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2009数学一真题试题

发布时间:2013-09-17 19:37:54  

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)当x?0时,f?x??x?sinax与g?x??xln?1?bx?等价无穷小,则 2

(A)a?1,b??1 6

1(C)a??1,b?? 6 (B)a?1,b? 1 61 6 (D)a??1,b?

(2)如图,正方形

划分为??x,y?x?1,y?1?被其对角线四

Dk个区1?k?4域Dk?k?1,2,3,4?,Ik???ycosxdxdy,则max?Ik??

(A)I1

(B)I2

(C)I3

(D)I4

(3)设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为

则函数F?x?? ?

f?t?dt0x

‐?1?‐?

(A)

(B)

(C)

(D)

n??

?

(4)设有两个数列?an?,?bn?,若liman?0,则

(A)当

?b

n?1?

?

n

收敛时,

?ab

n?1?

?

nn

收敛. (B)当

?b

n?1?

?

n

发散时,

?ab

n?1?

?

nn

发散.

(C)当

?b

n?1

n

收敛时,

?ab

n?1

22nn

收敛. (D)当

?b

n?1

n

发散时,

?ab

n?1

22nn

发散.

(5)设α1,α2,α3是3维向量空间R的一组基,则由基α1,

3

11

α2,α3到基23

α1?α2,α2?α3,α3?α1的过渡矩阵为

?101?

??(A)220

???033????1?2?1(C)???2?1???2

14141?4

?120???

(B)023 ???103????1?2?1(D)??4?1????6

?121416

1?2??1??

4??1??6?

1???6?1?

?6?1??6?

‐?2?‐?

*

*

(6)设A,B均为2阶矩阵,A,B分别为A,B的伴随矩阵,若A?2,B?3,则分块矩

?OA?阵??的伴随矩阵为

BO??

?O3B*?(A)?*?

O??2A?O3A*?

(C)?*?

2BO??

?O

(B)?*

?3A?O(D)?*

?3B

2B*?

? O?2A*?

? O?

(7)设随机变量X的分布函数为F?x??0.3??x??0.7??态分布函数,则EX?

(A)0 (C)0.7

?x?1?

?,其中??x?为标准正?2?

(B)0.3 (D)1

(8)设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布N?0,1?,Y的概率分布为

P?Y?0??P?Y?1??

1

,记FZ?z?为随机变量Z?XY的分布函数,则函数FZ?z?的间断2

点个数为

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)

?2z

?(9)设函数f?u,v?具有二阶连续偏导数,z?f?x,xy?,则

?x?y

(10)若二阶常系数线性齐次微分方程y???ay??by?0的通解为y??C1?C2x?e,则非

x

齐次方程y???ay??by?x满足条件y?0??2,y??0??0的解为y? .

(11)

已知曲线L:y?x(12)设??

2

?0?x?,则?xds?.

L

??x,y,z?x

2

?y2?z2?1,则???z2dxdydz??

T

T

T

?

(13)若3维列向量α,β满足αβ?2,其中α为α的转置,则矩阵βα的非零特征值为 .

(14)设X1,X2,?,Xm为来自二项分布总体B?n,p?的简单随机样本,X和S分别为样

2

本均值和样本方差.若X?kS为np的无偏估计量,则k?22

‐?3?‐?

三、解答题(15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分9分)

求二元函数f(x,y)?x

(16)(本题满分9分)

设an为曲线y?x

??2?2?y??ylny的极值. 2n与y?xn?1?n?1,2,.....?所围成区域的面积,记

S1??an,S2??a2n?1,求S1与S2的值.

n?1n?1

(17)(本题满分11分)

x2y2

椭球面S1是椭圆??1绕x轴旋转而成,圆锥面S2是过点?4,0?且与椭圆43

x2y2

??1相切的直线绕x轴旋转而成. 43

(1)求S1及S2的方程.

(2)求S1与S2之间的立体体积.

‐?4?‐?

(18)(本题满分11分)

(1)证明拉格朗日中值定理:若函数f?x?在?a,b?上连续,在(a,b)可导,则存在???a,b?,使得f?b??f?a??f?????b?a?.

f??x??A,则(2)证明:若函数f?x?在x?0处连续,在?0,?????0?内可导,且lim?x?0

f???0?存在,且f???0??A.

(19)(本题满分10分)

计算曲面积分I?

?

外侧.

???xdydz?ydzdx?zdxdy?x2?y?z2322?,其中?是曲面2x?2y?z?4的222

‐?5?‐?

(20)(本题满分11分)

?1?1?1???1?????1设A??11,ξ1?1 ?????0?4?2???2?????

(1)求满足Aξ2?ξ1的ξ2.A2ξ3?ξ1的所有向量ξ2,ξ3.

(2)对(1)中的任意向量ξ2,ξ3证明ξ1,ξ2,ξ3无关.

(21)(本题满分11分)

设二次型f?x1,x2,x3??ax1?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3. 222

(1)求二次型f的矩阵的所有特征值;

2(2)若二次型f的规范形为y12?y2,求a的值.

(22)(本题满分11分)

袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.

(1)求pX?1Z?0.

(2)求二维随机变量?X,Y?概率分布.

‐?6?‐???

(23)(本题满分11 分)

??2xe??x,x?0设总体X的概率密度为f(x)??,其中参数?(??0)未

?0,其他

知,X1,X2,…Xn是来自总体X的简单随机样本.

(1)求参数?的矩估计量.

(2)求参数?的最大似然估计量.

???

‐?7?‐?

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