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2008年珙县九年级数学复习研讨会专题资料(七)

发布时间:2013-11-29 12:29:16  

2008年珙县九年级数学复习研讨会专题资料(七)

7、圆复习研究

杨雪松 珙县孝儿职中

单元复习目标

本章是初中数学最核心的内容之一,主要题型有选择题、填空题、解答题、作图题。主要知识点有圆的有关概念,圆的基本性质,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系,圆的有关公式和计算。在复习过程中,要重视基本定理与基本图形相结合,计算与推理相结合,重视基本定理与基本图形的转化与化归的思想的运用。能用运动变换的观点解决圆中的动态型问题,会用各种数学思想方法解决结论不确定的探索型问题,以培养发散思维能力。证明圆中的综合题时,应掌握常规的证题思路,常规的辅助线添法,学会在复杂的“背景”下分析出隐含的基本图形,从而将综合分解为若干个基本题,以利问题的解决。

新教材索引

华东师大版教材:九年级(下)第28章 圆;

① 弧、弦、圆心角之间的关系:

在同圆或等圆中,如果两条劣弧(优弧)、两条两个圆心角中有一组量对应相等,那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.

② 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.

垂径定理的推论:

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.

平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. ③ 在同一圆内,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半. ④ 圆内接四边形的性质:

圆的内接四边形对角互补,并且任何一个外角等于它的内对角.

(2)点与圆的位置关系

① 设点与圆心的距离为d,圆的半径为r,

则点在圆外?d?r; 点在圆上?d?r; 点在圆内?d?r. ② 过不在同一直线上的三点有且只有一个圆. 一个三角形有且只有一个外接圆. ③ 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.

三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.

(3)直线与圆的位置关系

① 设圆心到直线l的距离为d,圆的半径为r,

则直线与圆相离?d?r;直线与圆相切?d?r;直线与圆相交?d?r. ② 切线的性质:与圆只有一个公共点;

圆心到切线的距离等于半径;

圆的切线垂直于过切点的半径.

③ 切线的识别:如果一条直线与圆只有一个公共点,那么这条直线是圆的切线. 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.

经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线.

④ 三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点.

三角形的内心到三角形三边的距离相等.

⑤ 切线长:圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. ⑥ 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等.

这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.

(4)圆与圆的位置关系

① 圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含.

设两圆心的距离为d,两圆的半径为r1?r2 1、r2,则两圆外离?d?r

两圆外切?d?r1?r2

两圆相交?r1?r2?d?r1?r2 两圆内切?d?r1?r2 两圆内含?d?r1?r2 ② 两个圆构成轴对称图形,连心线(经过两圆圆心的直线)是对称轴.

由对称性知:两圆相切,连心线经过切点. 两圆相交,连心线垂直平分公共弦. ③ 两圆公切线的定义:和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线.

两个圆在公切线同旁时,这样的公切线叫做外公切线.

两个圆在公切线两旁时,这样的公切线叫做内公切线.

④ 公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.

(5)与圆有关的计算

n?r21n?r?lr ① 弧长公式:l? 扇形面积公式:S扇形?3602180

(其中为n圆心角的度数,r为半径)

② 圆柱的侧面展开图是矩形.

圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体.

圆柱的侧面积=底面周长×高

圆柱的全面积=侧面积+2×底面积

③ 圆锥的侧面展开图是扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等

于圆锥的母线长.

圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体.

④ 圆锥的侧面积=1×底面周长×母线;圆锥的全面积=侧面积+底面积 2

3、典型例题

例1 如图,AC为⊙O 的直径,B、D、E都是⊙O上的点,求∠A+∠B +∠C的度数.

【分析】由AC为直径,可以得出它所对的圆周角是直角,所以连结AE,这样将∠CAD(∠

A)、∠C放在了△AEC中,而∠B与∠EAD是同弧所对的圆周角相等,这样问题

迎刃而解.

【解】 连结AE

∵AC是⊙O的直径 ∴∠AEC=90O ∴∠CAD +∠EAD+∠C =90O

A

C ∵ED?ED ∴∠B=∠EAD

∴∠CAD +∠B+∠C =90O

⌒⌒【说明】这里通过将∠B转化为∠EAD,从而使原本没有联系的∠A、∠B 、∠C都在 △AEC中,又利用“直径对直角”得到它们的和是90O.解题中一方面注意到了隐含条件“同弧所对的圆周角相等”,另一方面也注意到了将“特殊的弦”(直径)转化为“特殊的角”(直角),很好地体现了“转化”的思想方法.

例2 △ABC中,AC=6,BC=8,∠C=90O,以点C为圆心,CA为半径的圆与AB交于点

D,求AD的长.

【分析】圆中有关弦的计算问题通常利用垂径定理构造直角三角形求解,所以作CH⊥AB,

这只要求出AH的长就能得出AD的长.

【解】 作CH⊥AB,垂足为H

∵∠C=90O,AC=6,BC=8 ∴AB=10

∵∠C=90O, CH⊥AB

∴AC?AH?AB 2

又∵AC=6, AB=10 ∴ AH=3.6

∵CH⊥AB ∴AD=2AH ∴AD=7.2 答:AD的长为7.2.

【说明】解决与弦有关的问题,往往需要构造垂径定理的基本图形——由半径、弦心距、弦

的一半构成的直角三角形,它是解决此类问题的关键.定理的应用必须与所对应的

基本图形相结合,教师在复习时要特别注重基本图形的掌握.

例3 (1)如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,∠CAE=∠B,试说明AE与⊙O相切于点

A.

(2)在(1)中,若AB为非直径的弦,∠CAE=∠B,AE还与⊙O相切于点A吗?

B AAD E E 【分析】第(1)小题中,因为AB为直径,只要再说明∠BAE为直角即可.第(2)小题中,

AB为非直径的弦,但可以转化为第(1)小题的情形.

【解】 (1)∵AB是⊙O的直径 ∴∠C=90O

∴∠BAC+∠B=90O

又∵∠CAE=∠B ∴∠BAC+∠CAE =90O

即∠BAE =90O ∴AE与⊙O相切于点A.

(2)连结AO并延长交⊙O于D,连结CD.

∵AD是⊙O的直径 ∴∠ACD=90O

∴∠D+∠CAD=90O

又∵∠D=∠B ∴∠B+∠CAD=90O

又∵∠CAE =∠B ∴∠CAE+∠CAD=90O

即∠EAD =90O ∴AE仍然与⊙O相切于点A.

【说明】本题主要考查切线的识别方法.这里可以引导学生依据第(1)小题的特殊情况,大胆

提出猜想,渗透“由特殊到一般”的数学思想方法,这对于学生的探索能力培养非常重要.

例4 如图,已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E,连结AD、BD、OC、OD,

且OD=5.

(1)若sin∠BAD?3,求CD的长. 5

(2)若 ∠ADO:∠EDO=4:1,求扇形OAC(阴影部分)的面积(结果保留?).

【分析】图形中有 “直径对直角”,这样就出现了“直角三角形及斜边上的高”的基本图形,

求CD的长就转化为求DE的长.第(2)小题求扇形OAC的面积其关键是求∠AOD的度数,从而转化为求∠AOD的大小.

【解】(1) ∵AB是⊙O的直径,OD=5

∴∠ADB=90°,AB=10

又∵在Rt△ABD中,sin∠BAD?BD3? AB5B ∴BD?6 ∵∠ADB=90°,AB⊥CD ∴ BD2=BE·AB CD= 2DE ∵AB=10 BD?6

∴BE=2418 在Rt△EBD中,由勾股定理得 DE? 55

48∴CD?2DE? 5

答:CD的长为

(2)∵AB是⊙O的直径,AB⊥CD

∴CB?BD,AC?AD

48. 5⌒⌒⌒⌒ ∴∠BAD=∠CDB,∠AOC=∠AOD ∵AO=DO ∴∠BAD=∠ADO ∴∠CDB=∠ADO 设∠ADO=4k,则∠CDB=4k 由∠ADO:∠EDO=4:1,则∠EDO=k ∵∠ADO+∠EDO+∠EDB=90° ∴4k?4k?k?90? 得k=10° ∴∠AOD=180°-(∠OAD+∠ADO)=100° ∴∠AOC=∠AOD=100° 则S扇形OAC?100125???52?? 36018

125 答:扇形OAC的面积为? 18

【说明】本题涉及到了圆中的重要定理、直角三角形的边角关系、扇形面积公式等知识点的

综合,考查了学生对基本图形、基本定理的掌握程度.求DE长的方法很多,可以用射影定理、勾股定理,也可以运用面积关系来求,但都离不开“直角三角形及斜边上的高”这个基本图形.解题中也运用了比例问题中的设k法,同时也渗透了“转化”的思想方法.

例5 半径为2.5的⊙O中,直径AB的不同侧有定点C和动点P.已知BC :CA=4 : 3,

点P在半圆AB上运动(不与A、B两点重合),过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点Q.

(l)当点P与点C关于AB对称时,求CQ的长;

(2)当点P运动到半圆AB的中点时,求CQ的长;

(3) 当点P运动到什么位置时,CQ取到最大值?求此时CQ的长.

【分析】当点P与点C关于AB对称时,CP被直径垂直平分,由垂径定理求出CP的长,

再由Rt△ACB∽Rt△PCQ,可求得CQ的长.当点P在半圆AB上运动时,虽然P、Q 点的位置在变,但△PCQ始终与△ACB相似,点P运动到半圆AB的中点时,∠PCB=45O,作BE⊥PC于点E, CP=PE+EC.由于CP与CQ的比值不变,所以CP取得最大值时CQ也最大.

【解】 (l)当点P与点C关于AB对称时,CP⊥AB,设垂足为D.

∵AB为⊙O的直径,

∴∠ACB=900.

∴AB=5,AC:CA=4:3

∴BC=4,AC=3

SRt△ACB=11AC·BC=AB·CD 22

1224∴ CD?,PC?. 55

∵ 在Rt△ACB和Rt△PCQ中, ∠ACB=∠PCQ=900, ∠CAB=∠CPQ,

∴ Rt△ACB∽Rt△PCQ

∴ ACBCBC?PC432 ∴ CQ? ??PC?PCCQAC35

(2)当点P运动到弧AB的中点时,过点B作BE⊥PC于点E(如图).

∵P是弧AB的中点,

∴?PCB?45,CE?BE?

0BC? 2又∠CPB=∠CAB

∴∠CPB= tan∠CAB=4 3

P

PE?BE3?BE?

tan?CPB4从而PC?PE?EC?4 由(l

)得,CQ?PC?3(3)点P在弧AB上运动时,恒有CQ?BC?PC4?PC AC3

20 3 故PC最大时,CQ取到最大值. 当PC过圆心O,即PC取最大值5时,CQ 最大值为

【说明】本题从点P在半圆AB上运动时的两个特殊位置的计算问题引申到求CQ的最大值,

一方面渗透了“由特殊到一般”的思想方法,另一方面运用“运动变化”观点解决问题时,寻求变化中的不变性(题中的Rt△ACB∽Rt△PCQ)往往是解题的关键. 例6.(攀枝花市2006)如图所示,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,?APB?80,点C是⊙O上不同于A、B的任意一点,求?ACB的度数。

解:连接OA、OB,在AB弧上任取一点C,

∵PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,

AC、BC,

∴?OAP??OBP?90?,

∵?APB?80,在四边形OAPB中,??连接可得?AOB?100?

① 若C点在劣弧AB上,则?ACB?130?

② 若C点在优弧AB上,则?ACB?50?

达标训练 一、选择题

1.(2003·武汉)如图1,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的度数为( ).

A.100° B.130° C.50° D.80°

A

A

C

P

C

C

B

C

EA

OB

(1) (2) (3) (4)

2.(2003.武汉)过⊙O内一点M的最长弦长为10cm,最短弦长为8cm,那么OM的长为( ) A.3cm B.6cm

C.

D.9cm

3.(2004·北京)如图2,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,点C在⊙O上,如果∠P=50°,那么∠ACB等于( )

A.40° B.50° C.65° D.130°

4.(2004·武汉)已知⊙O的半径为10cm,如果一条直线和圆心O的距离为10cm,?那么这条直线和这个圆的位置关系为( )

A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离

5.(2004·武汉)如果⊙O的周长为10?cm,那么它的半径为( ) A.5cm

B.

C.10cm D.5?cm

6.(2004·武汉)⊙O1与⊙O2的半径分别是3cm和4cm,若O1O2=10cm,则这两圆的位置关系为( )

A.相离 B.外切 C.相交 D.内切

7.(2004·宜昌)如图3,AB为⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB于E,?则下列结论中错误的是( )

??BD? A.∠COE=∠DOE B.CE=DE C.AE=DE D. BC

8.(2004·深圳)下列图中:①线段;②正方形③圆;④等腰梯形;?⑤平行四边形是轴对称图形,但

不是中心对称图形有( ).

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

9.(2001·江西)如图1,⊙A、⊙B、⊙C两两不相交,且半径都是0.5cm,?图中的三个扇形(即三个阴影部分)的面积之和是( )

A.

????cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 12864

A

O

A

B

O

B

(1) (2) (3)

10.(2003·兰州)半径的3cm、圆心角为120°的扇形的面积为( ) A.6?cm2 B.5?cm2 C.4?cm2 D.3?cm2

11.(2003·辽宁)如图2,在同心圆中,两圆半径分别为2、1,∠AOB=120°,?则阴影部分的面积为( ) A.4? B.2? C.

4

? D. ? 3

12.(2003·辽宁)已知圆锥的侧面展开图的面积是15?cm2,母线长是5cm,则圆锥的底面半径为( ) A.

3

cm B.3cm C.4cm D.6cm 2

13.(2004.甘肃)如图3,扇形AOB中,∠AOB=60°,AD=3cm,CD=3?cm,则图中阴影部分的面积

91521?cm2 B. ?cm2 C. ?cm2 D.21?cm2 222

5

14.(2004·绍兴)一个圆锥的底面半径为,母线长为6,?则此圆锥侧面展开图的圆心角是( )

2

为( ) A.

A.180° B.150° C.120° D.90° 15. (内江2007年)如图(5),这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案,它是一扇形图形,其中?AOB为120,OC长为8cm,CA长为12cm,则阴影部分的面积为( ) A.64πcmB.112πcm C.144πcmD.152πcm 16.(自贡市2007)小洋用彩色纸制做了一个圆锥型的生日帽,

其底面半径为6cm,母线长为12cm,不考虑接缝,这个生日帽的侧面积为( )

A.36πcm2

B.72πcm2

C.100πcm2

D.144πcm2

?

2

2

2

2?

A

C O

图(5)

B

(乐山市2007)如图(7),MN是?O的直径,MN?2,点A在?O上,∠AMN?30,

AN的中点,P是直径MN上一动点,则PA?PB的最小值为( )

B为?

A.

图(7)

N

图(9)

C.1

D.2

二、填空题

1.(2003·黑龙江)如图4,在⊙O中,AB、AC是互相垂直且相等的两条弦,?OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E,若AC=2cm,则⊙O的半径为_____cm.

2.(2003·兰州)D是半径为5cm的⊙O内的一点,且OD=3cm,过点D?的所有弦中最短弦AB=________cm.

3.(2003·陕西)如图5,AB是⊙O的直径,C、D、E都是⊙O上的点,则∠1+?∠2=_______.

B

BC

D

(5) (6) (7) (8)

4.(2004·徐州)如图6,AB为⊙O的直径,弦AC=4cm,BC=3cm,CD⊥AB,?垂足为D,那么CD的长为_______cm.

5.(2004·甘肃)如图7,有一圆弧形门拱的拱高AB为1m,跨度CD为4m,则这个门拱的半径为________m.

6.(2003·巴中)如图8,在⊙O中,AB=AC,∠CBD=30°,∠BCD=?

? 则∠ABC=____. 7.(2004·大连)如图,⊙O的半径为5cm,圆心O到弦AB则弦AB的长为_______cm. 8.(2004·山西)一个扇形如图4,半径为10cm,圆心角为270°,

用它做成一个圆锥的侧面,那么圆锥的高为_______cm.

9.(2004·北京朝阳)半径为R,圆心角为36°的扇形面积是

_________.

10.(2003·河北)已知圆锥的底面直径为4,母线长为6,则它的侧

面积为_____.

11.(2003·北京大兴)一个扇形的弧长为20?cm,面积为

240?cm2,则该扇形的圆心角为______度.

12.(2004·常州)如果把人的头顶和脚底分别看作一个点,把地球赤道看做一个圆,那么身高2m的汤姆沿着地球赤道环行一周,他的头顶比脚底多行______m.

13. (乐山市2007)如图(9),半圆的直径AB?10,P为AB上一点,点C,D为半圆的三等分点,则阴影部分的面积等于_______.

三、解答题

1.(2004·大连)如图,AB、CD是⊙O的直径,DF、BE是弦,且DF=BE.

求证:∠D=∠B.

E

2.(2004·湖州)如图,⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A到点B,?点A的坐标为(0,4),M是圆上一点,∠BMO=120°,求:⊙C的半径和圆心C的坐标.

x

3.(2003·四川)已知:如图,BE是△ABC的外接圆O的直径,CD是△ABC的高. (1)求证:AC·BC=BE·CD;

(2)已知CD=6,AD=3,BD=8,求⊙O的直径BE的长

.

4.(2003·宁夏)李明同学和马强同学合作,将半径为1m、圆心角为90°的扇形薄铁板围成一个圆锥筒,在计算圆锥的容积(按缝忽略不计)时,李明认为圆锥的高就等于扇形的圆心O到弦AB的距离OC(如图),马强说这样计算不正确.你同意谁的说法?把正确的计算过程写在下面.

C

O

A

5.(2004·陕西)如图,点C在以AB为直径的半圆上,连结AC、BC,?AB=?10,tan∠BAC=阴影部分的面积. B 3,求4

C

AB

6.(2002·山西)如图1-18-28,等腰直角△ABC的斜边AB=4,O是AB的中点,以O为圆心的半圆分别与两腰相切于点D、E,求图中阴影部分的面积.(结果用?表示)

C

OB

7. (绵阳市2007)如图,AB是⊙O的直径,∠BAC = 60?,P是OB上一点,过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q,过点C的切线CD交PQ于D,连结OC.

(1)求证:△CDQ是等腰三角形;

(2)如果△CDQ≌△COB,求BP:PO的值.

9.(自贡市2007)如图,AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过E作⊙O的切线ME交AC于点D.试判断△AED的形状,并说明理由.

10.(德阳市2007)如图,已知AB是?O的直径,AC是弦,CD切?O于点C,交AB的延长线于点D,∠ACD?120,BD?10.

(1)求证:CA?CD;

(2)求?O的半径.

?

图形与变换复习研究

杨雪松 珙县孝儿职中

单元复习目标

理解图形的轴对称及其基本性质;理解图形的平移及其基本性质;理解图形的旋转及其基本性质;理解中心对称及其基本性质;能利用轴对称、平移、旋转和中心对称作图或进行图案设计,探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合);了解比例的基本性质及其计算;知道相似多边形的概念和性质,能解决相似多边形的简单问题;知道相似三角形的概念和性质;能利用相似三角形的性质解决一些实际问题;知道什么是位似,能利用位似的方法,将一个图形放大和缩小;能建立适当的直角坐标系,描述物体的位置;在同一直角坐标系中,知道图形经过平移、旋转、对称、放大或缩小后坐标的变化。

新教材索引

华师大版教材:七年级(下)第10章 轴对称,八年级(上)第 15章 平移与旋转,九年级(下)第 24章 图形的相似。

【知识回顾】 1、 知识脉络

2.基础知识

平移是由移动的方向和距离决定的.

平移的特征:

①对应线段平行(或共线)且相等;连结对应的线段平行(或共线)且相等; ②对应角分别相等;

③平移后的图形与原图形全等.

图形的旋转由旋转中心、旋转角度和旋转方向决定.

旋转的特征:

①对应点与旋转中心的距离相等;对应线段相等,对应角相等;

②每一点都绕旋转中心旋转了相同的角度;

③旋转后的图形与原图形全等. ac,则四条线段a、b、c、d叫做比例线段. ?(或a∶b=c∶d)bd

ac比例基本性质:若?,则ad=bc. bd比例线段,若

在比例中运用设k法.

相似多边形,对应边成比例,对应角相等.(识别方法)

相似三角形的相似比(当k=1时,得特殊的相似三角形,称为全等三角形). 相似三角形的判定定理:

(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么两个三角形相似;

(2)如果一个三角形的两边分别与另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角对应相等,那么两个三角形相似;

(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么两个三角形相似;

(4)如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 相似三角形的性质定理:

(1)若两个三角形相似,则这两个三角形的对应边成比例,对应角相等.

(2)若两个三角形相似,它们对应中线的比,角平分线的比,高的比都等于相似比.

(3)若两个三角形相似,它们周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 直角三角形中的射影定理.

利用相似三角形的性质解决一些实际问题.

画相似图形,利用位似方法,把一个多边形放大和缩小.

3.典型例题:

例1.如图1,修筑同样宽的两条“之”字路,余下的部分作为耕地,若要使耕地的面积为540米2,则道路的宽应是 米?

【分析】尝试把道路平移一下,化不规则图形为有序规则图形,问题就迎刃而解了.

【解】将横向道路位置平移至最下方,将纵向道路位置平移至最左方,

设道路宽为x米,则有 32x?(20?x)?x?32?20?540,

整理,得 x?52x?100?0, ∴(x?50)(x?2)?0,

∴x1?50(不合题意,舍去),x2?2.

∴道路宽应为2米.

【变式】如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图

案,若每个小长方形的面积都是1,则图中阴影部分的

面积是 [答案为5]

例2.如图是一个台球桌,(1)若击球者想通过击打E球,让E球先撞上AB边,反弹后再撞击F球,他应将E球打到AB边上的哪一点?请在图中画出这一点,并说明是如何确定的?

(2)若击球者想让E球先撞AB边,再撞AD边,反弹后撞上G球,他应将E球打在AB边上的哪一点?

E? EA A

E E F G D

图(1) 图(2)

【解】(1)作E球关于AB的对称点E?,连结E?F交AB于P,则P为所求的点,如图(1).

(2)分别作球关于AB的对称点E?,球G关于AD的对称点G?,连结E?G?交AB于P,交AD于Q,点P、Q即为所求的点(如图(2)).

【说明】本题利用了两点之间线段最短的原理及中垂线的性质来解决实际生活中的问题.这是中考中常考的一种题型,在复习中应引起足够的重视.

例3.如图①和②,在20×20的等距网络(每格的宽和高均为1个单位长)中,Rt?ABC从点A与点M重合的位置开始,以每秒1个单位长的速度先向下平移,当BC边与网格的底部重合时,继续以同样的速度向右平移,当点C与点P重合时,Rt?ABC停止移动。设运动时间为x秒,?QAC的面积为y.

(1)如图①,当Rt?ABC向下平移到Rt?A1B1C1的位置时,请你在网格中画出Rt?A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形;

(2)如图②,在Rt?ABC向下平移的过程中,请你求出y与x的函数关系式,并说明当x分别取何值时,y取最大值和最小值?最大值和最小值分别是多少?

(3)在Rt?ABC向右平移的过程中,请你说明当x取何值时,y取得最大值和最小值?最大值和最小值分别是多少?为什么? 2

A B ABQ Q B N

① P ② P

【分析】解本题的关键是排除网格的干扰,能抽象出网格中的四边形、三角形;对于(2)y?S梯形QMBC?S?AMQ?S?ABC;对于(3)y?S梯形BAQP?S?CPQ?S?ABC,应注意自变量的取值范围,在其约束条件下求函数最值.

【解】(1)略.(2)MA?x,MB?x?4,MQ?20,y?S梯形QMBC?S?AMQ?S?ABC ?111(4?20)(x?4)??20x??4?4?2x?40 (0≤x≤16) 222

由一次函数的性质知:当x?0时,y最小?40;当x?16时,y最大?72.

(3)当16≤x≤32时,PB?20?(x?16)?36?x,PC?PB?4?32?x, 所以y?S梯形BAQP?S?CPQ?S?ABC?111(4?20)(36?x)?20?(32?x)??4?4 222

??2x?104(16≤x≤32)

由一次函数的性质知:当x?32时,y最小?40;当x?16时,y最大?72.

例4.如图,一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B?点,那么沿哪条路最近?最短路程是多少?已知长方体的长为2cm,宽为1cm,高为4cm.

B?C

DB?B?2 1 AB? A?C?A?A?D??

4 4 4 B

2 C B D C (1) (2) (3)

【解】根据题意,如上图所示,最短路径有以下三种情况:

(1)沿AA?,A?C?,C?B?,B?B剪开,得图(1)

AB??AB?BB??(2?1)?4?25

(2)沿AC,CC?,C?B?,B?D?,D?A?,A?A剪开,得图(2) 22222

AB?2?AC2?B?C2?22?(4?1)2?4?25?29

(3)沿AD,DD?,B?D?,C?B?,C?A?,AA?剪开,得图(3)

AB?2?AD2?B?D2?12?(4?2)2?1?36?37

综上所述,最短路径应为(1)所示,所以AB??25,即AB??5cm,

答:最短路径为(1)所示5cm.

【说明】长方体中的最短路径问题要比圆柱体中的最短路径问题复杂,因为其展开图有三种情况,要比较后方能确定,但基本原理是一样的,需要将立体图形展开为平面图形才能解答,这里我们利用了“两点之间线段最短”这个最朴素的原理,只要掌握了最基本的原理,无论题目多复杂,我们都能转化同一类问题,从而解决问题。

例5.在矩形ABCD中,如图,AB?3,BC?4,将矩形折叠,使点C与点A重合,求折痕EF的长.

解:连结CE,则CE=AE EAD设AE= x,则DE= 4?x

在Rt△CDE中,CE?DE?DC

所以x?(4?x)?3 2222222O

B

FC2525解得 x? 即CE? 88

在Rt?ABC中,AC?

由题意知:AO??5 ?CO?AC5? 22

?15 8所以,在Rt△CEO中,EO?

又因为?AOE≌ ?EOC

所以,OE?OF

所以,EF?2OE?15 4

【说明】图形翻折后有两个全等的直角三角形,本题正是利用直角三角形中的勾股定理构造方程解题,体现了一种常用的数学思想和方法——方程思想及数形结合的方法.

例6.为了改善农民吃水质量,市政府决定从新建的水厂A向两村B、C供水,已知三点A、

B、C之间的距离相等,为了节约成本,降低工程造价,请你设计一种最佳方案,使铺设的

AAAA

O

BC

(2)CBCBC

(1)DBE(3)

输水管道最短.在图画出你所设计方案的线路图.

解:设AB?BC?AC?a

图(1)所示方案的线路总长为AB?AC?2a,

图(2)Rt?

ADC中,AD??,

图(2

)所示方案的线路总长为AD?BC?2?1)a

图(3)延长AO交BC于E,因为OA?OB?OC 所以,OE?BC,BE?CE?a

2,

在Rt?OBE中,?BOE?30?,设OE?x,OB=2x 所以,x2?(a)2?(2x)2,

所以,x?

2,所以,OB?,

图(3

)所示方案的线路总长为OA?OB?OC?3OB?

1)a< 2a,所以,图(3)所示方案最好.

【说明】本题是一道方案设计型开放题,首先要设计出不同的方案,再通过计算来确定哪个方案最好,问题的难点是正确的设计出三种不同的方案.

例7.将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10。(1)如图①,在OA上取一点E,将?EOC沿EC折叠,使O点落在AB边上的D点,求E点的坐标;(2)如图②,在OA、OC边上选取适当的点E?、F,将?E?OF沿E?F折叠,使O点落在AB边上的D?点,过D?作D?G//y轴,交E?F于T点,交OC于G点,求证:TG?AE?(.3)在(2)的条件下,设T(x,y),①探求:y与x之间的函数关系式;②指出自变量x的取值范围.(4)如图③,如果将矩形OABC变为平行四边形OA?B?C?,使OC??10,OC?边上的高等于6,其他条件均不变,探求:这时T?(x,y)的坐标y与x之间是否仍然满足(3)中所得的函数关系式?若满足,请说明理由;若不满足,写出你认为正确的函数关系式.

【解】(1)方法1:设OE=m

?

或E(0,m),则AE?6?m,CD?10,由勾股定理得BD?8,则AD?2,在?ADE中,由勾股定理得(6?m)?2?m解得m?2221010,所以E(0,). 33

方法2:设OE?m或E(0,m),则AE?6?m,CD?10,由勾股定理得BD?8,则AD?2,由?EDC??EAD?90?,得?AED??CDB,所以?ADE∽?BCD,故6?m21010?,解得m?,所以E(0,). 8333

(2)连结OD?交E?F于P,由折叠可知E?F垂直平分OD?,即OP?PD?,由OE?//D?G,所以得出OE??D?T,所以AE??TG.

(3)①连结OT,由(2)可得OT?D?T,由勾股定理可得,x?y?(6?y),整理,222

12x?3。②结合(1)可得AD??OG?2时,AD?最大,即x最大,此时G点12

与F点重合,四边形AOFD?为正方形,所以x最大为6,即x≤6,所以, 2≤x≤6.

(4)y与x之间仍然满足(3)中所得函数关系式,理由如下:连结OT?,仍然可得得y??

(3)中所得的函数关系式仍然成立. OT??D??T?,即x2?y2?(6?y)2,所以,

【说明】这是一道中考压轴题,综合应用了直角三角形(或相似三角形)、四边形、方程、函数等知识,突出了数形结合思想.

例8 已知△ABC中,∠ACB=90o,CD⊥AB于D, AD∶BD=2∶3且CD=6.

求(1)AB;(2)AC.

【分析】设AD=2k,BD=3k.根据直角三角形和它斜边上的A

高,可知△ABC∽△ACD∽△CBD.通过相似三角形对应边

成比例求出其中k的大小;但是如果根据用射影定理,那么就可以直接计算出k的大小.

解:设AD=2k,BD=3k(k >0).

∵∠ACB=90o, CD⊥AB.∴CD2=AD?BD, ∴62=2k?3k,∴k=6.

∴AB=56.

又∵AC2=AD?AB,∴AC =2.

【说明】解题的方法可以不止一种,本题采用了补充的射影定理来解,其中通过设k法 将两线段的比转化成两线段的长2k和3k,建立关于k的等式.在含有比例的解题中设k法是常用的解题方法之一.

例9 已知△ABC中,∠ACB=90o,CH⊥AB,HE⊥BC,HF⊥AC.

求证:(1)△HEF ≌△EHC;(2)△HEF∽△HBC. 【分析】从已知条件中可以获得四边形CEHF是矩

形,要证明三角形全等要收集到三个条件,有公共

边EH,根据矩形的性质可知EF=CH,HF=EC. A

要证明三角形相似,从条件中得∠FHE=∠CHB=90o,由全等三角形可知,∠HEF=∠HCB,这样就可以证明两个三角形相似. 【证明】∵HE⊥BC,HF⊥AC,

∴∠CEH =∠CFH=90o.又∵∠ACB=90o,∴四边形CEHF是矩形. ∴EF=CH,HF=EC,∠FHE=90o. 又∵HE=EH,

∴△HFE ≌△EHC.∴∠HEF=∠HCB. ∵∠FHE=∠CHB=90o, ∴△HEF∽△HBC.

【说明】在这一题的分析过程中,走“两头凑”比较快捷,从已知出发,发现有用的信息,从结论出发,寻找解决问题需要的条件.解题中还要注意上下两小题的“台阶”关系.培养学生良好的思维习惯.

2

例10 一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m,面积为1.5m,工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形,请两位同学进行设计加工方案,甲设计方案如图(1),乙设计的方案如图(2) . 你认为那位同学设计的方案较好?试说明理由.(加工损耗忽略,计算结果可保留分数)

【分析】方案(1),设正方形的边长为x m,通过相似三角形对应边成比例建立方程,求出边长.

方案(2), 设正方形的边长为xm,通过相似三角形对应高的比等于相似比建立方程, 求出边长.

【解】方案(1):有题意可知, DE∥BA, 得△CDE∽△CBA.∴

x2?x6

?,x?.; 1.527

D B

A

方案(2):作BH⊥AC于H. DE∥AC,

得△BDE∽△BAC.

P

x1.2?x30630

.∵??,x?,

2.51.237737

∴如图(1)加工出的正方形面积大.

综上所得,甲同学设计的方案较好.

【说明】利用相似三角形的性质解决实际问题,让学生感受生活中的数学.在解决几何中相关的一些计算问题时往往可以转化方程来讨论.当然在教学中可将问题改成:请你给出设计方案,并加于说明.” 这样更突出了问题的探究性,让学生自主探究也是新课标所倡导的.

F (1)

(2)

训练达标

一、选择题

1.(2004.青海)如图,观察下列图形,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是

( ).

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.下列图形中既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( ).

A.等腰三角形 B.正方形 C.角 D.直角三角形

3.下列命题中正确的是( ).

A.两个全等的三角形是中心对称的

B.对角线互相平分的四边形是中心对称图形

C.对角线互相垂直的四边形是中心对称图形

D.如果两个三角形的对应点连线都经过一点,那么这两个三角形成中心对称

4.如图,D、E、F是△ABC三边的中点,且DE∥AB,DF∥AC,EF ∥

BC, 平移△AEF可以得到的三角形是( )

A.△BDF B.△DEF C.△CDE D.△BDF和△CDE

5.一个图形经过平移变换后,有以下几种说法,其中不适当的说F法是( )

A.平移后,图形的形状和大小都不改变

B.平移后的图形与原图形的对应线段、对应角都相等 BD

C.平移后的图形形状不变,但大小可以改变

D.利用基本图形的平移可以设计美丽的图案

6.以下条件为依据,能判定△ABC和△A1B2C3相似的一组是( )

(A) ∠A=45°,AB=12cm,AC=15cm, ∠A′=45°,A′B′=16cm,A′C′=25cm

(B) AB=12cm,BC=15cm,AC=24cm, A′B′=20cm,B′C′=25cm,A′C′=32cm

(C)AB=2cm,BC=15cm, ∠B=36°, A′B′=4cm,B′C′=5cm, ∠A′=36°

(D) ∠A=68°,∠B=40°∠A′=68°,∠B′=40°

7.如图,△ABC中DE,DF,EG分别平行于BC,AC,AB,

图中与△ADG相似的三角形共有( )个

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 B

8.如图,已知D,E分别在△ABC的AB,AC边上,△ABC与△ADE A

则下列各式成立的是( )

ADAEADDE(A) = = BDCEABBCD

EAECADGEFCAD

C (C) AD·DE=AE·EC (D) AB·AD=AE·AC B

9.如图,已知△ABC与△ADE中,则∠C=∠E, ∠DAB=∠CAE

,则下列各式成立的个数是( )

AFADDEAEADAB∠D=∠B ,= = = ACABBCACAEAC

(A) 1个 (B) 2 个 (C)3个 (D)4个

10. (绵阳市2007)当身边没有量角器时,怎样

得到一些特定度数的角呢?动手操作有

时可以解“燃眉之急”.如图,已知矩形

ABCD,我们按如下步骤操作可以得到一

个特定的角:(1)以点A所在直线为折痕,B A ECBD C 折叠纸片,使点B落在AD上,折痕与BC交于E;(2)将纸片展平后,再一次折叠纸片,以E所在直线为折痕,使点A落在BC上,折痕EF交AD于F.则∠AFE =

A.60? B.67.5? C.72? D.75?

11.(乐山市2007)如图(5),把矩形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好落在AD边的P点处,若∠FPH?90,PF?8,PH?6,则矩形ABCD的边BC长为( )

A.20 B.22 C.24 D.30

二、填空题 图(5) 1.(2004.上海)如图1,边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30 °后得到正方形EFCG,EF交AD于点H,那么DH的长为________. ?

E

AH

D

BCDOGECACBD

(1) (2) (3)

2.(2004.太原市)已知2:如图,Rt△ABC中,∠C=90°, 沿过点B 的一条直线DE折叠△ABC,使点C恰好落在AB边的中点D处,则∠A的度数等于_______.

3.(2004.玉林市)将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图3的位置, 若∠AOD=110°,则∠BOC=_______.

4.(2004.上海)正六边形是轴对称图形,它有________条对称轴.

5.成中心对称的两个图形,对称点的连线都经过_____,并且被________平分.

6.线段的对称中心是_____,直线的对称中心是________.

27.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD, 对角线BD⊥DC,则△ABD∽ , BD= .

8.如图,∠1=∠2,AB·AC=AD·AE,则∠C= .

9.如图△ABC中,DE∥BC,AD∶DB=3∶2, 则△ADE与△ABC的面积比为 .

10.如图,△ABC内接正方形DEFG,AM⊥BC于M, 交DG于H,若AH长4cm,正方 形边长6cm,则BC= .

AA DA

12 DHG

BCD BC

BEMFC E

11.(资阳市2007)如图4,对面积为1的△ABC逐次进行以下操

作:第一次操作,分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1,

使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,顺次连接A1、B1、C1,

得到△A1B1C1,记其面积为S1;第二次操作,分别延长A1B1、

4

B1C1、C1A1至点A2、B2、C2,使得A2B1=2A1B1,B2C1=2B1C1,C2A1=2C1A1,顺次连接A2、B2、C2,得到△A2B2C2,记其面积为S2;?;按此规律继续下去,可得到△A5B5C5,则其面积S5=_____________ .

三、解答题

1.(2004.河北)已知:如图,点E是正方形ABCD的边CD上一点,点F是CB 延长线上一点,且EA⊥AF.

求证:DE=BF.

AD

E

F

2.如图,已知△ABC,画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形. BC

A

C

B

3.已知,如图△ABC,画出△ABC关于点B对称的中心对称图形.

A

C

B

4.如图,已知△ABC中CE⊥AB于E,BF⊥AC于F, A求证:△AFE∽△ABC

E F

B

5.如图,平行四边形ABCD中,E是CB延长线上一点,

DE交AB于F, 求证:AD·AB=AF·CE

D C

BAF

E

6如图,M为AB中点,AB∥CD,延长NC交BD延长线于E,延长MD交AC延长线于F,求证:

EFEF∥AB

CD

ABM

7如图,在正方形ABCD中,M为AB上一点,N为BC上一点,并且BM=BN,BP⊥MC于P 求

A证:DP⊥NP D

MP

CBN

8(资阳市2007)如图8-1,已知P为正方形ABCD的对角

A线AC上一点(不与A、C重合),PE⊥BC于点E,PF⊥

CD于点F. FE(1) 求证:BP=DP;

B(2) 如图8-2,若四边形PECF绕点C按逆时针方向CP旋转,在旋转过程中是否总有BP=DP?若是,请给予证

图8-1 图8-2 明;若不是,请用反例加以说明;

(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点,分别与四边形

PECF的两个顶点连结,使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等,并证明你的结论 .

9.(乐山市2007)如图(13),在矩形ABCD中,AB?4,AD?10.直角尺的直角顶点P在

,一直角边经过点C,另一直角边AB交于点E.我AD上滑动时(点P与A,D不重合)

们知道,结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立.

(1)当∠CPD?30时,求AE的长;

(2)是否存在这样的点P,使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍?若存在,求出DP

的长;若不存在,请说明理由.

图(13)

10.(德阳市2007)如图,把一副三角板如图甲放置,其中∠ACB?∠DEC?90,??∠A?45?,∠D?30?,斜边AB?6cm,DC?7cm,把三角板DCE绕点C顺时针旋转15得到△D?CE?如图乙.这时AB与CD?相交于点O,D?E?与AB相交于点F. ?

(1)求∠OFE?的度数;

(2)求线段AD?的长.

(3)若把三角形D?CE?绕着点C顺时针再旋转30得△D??CE??,这时点B在△D??CE??的

D 内部、外部、还是边上?证明你的判断. D? AA ?

C E B(甲) C(乙) E?

11.(成都2006)17、如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形,

我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”,图中的△ABC就是格点三角形。在建立平面直角坐标系后,点B的坐标为(?1,?1)。

(1) 把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1,画出△A1B1C1的图形并写

出点B1的坐标;

(2) 把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C,画出△

A2B2C的图形并写出点B2的坐标;

(3) 把△ABC以点A为位似中心放大,使放大前后对应边长的比为1:2,

画出△AB3C3

9、图形与证明复习研究

杨雪松 珙县孝儿职中

单元复习目标

了解命题、定义、公理、定理的含义,会区分命题的条件和结论;了解证明的含义,理解证明的必要性,初步掌握综合法证明的书写格式,能灵活地运用所学的公理、定理进行逻辑推理,初步掌握演绎推理的方法;理解逆命题、逆定理的概念。体会反证法的含义;掌握并能运用教材中的公理证明相关命题,能运用综合法证明有关平行线、三角形、四边形的性质及判定命题,证明有关于三角形全等的命题,证明与圆有关的简单命题。

新教材索引

华师大版教材: 八年级(下)第19章 全等三角形,九年级(下)第29章 几何的回顾。

【知识回顾】

1、知识脉络

2、基础知识

全等三角形的判定定理:SSS、SAS、ASA、AAS、HL. (若两个三角形的三边分别对应相等,则两个三角形全等;若两个三角形的两边及其夹角分别对应相等,则两个三角形全等;若两个三角形的两角及其夹边分别对应相等,则两个三角形全等;若两个三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等,则两个三角形全等;如果两个三角形的斜边及其一条直角边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等)

命题、定理、公理.

了解命题、定义、公理的含义,会区分命题的题设(条件)和结论.

结合具体的例子,了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,并知道原命题成立逆命题不一定成立.

通过具体的例子理解反例的作用,知道利用反例可以证明一个命题是错误的.

掌握用综合法证明的格式,体会证明的过程要步步有据

五种基本作图及简单的作图题.

基本作图:画一条线段等与已知线段、画一个角等于已知角、画角的平分线、画线段的垂直平分线、画一条线段的垂线.

利用基本作图画三角形:已知三边画三角形;已知两边及其夹角画三角形;已知两角及其夹边画三角形;已知底边及其底边上的高画等腰三角形.

过一点、两点和不在同一直线上三点作圆.

了解尺规作图的步骤,对于尺规作图题,会写已知、求作和作法.(不要求证明)

3、典型例题

例1 两个全等的含30o,60o角的三角板ADE和ABC如图所示放置,E,A,C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连结ME,MC.试判断△EMC的形状,并说明理由.

【分析】判断一个三角形的形状,可以结合所给出的图形作出假设,或许是等腰三角形.这样就可以转化为另一个问题:尝试去证明EM= MC,要证线段相等可以寻找全等三角形来解决,然而图中没有形状大小一样的两个

三角形.这时思考的问题就可以转化为这样一个新问题:如何构造一对全等三角形?根据已知点M是直角三角

形斜边的中点,产生联想:直角三角形斜边上的中点是

斜边的一半,得:MD= MB= MA.连结M A后,可以证明△MDE≌△MAC.

【答】:△EMC的形状是等腰直角三角形.

【证明】连接AM,有题意得,

DE = AC,AD=AB,∠DAE+∠BAC=90o. ∴∠DAB=90o.

∴△DAB为等腰直角三角形.

又∵MD= MB,

∴M A= MD= MB,AM⊥DB,∠MAD=∠M AB=45o.

∴∠MDE=∠MAC=105o, ∠DMA=90o.

∴△MDE≌△MAC.

∴∠DME=∠AMC,ME=MC.

又∠DME+∠EMA=90o,

∴∠AMC+∠EMA=90o.

∴MC⊥EM.

∴△EMC的形状是等腰直角三角形.

【说明】构造全等三角形是解决这个问题的关键,那么构造全等又如何进行的呢?对条件的充分认识和对知识点的联想可以找到添加辅助线的途径.构造过程中要不断地转化问题或转化思维的角度.会转化,善于转化,更能体现思维的灵活性.在问题中创设三角板为情境也是考题的一个热点.

例2 如图,已知∠MON=90o,等边三角形ABC的一个顶点A是射线OM上的一定点,顶点B与点O重合,顶点C在∠MON内部.

(1)当顶点B在射线ON上移动到B1时,连结AB1为一边的等边三角形AB1C1(保留作图

痕迹,不写作法和证明);

(2)设AB1与OC交于点Q,AC的延长线与B1C1交于点D.求证:AC?AD?AB1?AQ;

(3)连结CC1,试猜想∠ACC1为多少度?并证明你的猜想.

【分析】用尺规作图画出符合题意的等边三角形AB1C1是对问题(2)研究的关键.分别以A、B1两点为圆心,AB1长为半径作弧,两弧的交点即为点C1.然后把等积式改写比例式,找出所需的两个相似三角形.

【解】 (1)如图所示;

【证明】(2)∵△AOC与△AB1C1等边三角形,

∴∠ACB=∠AB1D=60o.

又∵∠CAQ=∠B1AD, ∴△ACQ∽△AB1D; ?ACAQ?,AB1AD 即AC?AD?AQ?AB1.

1 (3) 猜想∠ACC1=90o. 证明:∵△AOC和△AB1C1为正三角形,AO=AC,AB1=AC1,

∴∠OAC=∠C1AB1,

∴∠OAC-∠CAQ=∠C1AB1-∠CAQ,∴∠OAB1=∠CAC1 .∴△AO B1 ≌ △AC C1. ∴∠ACC1=∠AOB1=90o.

【说明】问题中要求学生画出正△AB1C1,是对学生理解能力和动手能力的考验,教材中安排的五种基本作图,教学中应当给予一定的重视.同时通过比例线段确认要证的相似三角形是常用方法之一. 问题(3) 是一道结论开放的问题,根据对已知条件的分析,对图形的观察,猜想直角,再根据所推断出的目标,去证明猜想是正确的.这样既培养学生的合情推理能力,也给了学生一个探索的平台.

例3 (1)已知如图①,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=60o. 求证:①AC=BD,②∠APB=60o.

(2) 如图②,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD, ∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为______________;∠APB的大小为_____________.

(3) 如图③,在△AOB和△COD中,OA=kOB,OC=kOD(k>1), ∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为_________________;∠APB的大小为_____________.

D D

C

AB ③ ① ②

【分析】要证AC=BD,在图①可以找AC 与BD所在的两个三角形全等。即证明△AOC≌△BOD可以解决.求∠APB的度数可以通过三角形内角和转化成∠AOB的度数. (2)、 (3)题的答案,可以“复制”(1)题中的解题思路来完成.

【证明】∵△AOB和△COD为正三角形,

∴OA=OB, OD=OC,∠AOB=60o,∠COD=60o.

∵∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,∴∠AOC=∠BOD.

∴△AOC≌△BOD ,∴AC=BD.∴∠OAC=∠OBD,

∴∠APB=∠AOB= 60o.

(2)AC与BD间的等量关系式为AC=BD;∠APB的大小为α.

(3)AC与BD间的等量关系式为AC=kBD;∠APB的大小为180o-α.

【说明】三个问题的设计是一个逐步深入的过程,有特殊到一般的过程,图形的展示是一个动态过程,但在变化中却蕴含着不变的事项,例如解决问题时都用到了△AOC和△BOD,都用到了三角形内角和定理来决定∠APB与α的大小关系. (2) 、(3)小题的解决思路可从题(1)中吸取.这也是这样一类变式题常用的思维方法.

训练达标:

1.下列命题(1)等边三角形也是等腰三角形;(2)三角形的外角等于两个内角的和;(3)三角形中最大的内角不能小于60°;(4)锐角三角形中,任意两内角之和必大于90°,其中错误的个数是( )

(A)0 个 (B)1个 (C)2个 (D)3个

2.如图ΔABC中,D,E分别为BC,AB,AC上的点BD=BE,CD=CF,设∠A=α ∠EDF=β则下列关系中正确的是( )

(A)2α+β=180°(B)α+2β=180°(C)α+β=90°(D)α+β=180°

3.满足下列用P种条件时,能够判定ΔABC≌ΔDEF( )

(A)AB=DE,BC=EF, ∠A=∠E (B)AB=DE,BC=EF ∠A=∠D

(C) ∠A=∠E,AB=DF, ∠B=∠D (D) ∠A=∠D,AB=DE, ∠B=∠E

4.如图,平行四边形ABCD对角线AC,BD交于O,过O画直线EF交AD于E,交BC于F,,则图中全等三角形共有( )

(A)7对 (B)6对 (C)5对 (D)4对

5.两个三角形有以下三对元素对应相等,

则不能判定全等的是( )

(A)一边和任意两个角 (B)两边和他们的夹角

(C)两个角和他们一角的对边 (D)三边对值相等

6.如图,平行四边形ABCD中,E是CA延长线上的点,

F是AC延长线上的点,且AE=CF,求证:∠E=∠F

7.(乐山市2007)如图(11),在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AB上,且BD?AE,AD与CE交于点F.

(1)求证:AD?CE;

(2)求∠DFC的度数.

8.(内江2007年)如图(8),△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,A,C,D三点在同一直线上,连结BD,AE,并延长AE交BD于F.

(1)求证:△ACE≌△BCD.

(2)直线AE与BD互相垂直吗?请证明你的结论.

图(8)

9.(攀枝花 2006)如图,点E在AB上,AC=AD,

请你添加一个条件,使图中存在全等三角形,并给

予证明。

所添条件为 ,

你得到的一对全等三角形是? ??

证明:

10(南充市2006)已知:如图,OA平分?BAC,?1?? 2.

求证:△ABC是等腰三角形.

15题

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