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第四单元 圆

发布时间:2013-12-08 09:32:46  

第四单元 圆

一、 认识圆

1、圆的定义:圆是由一条曲线围成的封闭图形。

2、圆心:将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。

一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。

3、半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。

把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。

4、直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。

直径是一个圆内最长的线段。

5、在同一个圆内,有无数条半径,有无数条直径,所有的半径都相等,所有的直径都相等。

6.在同一个圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的一半。 用字母表示为:d=2r或r=d÷2

7、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。要比较两圆的大小,就是比较两个圆的直径或半径。

8、正方形里最大的圆。两者联系:边长=直径;圆的面积=78.5%正方形的面积

画法:(1)画出正方形的两条对角线;(2)以对角线交点为圆心,以边长为直径画圆。

9、长方形里最大的圆。两者联系:宽=直径

画法:(1)画出长方形的两条对角线;(2)以对角线交点为圆心,以宽为直径画圆。

10、轴对称图形:

如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。 折痕所在的这条直线叫做对称轴。

11、圆是轴对称图形,有无数条对称轴,对称轴就是直径所在的直线。

12、长方形、正方形和圆都是对称图形,都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。

1

二、圆的周长

1、圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。

2、圆周率实验:

在圆形纸片上做个记号,与直尺0刻度对齐,在直尺上滚动一周,求出圆的周长。 发现一般规律,就是圆周长与它直径的比值是一个固定数(π)。

3.圆周率:任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率。

用字母π(pai) 表示。

(1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数。

圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时,一般取π ≈ 3.14。

(2)、在判断时,圆周长与它直径的比值是π倍,而不是3.14倍。

(3)、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。

4 C= πd

d = C

÷π

或 C=2πr r = C ÷(2π)或 r=C÷π÷2

5、在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长。

在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽。

6、车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长。

每分前进米数(速度)=车轮的周长×转数

7、区分周长的一半和半圆的周长:

(1) 周长的一半:等于圆的周长÷2 计算方法:2πr ÷ 2 即 π

(2)半圆的周长:等于圆的周长的一半加直径。

计算方法: C半圆= πr+2r 即5.14r 或 C半圆= πd÷2+d 即2.57d r

三、圆的面积

1、圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。

2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。

3、圆面积公式的推导:

(1)、用逐渐逼近的转化思想: 体现化圆为方,化曲为直;化新为旧,化未知为已知,化复

杂为简单,化抽象为具体。

2

(2)、把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多,拼成的图像越接近长方形。

(3)、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。

圆的半径 = 长方形的宽

圆的周长的一半 = 长方形的长

因为: 长方形面积 = 长 × 宽

所以: 圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径

S圆 = πr × r S圆 = πr2

2 = S ÷ π

4、圆的面积计算公式的应用:

(1) 已知圆的半径,求圆的面积:S=?r2。

2d?d?(2) 已知圆的直径,求圆的面积:r=,S=?r2或S????。 2?2?

(3) 已知圆的周长,求圆的面积:r=C?2?π,S=?r2或S???C?2???。

5、环形的面积:

一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r。(R=r+环的宽度.) 2

(1) 已知外圆半径和内圆半径,求圆环的面积:

S环 = πR2-πr2 或 S环 = π(R2-r2)

(2) 已知圆环内、外圆的直径,求圆环的面积:

S环 = π(D÷2)2-π(d÷2)2

6 S扇 = πr×2n(n表示扇形圆心角的度数) 360

7、一个圆,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。 而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。

例如:在同一个圆里,半径扩大3倍,那么直径和周长就都扩大3倍,而面积扩大9倍。

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8、两个圆: 半径比 = 直径比 = 周长比;而面积比等于这比的平方。 例如:

两个圆的半径比是2∶3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3,而面积比是4∶9

9、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值,即:4∶π

10、当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆面积最大,正方形居中,长方形面积最小。反之,面积相同时,长方形的周长最长,正方形居中,圆周长最短。

11、确定起跑线:

(1)、每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。

(2)、每条跑道直道的长度都相等,而各圆周长决定每条跑道的总长度。(因此起跑线不同)

(3)、每相邻两个跑道相隔的距离是: 2×π×跑道的宽度

(4)、当一个圆的半径增加a厘米时,它的周长就增加2πa厘米;

当一个圆的直径增加a厘米时,它的周长就增加πa厘米。

12、几个直径和为n的圆的周长=直径为n的圆的周长(如图)

几个直径和为n的圆的面积<直径为n的圆的周长

n

13、常用的3.14的倍数:

3.14×2=6.28 3.14×3=9.42 3.14×4=12.56 3.14×5=15.7

3.14×6=18.84 3.14×7=21.98 3.14×8=25.12 3.14×9=28.26

3.14×12=37.68 3.14×14=43.96 3.14×16=50.24 3.14×18=56.52

3.14×24=75.36 3.14×25=78.5 3.14×36=113.04 3.14×49=153.86

3.14×64=200.96 3.14×81=254.34

14、常用的平方数:

112=121 122=144 132=169 142=196 152=225

162=256 172=289 182=324 192=361 202=400

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