下

株数=段数=全长÷株距

全长=株距×株数

株距=全长÷株数

盈亏问题

(盈+亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数

(大盈-小盈)÷两次分配量之差=参加分配的份数 (大亏-小亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数

相遇问题

相遇路程=速度和×相遇时间

相遇时间=相遇路程÷速度和

速度和=相遇路程÷相遇时间

追及问题

追及距离=速度差×追及时间

追及时间=追及距离÷速度差

10

速度差=追及距离÷追及时间

流水问题

顺流速度=静水速度+水流速度

逆流速度=静水速度-水流速度

静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷2

水流速度=(顺流速度-逆流速度)÷2

浓度问题

溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量

溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度

溶液的重量×浓度=溶质的重量

溶质的重量÷浓度=溶液的重量

利润与折扣问题

利润=售出价-成本

利润率=利润÷成本×100%=(售出价÷成本-1)×100%

涨跌金额=本金×涨跌百分比

折扣=实际售价÷原售价×100%(折扣<1)

利息=本金×利率×时间

税后利息=本金×利率×时间×(1-20%)

*时间:一般以年或月为单位,应与利率的单位相对应)

*利率:利息与本金的比值叫做利率。一年的利息与本金的比值叫做年利率。一月的利息与本金的比值叫做月利率。

11

长度单位换算

(一)、什么是长度

长度是一维空间的度量。

(二)、长度常用单位

* 公里(km) * 米(m) * 分米(dm) * 厘米(cm) * 毫米(mm) * 微米(um)

(三)、单位之间的换算

1千米=1000米

1米=10分米

1米=100厘米

1分米=10厘米

1厘米=10毫米

面积单位换算

(一)、什么是面积

面积,就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。

(二)、常用的面积单位

* 平方毫米 * 平方厘米 * 平方分米 * 平方米 * 平方千米

(三)、面积单位的换算

1平方千米=100公顷

1公顷=10000平方米

1平方米=100平方分米

1平方分米=100平方厘米

1平方厘米=100平方毫米

12

体(容)积单位换算

(一)、什么是体积、容积

体积,就是物体所占空间的大小。

容积,箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积,通常叫做它们的容积。

(二)、常用单位

1、 体积单位

* 立方米 * 立方分米 * 立方厘米

2 、容积单位 * 升 * 毫升

(三)、单位换算

1立方米=1000立方分米

1立方分米=1000立方厘米

1立方分米=1升

1立方厘米=1毫升

1立方米=1000升

重量单位换算

(一)、什么是重量

重量,就是表示表示物体有多重。

(二)、常用单位

* 吨 t * 千克 kg * 克 g

(三)、常用换算

1吨=1000 千克

1千克=1000克

1千克=1公斤

人民币单位换算

13

(一)、什么是货币

货币是充当一切商品的等价物的特殊商品。货币是价值的一般代表,可以购买任何别的商品。

(二)、常用单位

* 元 * 角 * 分

(三)单位换算

1元=10角

1角=10分

1元=100分

(一)、什么是时间

是指有起点和终点的一段时间

(二)、常用单位

世纪、 年 、 月 、 日 、 时 、 分、

(三)单位换算

1世纪=100年 1年=12月

大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月

小月(30天)的有:4\6\9\11月

平年2月28天, 闰年2月29天

平年全年365天, 闰年全年366天

1日=24小时 1时=60分

1分=60秒 1时=3600秒 秒

14 时间单位换算

小学数学典型应用题

一、归一问题

例1、买5支铅笔要0.6元钱,买同样的铅笔16支,需要多少钱?

解(1)买1支铅笔多少钱?0.6÷5=0.12(元)

(2)买16支铅笔需要多少钱?0.12×16=1.92(元)

列成综合算式0.6÷5×16=0.12×16=1.92(元)

答:需要1.92元。

【含义】在解题时,先求出一份是多少(即单一量),然后以单一量为标准,求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。

【数量关系】总量÷份数=1份数量1份数量×所占份数=所求几份的数量

另一总量÷(总量÷份数)=所求份数

【解题思路和方法】先求出单一量,以单一量为标准,求出所要求的数量。

例2、3台拖拉机3天耕地90公顷,照这样计算,5台拖拉机6天耕地多少公顷?

解(1)1台拖拉机1天耕地多少公顷?

(2)5台拖拉机6天耕地多少公顷?

列成综合算式

答:5台拖拉机6天耕地

例3、5辆汽车4次可以运送100吨钢材,如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材,需要运几次? 解(1)1辆汽车1次能运多少吨钢材?

(2)7辆汽车1次能运多少吨钢材?

(3)105吨钢材7辆汽车需要运几次?

列成综合算式

答:需要运

练习1.2台拖拉机4时耕地20公顷,照这样速度,5台拖拉机6时可耕地多少公顷?

2.4台织布机5时可以织布2600米,24台织布机几小时才能织布24960米?

3.一种幻灯机,5秒钟可以放映80张片子。问:48秒钟可以放映多少张片子?

4.3台抽水机8时灌溉水田48公顷,照这样的速度,5台同样的抽水机6时可以灌溉水田多小公顷?

5.平整一块土地,原计划8人平整,每天工作7.5时,6天可以完成任务。由于急需播种,要求5天完成,并且增加1人。问:每天要工作几小时?

6.食堂管理员去农贸市场买鸡蛋,原计划按每千克3.00元买35千克。结果鸡蛋价格下调了,他用这笔钱多买了2.5千克鸡蛋。问:鸡蛋价格下调后是每千克多少元?

7.锅炉房按照每天4.5吨的用量储备了120天的供暖煤。供暖40天后,由于进行了技术改造,每天能节约0.9吨煤。问:这些煤共可以供暖多少天?

二、 归总问题

例1、服装厂原来做一套衣服用布3.2米,改进裁剪方法后,每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布,现在可以做多少套?

解(1)这批布总共有多少米?3.2×791=2531.2(米)

(2)现在可以做多少套?2531.2÷2.8=904(套)

列成综合算式3.2×791÷2.8=904(套)

答:现在可以做904套。

【含义】解题时,常常先找出“总数量”,然后再根据其它条件算出所求的问题,叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。

15

【数量关系】1份数量×份数=总量总量÷1份数量=份数

总量÷另一份数=另一每份数量

【解题思路和方法】先求出总数量,再根据题意得出所求的数量。

例2、小华每天读24页书,12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书,几天可以读完《红岩》? 解(1)《红岩》这本书总共多少页?

(2)小明几天可以读完《红岩》?

列成综合算式

答:小明 天可以读完《红岩》。

例3、食堂运来一批蔬菜,原计划每天吃50千克,30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见,每天比原计划多吃10千克,这批蔬菜可以吃多少天?

解(1)这批蔬菜共有多少千克?

(2)这批蔬菜可以吃多少天?

列成综合算式

答:这批蔬菜可以吃 天。

三、 和差问题

例1、甲乙两班共有学生98人,甲班比乙班多6人,求两班各有多少人?

解甲班人数=(98+6)÷2=52(人)

乙班人数=(98-6)÷2=46(人)

答:甲班有52人,乙班有46人。

【含义】已知两个数量的和与差,求这两个数量各是多少,这类应用题叫和差问题。

【数量关系】大数=(和+差)÷2 小数=(和-差)÷2

【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。

例2、长方形的长和宽之和为18厘米,长比宽多2厘米,求长方形的面积。

解长= (厘米)宽= (厘米)

长方形的面积= (平方厘米)

答:长方形的面积为 平方厘米。

例3、有甲乙丙三袋化肥,甲乙两袋共重32千克,乙丙两袋共重30千克,甲丙两袋共重22千克,求三袋化肥各重多少千克。

解甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙,从中可以看出甲比丙多千克,且甲是大数,丙是小数。由此可知 甲袋化肥重量=

丙袋化肥重量=

乙袋化肥重量=

答:甲袋化肥重 千克,乙袋化肥重 千克,丙袋化肥重 千克。

例4、甲乙两车原来共装苹果97筐,从甲车取下14筐放到乙车上,结果甲车比乙车还多3筐,两车原来各装苹果多少筐?

解“从甲车取下14筐放到乙车上,结果甲车比乙车还多3筐”,这说明甲车是大数,乙车是小数,甲与乙的差是 ,甲与乙的和是97,因此甲车筐数= (筐)

乙车筐数=

答:甲车原来装苹果 筐,乙车原来装苹果 筐。

四、 和倍问题

例1、果园里有杏树和桃树共248棵,桃树的棵数是杏树的3倍,求杏树、桃树各多少棵?

解(1)杏树有多少棵?248÷(3+1)=62(棵)

(2)桃树有多少棵?62×3=186(棵)

答:杏树有62棵,桃树有186棵。

16

【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几),要求这两个数各是多少,这类应用题叫做和倍问题。

【数量关系】总和÷(几倍+1)=较小的数总和-较小的数=较大的数

较小的数×几倍=较大的数

【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。

例2、东西两个仓库共存粮480吨,东库存粮数是西库存粮数的1.4倍,求两库各存粮多少吨?

解(1)西库存粮数=

(2)东库存粮数=

答:东库存粮 吨,西库存粮 吨。

例3、甲站原有车52辆,乙站原有车32辆,若每天从甲站开往乙站28辆,从乙站开往甲站24辆,几天后乙站车辆数是甲站的2倍?

解:每天从甲站开往乙站28辆,从乙站开往甲站24辆,相当于每天从甲站开往乙站(28-24)辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量,这时乙站的车辆数就是2倍量,两站的车辆总数(52+32)就相当于(2+1)倍,那么,几天以后甲站的车辆数减少为

所求天数为

答:

例4、甲乙丙三数之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三数各是多少?

解乙丙两数都与甲数有直接关系,因此把甲数作为1倍量。

因为乙比甲的2倍少4,所以给乙加上4,乙数就变成甲数的2倍;

又因为丙比甲的3倍多6,所以丙数减去6就变为甲数的3倍;

这时(170+4-6)就相当于(1+2+3)倍。那么,

甲数=

乙数=

丙数=

答:甲数是 ,乙数是 ,丙数是 。

五、 差倍问题

例1、果园里桃树的棵数是杏树的3倍,而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵?

解(1)杏树有多少棵?124÷(3-1)=62(棵)

(2)桃树有多少棵?62×3=186(棵)

答:果园里杏树是62棵,桃树是186棵。

【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几),要求这两个数各是多少,这类应用题叫做差倍问题。

【数量关系】两个数的差÷(几倍-1)=较小的数

较小的数×几倍=较大的数

【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。

例2、爸爸比儿子大27岁,今年,爸爸的年龄是儿子年龄的4倍,求父子二人今年各是多少岁? 解(1)儿子年龄=

(2)爸爸年龄=

答:父子二人今年的年龄分别是 和 。

例3、商场改革经营管理办法后,本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元,又知本月盈利比上月盈利多30万元,求这两个月盈利各是多少万元?

解如果把上月盈利作为1倍量,则(30-12)万元就相当于上月盈利的 倍,因此上月盈利= 本月盈利=

答:上月盈利是 万元,本月盈利是 万元。

例4、粮库有94吨小麦和138吨玉米,如果每天运出小麦和玉米各是9吨,问几天后剩下的玉米是 17

小麦的3倍?

解由于每天运出的小麦和玉米的数量相等,所以剩下的数量差等于原来的数量差 。把几天后剩下的小麦看作1倍量,则几天后剩下的玉米就是3倍量,那么, 就相当于 倍,因此 剩下的小麦数量=

运出的小麦数量=

运粮的天数=

答: 天以后剩下的玉米是小麦的3倍。

六、 倍比问题

例1、100千克油菜籽可以榨油40千克,现在有油菜籽3700千克,可以榨油多少?

解(1)3700千克是100千克的多少倍?3700÷100=37(倍)

(2)可以榨油多少千克?40×37=1480(千克)

列成综合算式40×(3700÷100)=1480(千克)

答:可以榨油1480千克。

【含义】有两个已知的同类量,其中一个量是另一个量的若干倍,解题时先求出这个倍数,再用倍比的方法算出要求的数,这类应用题叫做倍比问题。

【数量关系】总量÷一个数量=倍数另一个数量×倍数=另一总量

【解题思路和方法】先求出倍数,再用倍比关系求出要求的数。

例2、今年植树节这天,某小学300名师生共植树400棵,照这样计算,全县48000名师生共植树多少棵?

解(1)48000名是300名的多少倍?

(2)共植树多少棵?

列成综合算式:

答:全县48000名师生共植树 棵。

例3、凤翔县今年苹果大丰收,田家庄一户人家4亩果园收入11111元,照这样计算,全乡800亩果园共收入多少元?全县16000亩果园共收入多少元?

解(1)800亩是4亩的几倍?

(2)800亩收入多少元?

(3)16000亩是800亩的几倍?

(4)16000亩收入多少元?

答:全乡800亩果园共收入 元,全县16000亩果园共收入 元。

七、 相遇问题

例1、南京到上海的水路长392千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,从南京开出的船每小时行28千米,从上海开出的船每小时行21千米,经过几小时两船相遇?

解392÷(28+21)=8(小时)

答:经过8小时两船相遇。

【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行,在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。

【数量关系】相遇时间=总路程÷(甲速+乙速)

总路程=(甲速+乙速)×相遇时间

【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。

例2、小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步,小李每秒钟跑5米,小刘每秒钟跑3米,他们从同一地点同时出发,反向而跑,那么,二人从出发到第二次相遇需多长时间?

解“第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为:

相遇时间:

答:二人从出发到第二次相遇需 秒时间。

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例3、甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行,甲每小时行15千米,乙每小时行13千米,两人在距中点3千米处相遇,求两地的距离。

解“两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快,乙骑得慢,甲过了中点3千米,乙距中点3千米,就是说甲比乙多走的路程是 千米,因此:

相遇时间:

两地距离:

答:两地距离是 千米。

八、 追及问题

例1、好马每天走120千米,劣马每天走75千米,劣马先走12天,好马几天能追上劣马?

解(1)劣马先走12天能走多少千米?75×12=900(千米)

(2)好马几天追上劣马?900÷(120-75)=20(天)

列成综合算式75×12÷(120-75)=900÷45=20(天)

答:好马20天能追上劣马。

【含义】两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发,或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动,在后面的,行进速度要快些,在前面的,行进速度较慢些,在一定时间之内,后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。

【数量关系】追及时间=追及路程÷(快速-慢速)

追及路程=(快速-慢速)×追及时间

【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。

例2、小明和小亮在200米环形跑道上跑步,小明跑一圈用40秒,他们从同一地点同时出发,同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米,求小亮的速度是每秒多少米。

解:小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈,即200米,此时小亮跑了 米,要知小亮的速度,

须知追及时间,即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒,则跑500米用 秒,

所以小亮的速度是

答:小亮的速度是每秒 米。

例3、我人民解放军追击一股逃窜的敌人,敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑,解放军在晚上22点接到命令,以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米,问解放军几个小时可以追上敌人?

解敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是 小时,这段时间敌人逃跑的路程是 千米,甲乙两地相距60千米。由此推知

追及时间:

答:解放军在 小时后可以追上敌人。

例4、一辆客车从甲站开往乙站,每小时行48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站,每小时行40千米,两车在距两站中点16千米处相遇,求甲乙两站的距离。

解这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车 千米,客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间,

这个时间为

所以两站间的距离为

列成综合算式

答:甲乙两站的距离是 千米。

例5兄妹二人同时由家上学,哥哥每分钟走90米,妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本,立即沿原路回家去取,行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远?

解要求距离,速度已知,所以关键是求出相遇时间。从题中可知,在相同时间(从出发到相遇)内哥哥比妹妹多走(180×2)米,这是因为哥哥比妹妹每分钟多走 米,那么,二人从家出走到相遇所用时间为:

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家离学校的距离为:

答:家离学校有 米远。

例6孙亮打算上课前5分钟到学校,他以每小时4千米的速度从家步行去学校,当他走了1千米时,发现手表慢了10分钟,因此立即跑步前进,到学校恰好准时上课。后来算了一下,如果孙亮从家一开始就跑步,可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。

解手表慢了10分钟,就等于晚出发10分钟,如果按原速走下去,就要迟到 分钟,后段路程跑步恰准时到学校,说明后段路程跑比走少用了 分钟。如果从家一开始就跑步,可比步行少9分钟,由此可知,行1千米,跑步比步行少用 分钟。所以

步行1千米所用时间为

跑步1千米所用时间为

跑步速度为每小时

答:孙亮跑步速度为每小时 千米。

九、 植树问题

例1、一条河堤136米,每隔2米栽一棵垂柳,头尾都栽,一共要栽多少棵垂柳?

解136÷2+1=68+1=69(棵)

答:一共要栽69棵垂柳。

【含义】按相等的距离植树,在距离、棵距、棵数这三个量之间,已知其中的两个量,要求第三个量,这类应用题叫做植树问题。

【数量关系】线形植树棵数=距离÷棵距+1

环形植树棵数=距离÷棵距

方形植树棵数=距离÷棵距-4

三角形植树棵数=距离÷棵距-3

面积植树棵数=面积÷(棵距×行距)

【解题思路和方法】先弄清楚植树问题的类型,然后可以利用公式。

例2、一个圆形池塘周长为400米,在岸边每隔4米栽一棵白杨树,一共能栽多少棵白杨树? 解:

答:一共能栽 棵白杨树。

例3、一个正方形的运动场,每边长220米,每隔8米安装一个照明灯,一共可以安装多少个照明灯? 解

答:一共可以安装 个照明灯。

例4、给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖,所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米,问至少需要多少块地板砖?

答:至少需要 块地板砖。

例5一座大桥长500米,给桥两边的电杆上安装路灯,若每隔50米有一个电杆,每个电杆上安装2盏路灯,一共可以安装多少盏路灯?

解(1)桥的一边有多少个电杆?

(2)桥的两边有多少个电杆?

(3)大桥两边可安装多少盏路灯?

答:大桥两边一共可以安装 盏路灯。

十、 年龄问题

例1、爸爸今年35岁,亮亮今年5岁,今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?明年呢?

解35÷5=7(倍)(35+1)÷(5+1)=6(倍)

答:今年爸爸的年龄是亮亮的7倍,明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。

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【含义】这类问题是根据题目的内容而得名,它的主要特点是两人的年龄差不变,但是,两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系,尤其与差倍问题的解题思路是一致的,要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。

【解题思路和方法】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。

例2、母亲今年37岁,女儿今年7岁,几年后母亲的年龄是女儿的4倍?

解(1)母亲比女儿的年龄大多少岁?

(2)几年后母亲的年龄是女儿的4倍?

列成综合算式

答: 年后母亲的年龄是女儿的4倍。

例3、3年前父子的年龄和是49岁,今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍,父子今年各多少岁?

解今年父子的年龄和应该比3年前增加 岁,今年二人的年龄和为

把今年儿子年龄作为1倍量,则今年父子年龄和相当于 倍,因此,今年儿子年龄为 今年父亲年龄为

答:今年父亲年龄是 岁,儿子年龄是 岁。

例4、甲对乙说:“当我的岁数曾经是你现在的岁数时,你才4岁”。乙对甲说:“当我的岁数将来是你现在的岁数时,你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少?

因为两个人的年龄差总相等:□-4=△-□=61-△,也就是4,□,△,61成等差数列,所以,61应该比4大3个年龄差,因此二人年龄差为

甲今年的岁数为

乙今年的岁数为

答:甲今年的岁数是 岁,乙今年的岁数是 岁。

十一、 行船问题

例1、一只船顺水行320千米需用8小时,水流速度为每小时15千米,这只船逆水行这段路程需用几小时?

解由条件知,顺水速=船速+水速=320÷8,而水速为每小时15千米,所以,船速为每小时320÷8-15=25(千米)

船的逆水速为25-15=10(千米)

船逆水行这段路程的时间为320÷10=32(小时)

答:这只船逆水行这段路程需用32小时。

【含义】行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速,船速是船只本身航行的速度,也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度,船只顺水航行的速度是船速与水速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。

【数量关系】(顺水速度+逆水速度)÷2=船速

(顺水速度-逆水速度)÷2=水速

顺水速=船速×2-逆水速=逆水速+水速×2

逆水速=船速×2-顺水速=顺水速-水速×2

【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例2、甲船逆水行360千米需18小时,返回原地需10小时;乙船逆水行同样一段距离需15小时,返回原地需多少时间?

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解由题意得甲船速+水速=

甲船速-水速=

可见 相当于水速的2倍,

所以,水速为每小时

又因为,乙船速-水速=

所以,乙船速为

乙船顺水速为

所以,乙船顺水航行360千米需要

答:乙船返回原地需要 小时。

例3、一架飞机飞行在两个城市之间,飞机的速度是每小时576千米,风速为每小时24千米,飞机逆风飞行3小时到达,顺风飞回需要几小时?

解这道题可以按照流水问题来解答。

(1)两城相距多少千米?

(2)顺风飞回需要多少小时?

列成综合算式

答:飞机顺风飞回需要 小时。

十二、 列车问题

例1、一座大桥长2400米,一列火车以每分钟900米的速度通过大桥,从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米?

解火车3分钟所行的路程,就是桥长与火车车身长度的和。

(1)火车3分钟行多少米?900×3=2700(米)

(2)这列火车长多少米?2700-2400=300(米)

列成综合算式900×3-2400=300(米)

答:这列火车长300米。

【含义】这是与列车行驶有关的一些问题,解答时要注意列车车身的长度。

【数量关系】火车过桥:过桥时间=(车长+桥长)÷车速

火车追及:追及时间=(甲车长+乙车长+距离)÷(甲车速-乙车速)

火车相遇:相遇时间=(甲车长+乙车长+距离)÷(甲车速+乙车速)

【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例2、一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥,用了2分5秒钟时间,求大桥的长度是多少米?

解火车过桥所用的时间是2分5秒= 秒,所走的路程是 米,这段路程就是(200米+桥长),所以,桥长为

答:大桥的长度是 米。

例3、一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶,一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶,求快车从追上到追过慢车需要多长时间?

解从追上到追过,快车比慢车要多行 米,而快车比慢车每秒多行 米,因此,所求的时间为

答:需要 秒。

例4、一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶,有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来,那么,火车从工人身旁驶过需要多少时间?

解如果把人看作一列长度为零的火车,原题就相当于火车相遇问题。

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答:火车从工人身旁驶过需要 秒钟。

例5一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒,以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少?

解车速和车长都没有变,但通过隧道和大桥所用的时间不同,是因为隧道比大桥长。可知火车在 秒的时间内行驶了 米的路程,因此,火车的车速为每秒

进而可知,车长和桥长的和为 米,因此,车长为

答:这列火车的车速是每秒 米,车身长 米。

十三、 时钟问题

例1、从时针指向4点开始,再经过多少分钟时针正好与分针重合?

解钟面的一周分为60格,分针每分钟走一格,每小时走60格;时针每小时走5格,每分钟走5/60=1/12格。每分钟分针比时针多走(1-1/12)=11/12格。4点整,时针在前,分针在后,两针相距20格。所以

分针追上时针的时间为20÷(1-1/12)=2(分钟)

答:再经过2分钟时针正好与分针重合。

【含义】就是研究钟面上时针与分针关系的问题,如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。

【数量关系】分针的速度是时针的12倍,二者的速度差为11/12。

通常按追及问题来对待,也可以按差倍问题来计算。

【解题思路和方法】变通为“追及问题”后可以直接利用公式。

例2、四点和五点之间,时针和分针在什么时候成直角?

解钟面上有60格,它的1/4是15格,因而两针成直角的时候相差15格(包括分针在时针的前或后15格两种情况)。四点整的时候,分针在时针后(5×4)格,如果分针在时针后与它成直角,那么分

针就要比时针多走 格,如果分针在时针前与它成直角,那么分针就要比时针多走 格。再根据1分钟分针比时针多走 格就可以求出二针成直角的时间。

答: 及 时两针成直角。

例3、六点与七点之间什么时候时针与分针重合?

解六点整的时候,分针在时针后 格,分针要与时针重合,就得追上时针。这实际上是一个追及问题。

答: 的时候分针与时针重合。

十四、 盈亏问题

例1、给幼儿园小朋友分苹果,若每人分3个就余11个;若每人分4个就少1个。问有多少小朋友?有多少个苹果?

解按照“参加分配的总人数=(盈+亏)÷分配差”的数量关系:

(1)有小朋友多少人?(11+1)÷(4-3)=12(人)

(2)有多少个苹果?3×12+11=47(个)

答:有小朋友12人,有47个苹果。

【含义】根据一定的人数,分配一定的物品,在两次分配中,一次有余(盈),一次不足(亏),或两次都有余,或两次都不足,求人数或物品数,这类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】一般地说,在两次分配中,如果一次盈,一次亏,则有:

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参加分配总人数=(盈+亏)÷分配差

如果两次都盈或都亏,则有:

参加分配总人数=(大盈-小盈)÷分配差

参加分配总人数=(大亏-小亏)÷分配差

【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例2、修一条公路,如果每天修260米,修完全长就得延长8天;如果每天修300米,修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米?

解题中原定完成任务的天数,就相当于“参加分配的总人数”,按照“参加分配的总人数=(大亏-小亏)÷分配差”的数量关系,可以得知

原定完成任务的天数为

这条路全长为

答:这条路全长 米。

例3、学校组织春游,如果每辆车坐40人,就余下30人;如果每辆车坐45人,就刚好坐完。问有多少车?多少人?

解本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”,于是就有

(1)有多少车?

(2)有多少人?

答:有 辆车,有 人。

十五、 工程问题

例1、一项工程,甲队单独做需要10天完成,乙队单独做需要15天完成,现在两队合作,需要几天完成?

解题中的“一项工程”是工作总量,由于没有给出这项工程的具体数量,因此,把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成,那么每天完成这项工程的1/10;乙队单独做需15天完成,每天完成这项工程的1/15;两队合做,每天可以完成这项工程的(1/10+1/15)。由此可以列出算式:1÷(1/10+1/15)=1÷1/6=6(天)

答:两队合做需要6天完成。

【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中,常常不给出工作量的具体数量,只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等,在解题时,常常用单位“1”表示工作总量。

【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”,这样,工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几),进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

工作量=工作效率×工作时间工作时间=工作量÷工作效率

工作时间=总工作量÷(甲工作效率+乙工作效率)

【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。

例2、一批零件,甲独做6小时完成,乙独做8小时完成。现在两人合做,完成任务时甲比乙多做24个,求这批零件共有多少个?

解设总工作量为1,则甲每小时完成 ,乙每小时完成 ,甲比乙每小时多完成 ,二人合做时每小时完成 。因为二人合做需要 小时,这个时间内,甲比乙多做24个零件,

所以(1)每小时甲比乙多做多少零件?

(2)这批零件共有多少个?

答:这批零件共有 个。

解二上面这道题还可以用另一种方法计算:

两人合做,完成任务时甲乙的工作量之比为

24

由此可知,甲比乙多完成总工作量的

所以,这批零件共有

例3、一件工作,甲独做12小时完成,乙独做10小时完成,丙独做15小时完成。现在甲先做2小时,余下的由乙丙二人合做,还需几小时才能完成?

解必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示,就会给计算带来方便,因此,我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数,例如最小公倍数 ,则甲乙丙三人的工作效率分别是

因此,余下的工作量由乙丙合做还需要

答:还需要 小时才能完成。

例4、一个水池,底部装有一个常开的排水管,上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时,需要5小时才能注满水池;当打开2个进水管时,需要15小时才能注满水池;现在要用2小时将水池注满,至少要打开多少个进水管?

解注(排)水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程,水的流量就是工作量,单位时间内水的流量就是工作效率。

要2小时内将水池注满,即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量(一池水)。只要设某一个量为单位1,其余两个量便可由条件推出。 我们设每个同样的进水管每小时注水量为1,则4个进水管5小时注水量为 ,2个进水管15小时注水量为 ,从而可知

每小时的排水量为

即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知

一池水的总工作量为 又因为在2小时内,

每个进水管的注水量为1×2,所以,2小时内注满一池水

至少需要多少个进水管?

答:至少需要 个进水管。

十六、 正反比例问题

例1、修一条公路,已修的是未修的1/3,再修300米后,已修的变成未修的1/2,求这条公路总长是多少米?

解由条件知,公路总长不变。

原已修长度∶总长度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12

现已修长度∶总长度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12

比较以上两式可知,把总长度当作12份,则300米相当于(4-3)份,从而知公路总长为

300÷(4-3)×12=3600(米)

答:这条公路总长3600米。

【含义】两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定),那么这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。

【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决,而且比较简捷。

【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是:把分率(倍数)转化为比,应用比和比例的性质去解应用题。

正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

例2、张晗做4道应用题用了28分钟,照这样计算,91分钟可以做几道应用题?

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解做题效率一定,做题数量与做题时间成正比例关系

设91分钟可以做X应用题则有

答:91分钟可以做 道应用题。

例3、孙亮看《十万个为什么》这本书,每天看24页,15天看完,如果每天看36页,几天就可以看完?

解书的页数一定,每天看的页数与需要的天数成反比例关系

设X天可以看完,就有

答: 天就可以看完。

们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等,第二行三个小矩形的宽也相等。因此, 解这两个比例,得

所以,大矩形面积为

答:大矩形的面积是

十七、 按比例分配问题 例1、学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班,已知一班有47人,二班有48人,三班有45人,三个班各植树多少棵?

解总份数为47+48+45=140

一班植树560×47/140=188(棵)

二班植树560×48/140=192(棵)

三班植树560×45/140=180(棵)

答:一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。

【含义】所谓按比例分配,就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式:一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数,另一种是直接给出份数。

【数量关系】从条件看,已知总量和几个部分量的比;

从问题看,求几个部分量各是多少。总份数=比的前后项之和

【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几,把比的前后项相加求出总份数,再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母,比的前后项分别作分子),再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法,分别求出各部分量的值。

例2、用60厘米长的铁丝围成一个三角形,三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米? 解

答:三角形三条边的长分别是 厘米、 厘米、 厘米。

例3、从前有个牧民,临死前留下遗言,要把17只羊分给三个儿子,大儿子分总数的1/2,二儿子分总数的1/3,三儿子分总数的1/9,并规定不许把羊宰割分,求三个儿子各分多少只羊。

解如果用总数乘以分率的方法解答,显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解,则很容易得到

答:大儿子分得 只羊,二儿子分得 只羊,三儿子分得 只羊。

例4、某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21,第一车间比第二车间少80人,三个车间共多

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答:三个车间一共 人。

十八、 百分数问题

例1、仓库里有一批化肥,用去720千克,剩下6480千克,用去的与剩下的各占原重量的百分之几? 解(1)用去的占720÷(720+6480)=10%

(2)剩下的占6480÷(720+6480)=90%

答:用去了10%,剩下90%。

【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分,而百分数则无需;分数既可以表示“率”,也可以表示“量”,而百分数只能表示“率”;分数的分子、分母必须是自然数,而百分数的分子可以是小数;百分数有一个专门的记号“%”。 在实际中和常用到“百分点”这个概念,一个百分点就是1%,两个百分点就是2%。

【数量关系】掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系:

百分数=比较量÷标准量标准量=比较量÷百分数

【解题思路和方法】一般有三种基本类型:

(1)求一个数是另一个数的百分之几;

(2)已知一个数,求它的百分之几是多少;

(3)已知一个数的百分之几是多少,求这个数。

例2、红旗化工厂有男职工420人,女职工525人,男职工人数比女职工少百分之几?

解本题中女职工人数为标准量,男职工比女职工少的人数是比较量,所以

答:男职工人数比女职工少 。

例3、红旗化工厂有男职工420人,女职工525人,女职工比男职工人数多百分之几?

解本题中以男职工人数为标准量,女职工比男职工多的人数为比较量,因此

答:女职工人数比男职工多 。

例4、红旗化工厂有男职工420人,有女职工525人,男、女职工各占全厂职工总数的百分之几? 解(1)男职工占

(2)女职工占

答:男职工占全厂职工总数的 ,女职工占 。

例5百分数又叫百分率,百分率在工农业生产中应用很广泛,常见的百分率有:

增长率=增长数÷原来基数×100%

合格率=合格产品数÷产品总数×100%

出勤率=实际出勤人数÷应出勤人数×100%

出勤率=实际出勤天数÷应出勤天数×100%

缺席率=缺席人数÷实有总人数×100%

发芽率=发芽种子数÷试验种子总数×100%

成活率=成活棵数÷种植总棵数×100%

出粉率=面粉重量÷小麦重量×100%

出油率=油的重量÷油料重量×100%

废品率=废品数量÷全部产品数量×100%

命中率=命中次数÷总次数×100%

烘干率=烘干后重量÷烘前重量×100%

及格率=及格人数÷参加考试人数×100%

十九、 “牛吃草”问题

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例1、一块草地,10头牛20天可以把草吃完,15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完?

解草是均匀生长的,所以,草总量=原有草量+草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”,就是说5天内的草总量要5天吃完的话,得有多少头牛?设每头牛每天吃草量为1,按以下步骤解答:

(1)求草每天的生长量

因为,一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草,即(1×10×20);另一方面,20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量,所以

1×10×20=原有草量+20天内生长量

同理1×15×10=原有草量+10天内生长量

由此可知(20-10)天内草的生长量为1×10×20-1×15×10=50

因此,草每天的生长量为50÷(20-10)=5

(2)求原有草量

原有草量=10天内总草量-10内生长量=1×15×10-5×10=100

(3)求5天内草总量

5天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+5×5=125

(4)求多少头牛5天吃完草

因为每头牛每天吃草量为1,所以每头牛5天吃草量为5。因此5天吃完草需要牛的头数125÷5=25(头)

答:需要25头牛5天可以把草吃完。

【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题,也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

【数量关系】草总量=原有草量+草每天生长量×天数

【解题思路和方法】解这类题的关键是求出草每天的生长量。

例2、一只船有一个漏洞,水以均匀速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水,3小时可以淘完;如果只有5人淘水,要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完?

解这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是,最后一问给出了人数(相当于“牛数”),求时间。设每人每小时淘水量为1,按以下步骤计算:

(1)求每小时进水量

因为,3小时内的总水量=1×12×3=原有水量+3小时进水量

10小时内的总水量=1×5×10=原有水量+10小时进水量

所以,(10-3)小时内的进水量为1×5×10-1×12×3=14

因此,每小时的进水量为

(2)求淘水前原有水量

原有水量=1×12×3-3小时进水量=

(3)求17人几小时淘完

17人每小时淘水量为17,因为每小时漏进水为2,所以实际上船中每小时减少的水量为(17-2),所以17人淘完水的时间是

答:17人 小时可以淘完水。

二十、 鸡兔同笼问题

例1、长毛兔子芦花鸡,鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五,脚数共有九十四。请你仔细算一算,多少兔子多少鸡?

解假设35只全为兔,则鸡数=(4×35-94)÷(4-2)=23(只)

兔数=35-23=12(只)

也可以先假设35只全为鸡,则兔数=(94-2×35)÷(4-2)=12(只)

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鸡数=35-12=23(只)

答:有鸡23只,有兔12只。

【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚,求鸡、兔各有多少只的问题,叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差,求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

【数量关系】第一鸡兔同笼问题:

假设全都是鸡,则有兔数=(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2)

假设全都是兔,则有鸡数=(4×鸡兔总数-实际脚数)÷(4-2)

第二鸡兔同笼问题:

假设全都是鸡,则有兔数=(2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差)÷(4+2)

假设全都是兔,则有鸡数=(4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差)÷(4+2)

【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法,可以先假设都是鸡,也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡,然后以兔换鸡;如果先假设都是兔,然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设,再置换,使问题得到解决。

例2、2亩菠菜要施肥1千克,5亩白菜要施肥3千克,两种菜共16亩,施肥9千克,求白菜有多少亩?

解此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥(1÷2)千克”与“每只鸡有两个脚”相对应,“每亩白菜施肥(3÷5)千克”与“每只兔有4只脚”相对应,“16亩”与“鸡兔总数”相对应,“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜,则有

白菜亩数=

答:白菜地有10亩。

例3、李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本,作业本每本3.20元,日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本?

解此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本,则有

作业本数=

日记本数=

答:作业本有 本,日记本有 本。

例4、(第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各多少只? 解假设100只全都是鸡,则有

兔数=

鸡数=

答:有鸡 只,有兔 只。

例5有100个馍100个和尚吃,大和尚一人吃3个馍,小和尚3人吃1个馍,问大小和尚各多少人? 解假设全为大和尚,则共吃馍(3×100)个,比实际多吃(3×100-100)个,这是因为把小和尚也算成了大和尚,因此我们在保证和尚总数100不变的情况下,以“小”换“大”,一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍(3-1/3)个。因此,共有小和尚

共有大和尚

答:共有大和尚 人,有小和尚 人。

二十一、方阵问题

例1、在育才小学的运动会上,进行体操表演的同学排成方阵,每行22人,参加体操表演的同学一共有多少人?

解22×22=484(人)答:参加体操表演的同学一共有484人。

【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵),根据已知条件求总人数或总物数,这类问题就叫做方阵问题。

【数量关系】(1)方阵每边人数与四周人数的关系:

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四周人数=(每边人数-1)×4

每边人数=四周人数÷4+1

(2)方阵总人数的求法:

实心方阵:总人数=每边人数×每边人数

内边人数=外边人数-层数×2

(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算,则:

总人数=(每边人数-层数)×层数×4

【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多,其解答方法应根据具体情况确定。

例2、有一个3层中空方阵,最外边一层有10人,求全方阵的人数。

解= 答:全方阵84人。

例3、有一队学生,排成一个中空方阵,最外层人数是52人,最内层人数是28人,这队学生共多少人?

解(1)中空方阵外层每边人数=

(2)中空方阵内层每边人数=

(3)中空方阵的总人数=

答:这队学生共 人。

例4、一堆棋子,排列成正方形,多余4棋子,若正方形纵横两个方向各增加一层,则缺少9只棋子,问有棋子多少个?

解(1)纵横方向各增加一层所需棋子数=

(2)纵横增加一层后正方形每边棋子数=

(3)原有棋子数=

答:棋子有 只。

例5有一个三角形树林,顶点上有1棵树,以下每排的树都比前一排多1棵,最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树?

解第一种方法:

第二种方法:

答:这个三角形树林一共有 棵树。

二十二、商品利润问题

例1、某商品的平均价格在一月份上调了10%,到二月份又下调了10%,这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何?

解设这种商品的原价为1,则一月份售价为(1+10%),二月份的售价为(1+10%)×(1-10%),所以二月份售价比原价下降了

1-(1+10%)×(1-10%)=1%

答:二月份比原价下降了1%。

【含义】这是一种在生产经营中经常遇到的问题,包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。

【数量关系】利润=售价-进货价利润率=(售价-进货价)÷进货价×100%

售价=进货价×(1+利润率)

亏损=进货价-售价亏损率=(进货价-售价)÷进货价×100%

【解题思路和方法】简单的题目可以直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。

例2、某服装店因搬迁,店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元,已知衣服原来按期望盈利30%定价,那么该店是亏本还是盈利?亏(盈)率是多少?

解要知亏还是盈,得知实际售价52元比成本少多少或多多少元,进而需知成本。因为52元是原价的 30

80%,所以原价为(52÷80%)元;又因为原价是按期望盈利30%定的,所以成本为 可以看出该店是 的, 利率为

答:该店是 的, 利率是 。

例3、成本0.25元的作业本1200册,按期望获得40%的利润定价出售,当销售出80%后,剩下的作业本打折扣,结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣?

解问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。从题意可知,每册的原定价是 ,所以关键是求出剩下的每册的实际售价,为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的80%的盈利额之差,即

剩下的作业本每册盈利

又可知

答:剩下的作业本是按原定价的 折出售的。

例4、某种商品,甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%,甲店按30%的利润定价,乙店按20%的利润定价,结果乙店的定价比甲店的定价贵6元,求乙店的定价。

解设乙店的进货价为1,则甲店的进货价为

甲店定价为

乙店定价为

由此可得乙店进货价为

乙店定价为

答:乙店的定价是 元。

二十三、存款利率问题

例1、李大强存入银行1200元,月利率0.8%,到期后连本带利共取出1488元,求存款期多长。 解因为存款期内的总利息是(1488-1200)元,

所以总利率为(1488-1200)÷1200又因为已知月利率,

所以存款月数为(1488-1200)÷1200÷0.8%=30(月)

答:李大强的存款期是30月即两年半。

【含义】把钱存入银行是有一定利息的,利息的多少,与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数;月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。

【数量关系】年(月)利率=利息÷本金÷存款年(月)数×100%

利息=本金×存款年(月)数×年(月)利率

本利和=本金+利息=本金×[1+年(月)利率×存款年(月)数]

【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。

例2、银行定期整存整取的年利率是:二年期7.92%,三年期8.28%,五年期9%。如果甲乙二人同时各存入1万元,甲先存二年期,到期后连本带利改存三年期;乙直存五年期。五年后二人同时取出,那么,谁的收益多?多多少元?

解甲的总利息

乙的总利息

谁比谁多:

答: 的收益较多, 比 多 元。

二十四、溶液浓度问题

例1、爷爷有16%的糖水50克,(1)要把它稀释成10%的糖水,需加水多少克?(2)若要把它变成30%的糖水,需加糖多少克?

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解(1)需要加水多少克?50×16%÷10%-50=30(克)

(2)需要加糖多少克?50×(1-16%)÷(1-30%)-50=10(克)

答:(1)需要加水30克,(2)需要加糖10克。

【含义】在生产和生活中,我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂(水或其它液体)、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如,水是一种溶剂,被溶解的东西叫溶质,溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度,也叫百分比浓度。

【数量关系】溶液=溶剂+溶质浓度=溶质÷溶液×100%

【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。

例2、要把30%的糖水与15%的糖水混合,配成25%的糖水600克,需要30%和15%的糖水各多少克? 解假设全用30%的糖水溶液,那么含糖量就会多出

这是因为30%的糖水多用了。于是,我们设想在保证总重量600克不变的情况下,用15%的溶液来“换

掉”一部分30%的溶液。这样,每“换掉”100克,就会减少糖 所以需要“换掉”30%的溶液(即“换上”15%的溶液)

由此可知,需要15%的溶液 克。

需要30%的溶液

答:需要15%的糖水溶液 克,需要30%的糖水 克。

例3、甲容器有浓度为12%的盐水500克,乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中,混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中,混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中,使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。

解由条件知,倒了三次后,甲乙两容器中溶液重量相等,各为500克,因此,只要算出乙容器中最后

答:乙容器中最后的百分比浓度是

二十五、构图布数问题

例1、十棵树苗子,要栽五行子,每行四棵子,请你想法子。

解符合题目要求的图形应是一个五角星。

4×5÷2=10

因为五角星的5条边交叉重复,应减去一半。

【含义】这是一种数学游戏,也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”,就是设计出一种图形;所谓“布数”,就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。

【数量关系】根据不同题目的要求而定。

【解题思路和方法】通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数,符合题目所给的条件。

例2、九棵树苗子,要栽三行子,每行四棵子,请你想法子。

解符合题目要求的图形是一个三角形,每边栽4棵树,三个顶点上重复应减去,正好9棵。4×3-3=9

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二十六、幻方问题

例1、把1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数填入九个方格中,使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。

解幻和的3倍正好等于这九个数的和,所以幻和为

(1+2+3+4+5+6+7+8+9)÷3=45÷3=15

九个数在这八条线上反复出现构成幻和时,每个数用到的次数不全相同,最中心的那个数要用到四次(即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上),四角的四个数各用到三次,其余的四个数各用到两次。看来,用到四次的“中心数”地位重要,宜优先考虑。

设“中心数”为Χ,因为Χ出现在四条线上,而每条线上三个数之和等于15,所以(1+2+3+4+5+6+7+8+9)+(4-1)Χ=15×4

即45+3Χ=60所以Χ=5 接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置,它们 分别在四个角,再确定其余四个奇数的位置,它们分别 在中行、中列,进一步尝试,容易得到正确的结果。

【含义】把n×n个自然数排在正方形的格子中,使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等,这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。

【数量关系】每行、每列、每条对角线上各数的和都相等,这个“和”叫做“幻和”。

三级幻方的幻和=45÷3=15

五级幻方的幻和=325÷5=65

【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和(即幻和),其次是确定正中间方格的数,然后再确定其它方格中的数。

例2、把2,3,4,5,6,7,8,9,10这九个数填到九个方格中,

使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。

解只有三行,三行用完了所给的9个数,所以每行三数之和为

(2+3+4+5+6+7+8+9+10)÷3=18

假设符合要求的数都已经填好,那么三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18,我们看18能写成哪三个数之和:

最大数是10:18=10+6+2=10+5+3

最大数是9:18=9+7+2=9+6+3=9+5+4

最大数是8:18=8+7+3=8+6+4

最大数是7:18=7+6+5刚好写成8个算式。

首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数,共用了四次。观

6被用了4次,所以正中间方格中应填6。

然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次,而上述8个算式中只有9、7、5、3被用了三次,所以9、7、5、3应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的和都为18。

最后确定其它方格中的数。如图。

二十七、抽屉原则问题

例1、育才小学有367个1999年出生的学生,那么其中至少有几个学生的生日是同

一天的?

解由于1999年是润年,全年共有366天,可以看作366个“抽屉”,把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中,至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。

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这说明至少有2个学生的生日是同一天的。

【含义】把3只苹果放进两个抽屉中,会出现哪些结果呢?要么把2只苹果放进一个抽屉,剩下的一个放进另一个抽屉;要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示:一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。

【数量关系】基本的抽屉原则是:如果把n+1个物体(也叫元素)放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体(元素)。

抽屉原则可以推广为:如果有m个抽屉,有k×m+r(0<r≤m)个元素那么至少有一个抽屉中要放(k+1)个或更多的元素。

通俗地说,如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些,那么至少有一个抽屉要放(k+1)个或更多的元素。

【解题思路和方法】(1)改造抽屉,指出元素;

(2)把元素放入(或取出)抽屉;

(3)说明理由,得出结论。

例2、据说人的头发不超过20万跟,如果陕西省有3645万人,根据这些数据,你知道陕西省至少有多少人头发根数一样多吗?

解人的头发不超过20万根,可看作20万个“抽屉”,3645万人可看作3645万个“元素”,把3645万个“元素”放到20万个“抽屉”中,得到

3645÷20=182??5根据抽屉原则的推广规律,可知k+1=183

答:陕西省至少有183人的头发根数一样多。

例3、一个袋子里有一些球,这些球仅只有颜色不同。其中红球10个,白球9个,黄球8个,蓝球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个,试问他至少要取多少个球,才能保证至少有4个球颜色相同? 解把四种颜色的球的总数(3+3+3+2)=11看作11个“抽屉”,那么,至少要取(11+1)个球才能保证至少有4个球的颜色相同。

答;他至少要取12个球才能保证至少有4个球的颜色相同。

二十八、公约公倍问题

例1、一张硬纸板长60厘米,宽56厘米,现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形,不许有剩余。问正方形的边长是多少?

解硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。

60和56的最大公约数是4。答:正方形的边长是4厘米。

【含义】需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。

【数量关系】绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。

【解题思路和方法】先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数,再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法,最常用的是“短除法”。

例2、甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶,甲车行一周要36分钟,乙车行一周要30分钟,丙车行一周要48分钟,三辆汽车同时从同一个起点出发,问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇?

解要求多少时间才能在同一起点相遇,这个时间必定同时是36、30、48的倍数。因为问至少要多少时间,所以应是36、30、48的最小公倍数。36、30、48的最小公倍数是720。

答:至少要720分钟(即12小时)这三辆汽车才能同时又在起点相遇。

例3、一个四边形广场,边长分别为60米,72米,96米,84米,现要在四角和四边植树,若四边上每两棵树间距相等,至少要植多少棵树?

解相邻两树的间距应是60、72、96、84的公约数,要使植树的棵数尽量少,须使相邻两树的间距尽量大,那么这个相等的间距应是60、72、96、84这几个数的最大公约数12。

所以,至少应植树(60+72+96+84)÷12=26(棵)

答:至少要植26棵树。

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例4、一盒围棋子,4个4个地数多1个,5个5个地数多1个,6个6个地数还多1个。又知棋子总数在150到200之间,求棋子总数。

解如果从总数中取出1个,余下的总数便是4、5、6的公倍数。因为4、5、6的最小公倍数是60,又知棋子总数在150到200之间,所以这个总数为

60×3+1=181(个)

答:棋子的总数是181个。

二十九、最值问题

例1、在火炉上烤饼,饼的两面都要烤,每烤一面需要3分钟,炉上只能同时放两块饼,现在需要烤三块饼,最少需要多少分钟?

解先将两块饼同时放上烤,3分钟后都熟了一面,这时将第一块饼取出,放入第三块饼,翻过第二块饼。再过3分钟取出熟了的第二块饼,翻过第三块饼,又放入第一块饼烤另一面,再烤3分钟即可。这样做,用的时间最少,为9分钟。

答:最少需要9分钟。

【含义】科学的发展观认为,国民经济的发展既要讲求效率,又要节约能源,要少花钱多办事,办好事,以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。

【数量关系】一般是求最大值或最小值。

【解题思路和方法】按照题目的要求,求出最大值或最小值。

例2、在一条公路上有五个卸煤场,每相邻两个之间的距离都是10千米,已知1号煤场存煤100吨,2号煤场存煤200吨,5号煤场存煤400吨,其余两个煤场是空的。现在要把所有的煤集中到一个煤场里,每吨煤运1千米花费1元,集中到几号煤场花费最少?

解我们采用尝试比较的方法来解答。

集中到1号场总费用为1×200×10+1×400×40=18000(元)

集中到2号场总费用为1×100×10+1×400×30=13000(元)

集中到3号场总费用为1×100×20+1×200×10+1×400×10=12000(元)

集中到4号场总费用为1×100×30+1×200×20+1×400×10=11000(元)

集中到5号场总费用为1×100×40+1×200×30=10000(元)

经过比较,显然,集中到5号煤场费用最少。

答:集中到5号煤场费用最少。

例3、北京和上海同时制成计算机若干台,北京可调运外地10

外地4台。现决定给重庆调运8台,给武汉调运6台, 若每台运费如右表,问如何调运才使运费最省? 解北京调运到重庆的运费最高,因此,北京

往重庆应尽量少调运。这样,把上海的4台全都调

往重庆,再从北京调往重庆4台,调往武汉6台,运费就会最少,其数额为

500×4+800×4+400×6=7600(元)

答:上海调往重庆4台,北京调往武汉6台,调往重庆4台,这样运费最少。

三十、列方程问题

例1、甲乙两班共90人,甲班比乙班人数的2倍少30人,求两班各有多少人?

解第一种方法:设乙班有Χ人,则甲班有(90-Χ)人。

找等量关系:甲班人数=乙班人数×2-30人。

列方程:90-Χ=2Χ-30

解方程得Χ=40从而知90-Χ=50

第二种方法:设乙班有Χ人,则甲班有(2Χ-30)人。

列方程(2Χ-30)+Χ=90

35

解方程得Χ=40从而得知2Χ-30=50

答:甲班有50人,乙班有40人。

【含义】把应用题中的未知数用字母Χ代替,根据等量关系列出含有未知数的等式——方程,通过解这个方程而得到应用题的答案,这个过程,就叫做列方程解应用题。

【数量关系】方程的等号两边数量相等。

【解题思路和方法】可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。

(1)审:认真审题,弄清应用题中的已知量和未知量各是什么,问题中的等量关系是什么。

(2)设:把应用题中的未知数设为Χ。

(3)列;根据所设的未知数和题目中的已知条件,按照等量关系列出方程。

(4)解;求出所列方程的解。

(5)验:检验方程的解是否正确,是否符合题意。

(6)答:回答题目所问,也就是写出答问的话。

同学们在列方程解应用题时,一般只写出四项内容,即设未知数、列方程、解方程、答语。设未知数时要在Χ后面写上单位名称,在方程中已知数和未知数都不带单位名称,求出的Χ值也不带单位名称,在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出,但必须检验。

例2、鸡兔35只,共有94只脚,问有多少兔?多少鸡?

解第一种方法:设兔为Χ只,则鸡为(35-Χ)只,兔的脚数为4Χ个,鸡的脚数为2(35-Χ)个。根据等量关系“兔脚数+鸡脚数=94”可列出方程4Χ+2(35-Χ)=94解方程得Χ=12则35-Χ=23

第二种方法:可按“鸡兔同笼”问题来解答。假设全都是鸡,

则有兔数=(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2)

所以兔数=(94-2×35)÷(4-2)=12(只)

鸡数=35-12=23(只)

答:鸡是23只,兔是12只。

例3、仓库里有化肥940袋,两辆汽车4次可以运完,已知甲汽车每次运125袋,乙汽车每次运多少袋?

解第一种方法:求出甲乙两车一次共可运的袋数,再减去甲车一次运的袋数,即是所求。940÷4-125=110(袋)

第二种方法:从总量里减去甲汽车4次运的袋数,即为乙汽车共运的袋数,再除以4,即是所求。(940-125×4)÷4=110(袋)

第三种方法:设乙汽车每次运Χ袋,可列出方程940÷4-Χ=125

解方程得Χ=110

第四种方法:设乙汽车每次运Χ袋,依题意得

(125+Χ)×4=940解方程得Χ=110

答:乙汽车每次运110袋。

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