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期末总复习

发布时间:2013-09-20 16:01:46  

X2, …, Xn 是样本,X 及S2是样本均值和样本方差。则有 ?2 E( S 2 ) ? ? 2 E( X ) ? ? D( X ) ? n N ( ?1 ,? 12 ) 定理2:设X1, X2, …, Xn与Y1, Y2, …, Yn是来自正态总体 2 2 和 N ( ?2 ,? 22 ) 的样本,且这两个样本相互独立,给定 X , Y 和 S1 S2 分别是这两个样本的均值和样本方差,则有
1) X ?? ~ N (0,1) ?/ n
2) X ?? ~ t ( n ? 1); S/ n

2 有关 S 及 X 的几个重要结论 定理1.设总体X 的均值为? ,方差为 2 ? ,取自总体X的X1,

3)
5)

( n ? 1) S 2

?

2

~ ? ( n ? 1);
2

2 S12 / S2 4) ~ F ( n1 ? 1, n2 ? 1); 2 2 ?1 /? 2

( X ? Y ) ? ( ?1 ? ?2 ) 1 1 SW ? n1 n2

~ t ( n1 ? n2 ? 2).
2 ( n1 ? 1) S12 ? ( n2 ? 1) S2 2 其中 S ? , S w ? SW . n1 ? n2 ? 2 2 W

1

N (0,52 )则P ? 1 ? X ? 1 ? 2? (0.6) ? 1 1. 设X 1 , X 2 ,? X 9 来自总体

?

?

2. 设 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 是取自正态总体 N (0,1) 的简单随机 1 1 2 Y 样本,当b= 时, ? ( X 1 ? 2 X 2 )2 ? b( 3 X 3 ? 4 X 4 )2 服从 ? 5 25 分布,自由度为 2 ;
5.设总体 X ~ N ( ? ,? 2 ), X 1 , X 2 ,? X n是取自正态总体的简 X n?1 ? X ( X n ?1 ? X )2 n 1 单随机样本, ~ N (0, (1 ? )) ~ F (1, n ? 1)
?
n

S2

n?1

21

X 2. 设总体X~B(1, p), 1 , X 2 ,? X n (n ? 2) 为来自总体的 简单随机样本,则 ( X 1 , X 2 ,? X n )的分布律为
P{ X 1 ? x1 , X 2 ? x2 ,?, X n ? xn } ? p i ?1 p ? xi
n

n?

? xi
i ?1

n

E ( S 2 ) ? p(1 ? p)

3. 设 X 1 , X 2 ,? X n (n ? 2)为来自正态总体N ( ? ,? 2 )的简单 ? ?2 随机样本,则 ? 的矩估计量 ? 为 X , 2 的矩估计量 ? ? 1 n 为 ? ( X i ? X )2 。
n
i ?1

4. 设总体X的概率分布为 P ? ? 1 ? 2? ,其中 ? 是未知参数,对总体X的如下样本值2,1,3,2,1;则 ? 的最 2 大似然估计值为 。
3
11

X

1

2

3

X X 5. 设总体X服从参数为 ? 的泊松分布, 1 , X 2 ,?? n 是 简单随机样本,均值为 X,方差为S 2 ,则 D( X ) ? n ? 又已知 ? ? a X ? (2 ? 3a ) S 2为 ? 的无偏估计量,则 a ? 1 。
2

6. 设总体 X 服从参数为? 的泊松分布则E ( X ) ? E ( S 2 ) ? ? ? 7. 已知随机变量 T ~ t ( n) ,则 T 2 ~F (1, n) 。
1 8. 设随机变量 F ~ F (8,10) ,则 ~ F (10,8)。 F

5. 设矿石中某种元素含量服从正态分布,但均值和 X 方差和均未知。现测定容量为16的样本, , S 2 为样本均 值和样本方差,试在显著性水平 ? 下检验 H 0 : ? ? 0.49 时 所用的检验统计量为 t ? X ? 0.49 。
S 2 16

2

9. 设总体 X 服从 N ( ? ,? 2 ) ,? 2 已知,则样本容量为 n的总体期望 ? 的置信水平为 1 ? ? 的置信区间为
? ? ? ? z? 2 , X ? z? 2 ? ?X ? n n ? ?

N ( ? ,? 2 , ? 2 未知,则样本容量 ) 10. 设总体 X 服从 为n的总体期望 ?

的置信水平为 1 ? ? 的置信区间为 ) 11. 设总体 X 服从 N ( ? ,? , ? ,?未知,则样本容量 为n的总体方差 ? 2 的置信水平为 1 ? ? 的置信区间为
? ? 2 ( n ? 1) S 2 ? ? ( n ? 1) S ? ? 2 ( n ? 1) , ? 2 ( n ? 1) ? ? ? ? 1 ?? 2 ? 2 ?

s s ? ? t? 2 ( n ? 1), X ? t? 2 ( n ? 1) ? ?X ? n n 2 ? ? 2

3

12.已知某厂生产的灯泡寿命服从N ( ? ,? 2 ),其中 ? 2 和? 未知,现随机抽取16只进行测试,测得它们的平均 x 寿命为: ? 1800 小时,样本标准差为:s ? 400 。
2 2 t0.01 (15) ? 2.60, t0.005 (15) ? 2.95 ? 0.05 (15) ? 24.996 ? 0.025 (15) ? 27.488

1. 在显著水平? ? 0.01下,能否认为这批灯泡的平均 寿命为2000小时? 解:由题意提出假设: H 0 : ? ? 2000, H1 : ? ? 2000, X ? 2000 检验统计量: t? 拒绝域:
n ? 16, s ? 400, x ? 1800
S2 n

x ? 2000 | t |? 2 ? t0.005 (15) ? 2.95 s n

样本计算值为

| t |? 2 ? 2.95

4

不在拒绝域内,接受原假设,认为这批灯泡的平均 寿命为2000小时。

2. 在显著水平? ? 0.05下,检验假设
H 0 : ? 2 ? 3002 , H1 : ? 2 ? 3002

解:由题意要检验假设: H 0 2: ? 2 ? 3002 , H1 : ? 2 ? 3002 ( n ? 1) S 2 ? ? 检验统计量: 2 拒绝域: 样本计算值为
300 ( n ? 1) s 2 2 ?2 ? ? ? 0.05 (15) ? 24.996 3002

n ? 16, s ? 400, x ? 1800
( n ? 1) s 2 (16 ? 1)4002 ?2 ? ? ? 1.778 ? 24.996 2 2 300 300

不在拒绝域内,接受原假设,认为这批灯泡的标准 差不超过300。
5

二、计算与证明题(共40分) 1. (8分)设总体X的概率分布为 P ? 2? (1 ? ? ) (1 ? ? ) 其中? (0 ? ? ? 1) 是未知参数,利用总体X的如下样本值1,
2 2

X

1

2

3

2,1,1;

(1)求 ? 的矩估计值; 解:?1 ? E ( X ) ? 1 ? ? 2 ? 2 ? 2? (1 ? ? ) ? 3 ? (1 ? ? )2 ? 3 ? 2? 3 ? ?1 ? ? 3 ? X ? 3 ? 1.25 ? 0.875 ?? 解之得: 即 ? (2)求 ? 的最大似然估计值; 最大似然函数 L(? ) ? P?X1 ? 1?P?X 2 ? 2?P?X 3 ? 1?P?X 4 ? 1? 2 3 ? 2? 7 (1 ? ? ) ? (? ) 2? (1 ? ? ) ln L(? ) ? ln 2 ? 7 ln ? ? ln( 1 ? ? ) ??7 解之得: ? d ln L(? ) 7 1 ? ? ?0 8 d? ? 1?? 24
2
2 2

?(? ? 1) x? , 0 ? x ? 1 三、(10分)设总体X的概率密 f ( x;? ) ? ? 0 , 其它 ? 度函数为,其中未知参数 ? ? ?1 ,

而 X 1 , X 2 ,?, X n 是来自总体X的一个简单随机样本,求 ? 的矩估计量和最大似然估计量。
? ?2 1 ? 2 ?1 ? ? 1 ? 2X 解之得:? ? 将 ?1 ? A1 代入得矩估计量 ? X ?1 ?1 ? 1
L(? ) ? ?
i ?1

解: (1)矩估计量 ?? 1 ? ?1 ? ?1 ? E ( X ) ? ?? ? x f ( x;? ) ? ?0 x (? ? 1) x d x ? (2)最大似然估

计量 n
n

?(? ? 1)n ( x1 x2 ? xn )? , 0 ? xi ? 1 f ( xi ;? ) ? ? 0 , 其它 ?
i ?1

ln L(? ) ? n ln( ? ? 1) ? ? ? ln xi

n d ln L(? ) n ? ? ? ln xi d? ? ? 1 i ?1

解之得最大似 ?? ? ? n n ? 1 解之得 最大 然估计值为 ? ln xi 似然估计量为 6 i ?1

? ? ??

n
i

? ln X
i ?1

n

?1

四、(10分)设在正态总体 N ( ? ,? 2 ) 中抽取一容量为16的简 2 ? ,? 2 均未知,已知 单随机样本,样本方差为 S ,其中
? 02.01 (15) ? 30.6

1. 求P?S 2 ? 2 ? 2.04? 解: P?S 2 ? 2 ? 2.04? ? P?(16 ? 1) S 2 ? 2 ? 15 ? 2.04?
? 1 ? P 15 S 2 ? 2 ? 30.6 ? 1 ? 0.01 ? 0.99

?

?

? 2 已知,求 E ( S 2 ), D( S 2 ) 。 2. 若 解: E ( S 2 ) ? ? 2
? ( n ? 1) S 2 ? ? 15 S 2 ? ? ? D? 2 ? ? 30 D? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 4 2 D( S ) ? ? 15
152

?4

D( S 2 ) ? 30

7

X ~ N ( ? ,? 2 ), X 1 , X 2 ,? X 100 ,是来自总体X 三、(8分)设总体 的一个简单随机样本。

1. 写出 ( X 1 , X 2 ,?, X 100 ) 的联合概率密度函数; 解:
f ( x) ? 1 e 2? ?
( x ? ? )2 ? 2? 2

x? R

f ( x1 , x2 ,?, x100 ) ? ?
i ?1

100

? i ?1 1 2? 2 f ( xi ) ? e 50 100 ( 2? ) ?

? ( xi ? ? )2

100

2. 求样本方差 S 2 的方差。 解:由 即
16
?
( n ? 1) S 2

( n ? 1)2
4

?

2

~ ? 2 ( n ? 1)



D S 2 ? 2( n ? 1)

? ?

2? 2? 4 D ? 解之得:( S 2 ) ? n ? 1 99

? ( n ? 1) S 2 ? ? ? 2( n ? 1) D? ? ?2 ? ? ? 4


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