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2008数学一真题试题

发布时间:2013-09-17 19:37:54  

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)设函数f(x)?(A)0 (C)2

?

x2

ln(2?t)dt则f?(x)的零点个数

(B)1 (D)3

(2)函数f(x,y)?arctan(A)i (C)j

x

在点(0,1)处的梯度等于 y

(B)-i (D)?j

(3)在下列微分方程中,以y?C1ex?C2cos2x?C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是

(A)y????y???4y??4y?0 (C)y????y???4y??4y?0

(B)y????y???4y??4y?0 (D)y????y???4y??4y?0

(4)设函数f(x)在(??,??)内单调有界,?xn?为数列,下列命题正确的是 (A)若?xn?收敛,则?f(xn)?收敛 (C)若?f(xn)?收敛,则?xn?收敛

(B)若?xn?单调,则?f(xn)?收敛 (D)若?f(xn)?单调,则?xn?收敛

(5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵. 若A3?0,则

(A)E?A不可逆,E?A不可逆 (B)E?A不可逆,E?A可逆 (C)E?A可逆,E?A可逆 (D)E?A可逆,E?A不可逆 (6)设A为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程

?x???

(x,y,z)A?y??1在正交变换下的标准方程的图形如

?z???

图,则A的正特征值个数为

(A)0 (B)1 (C)2

(D)3

(7)设随机变量X,Y独立同分布且X分布函数为F?x?,则Z?max?X,Y?分布函数为

- 1 -

(A)F

2

?x?

2

(B) F?x?F?y?

(D) ??1?F?x?????1?F?y???

(C) 1???1?F?x???

(8)设随机变量X~N?0,1?,Y~N?1,4?且相关系数?XY?1,则 (A)P?Y??2X?1??1 (C)P?Y??2X?1??1

(B)P?Y?2X?1??1 (D)P?Y?2X?1??1

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)微分方程xy??y?0满足条件y?1??1的解是y?. (10)曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为. (11)已知幂级数

?an?x?2?在x?0处收敛,在x??4处发散,则幂级数

n?0

?

n

?an?x?3?的收敛域为?????????????????.

n?0

?

n

(12)设曲

2

?

z?的上侧,则

??xydydz?xdzdx?xdxdy?.

?

(13)设A为2阶矩阵,α1,α2为线性无关的2维列向量,Aα1?0,Aα2?2α1?α2,则A的非零特征值为?????????????????.

(14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则PX?EX

?

2

??.

三、解答题(15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分10分)

sinx?sin?sinx??sinx?. 求极限lim4x?0x

- 2 -

(16)(本题满分10分)

计算曲线积分?Lsin2xdx?2?x2?1?ydy,其中L是曲线y?sinx上从点?0,0?到点

??,0?的一段.

(17)(本题满分10分)

?x2?y2?2z2?0已知曲线C:?,求曲线C距离XOY面最远的点和最近的点. xy3z5????

(18)(本题满分10分)

设f?x?是连续函数,

(1)利用定义证明函数F?x???f?t?dt可导,且F??x??f?x?. 0x

(2)当f?x?是以2为周期的周期函数时,证明函数G?x??2

以2为周期的周期函数.

- 3 - ?x0f(t)dt?x?f(t)dt也是02

(19)(本题满分10分)

f?x??1?x2(0?x??),用余弦级数展开,并求?n?1???1?n2n?1的和.

(20)(本题满分11分)

A?ααT?ββT,αT为α的转置,βT为β的转置.证明:

(1)r(A)?2.

(2)若α,β线性相关,则r(A)?2.

- 4 -

(21)(本题满分11分)

?2a1??2??a2a?设矩阵A??,现矩阵A满足方程AX?B,其中???1???22aa??n?n

X??x1,?,xn?,B??1,0,?,0?,

(1)求证A??n?1?a. nT

(2)a为何值,方程组有唯一解,求x1.

(3)a为何值,方程组有无穷多解,求通解.

(22)(本题满分11分)

设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为P?X?i??

度为fY?y???1?i??1,0,1?,Y的概率密3?10?y?1,记Z?X?Y, ?0其它

1?X?0?. 2?(1)求P?Z??

?

(2)求Z的概率密度.

- 5 -

(23)(本题满分11分)

设X1,X2,?,Xn是总体为N(?,?)的简单随机样本. 2

1n1n12222记??Xi,S?,()X?T??S ?ini?1n?1i?1n

(1)证明T是?的无偏估计量.

(2)当??0,??1时 ,求DT.

?2

- 6 -

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