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小学奥数专题精讲-计数

发布时间:2013-12-09 16:33:31  

计数专题精讲班 五六年级

目录

第 1 讲 枚举法和加乘原理······················2 第 2 讲 排列组合···························12 第 3 讲 计数综合提高···························22

思维的发掘 能力的飞跃

1

计数专题精讲班 五六年级

第一讲 枚举法和加乘原理

知识总结归纳

一. 枚举法:

(1) 顺序:按照一定的规律和顺序去分析问题的数学思想。

(2) 分类:把一个复杂问题拆分成几个简单问题的思想。

(3) 树形图:记录分类和顺序思考过程的工具。

(4) “有顺序”和“无顺序”问题:例如把10个相同的小球分成3堆和把10个相

同的小球分给甲、乙、丙三个人,这是两个不同的问题。

二. 加法原理:

如果完成一件事情可以分成几类方法,每一类又包含若干种不同方法,那么将所有类中的方法数累加就是完成这件事的所有方法数.

三. 加法原理的关键:

(1) 分类的思想;

(2) 分类的原则:不重复不遗漏

四. 乘法原理:

如果完成一件事情可以分成几个步骤,每一步又包含若干种不同方法,那么将所有步骤中的方法数连乘就是完成这件事的所有方法数.

五. 乘法原理的关键:

(1) 分步的思想

(2) 分步的原则:前不影响后。前面采取什么样的步骤,不会影响到后面的方法数。

每层的分叉数必须一样多。

(3) 对于染色问题、排数字问题、排队问题等较复杂的乘法原理问题,在分步的时

候要优先考虑选择情况少的步骤,必须让前面步骤的结果不影响后面步骤选择的方法数。

六. 标数法:

(1) 标数法是加法原理和乘法原理的综合应用

(2) 主要用于解决路径问题和某些图形计数问题。

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枚举法

例题1 11个相同的小球分成第1堆、第2堆、第3堆,有多少种不同的分法?

例题2 11个相同的小球分成3堆,有多少种不同的分法?

例题3 商店里有12种不同的签字笔,价格分别是1,2,3,4,5,?,11,12元.琪琪准备买3支

不同价格的签字笔,并且希望恰好花掉15元.请问:小悦一共有多少种不同的买法?

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3

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例题4 小梦买了一些大福娃和小福娃,一共不到10个,且两种福娃的个数不一样多.请问:两种福

娃的个数可能有多少种不同的情况?

例题5 一个三位数,百位比十位小,十位比个位小,个位不大于5,那么这样的三位数一共有几个?

例题6 甲、乙、丙三个人传球.第一次传球是由甲开始,将球传给乙或丙,??,经过4次传球后,

球正好回到甲手中.那么一共有多少种不同的传球方式?

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加乘原理

例题7 (1)大雄一家人外出旅游,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以坐飞机.经过网上查询,出

发的那一天中火车有4班,汽车有3班,飞机有2班.任意选择其中一个班次,有多少种选择方法? (2)大雄一家人外出旅游,需要先做火车,再乘汽车,最后坐飞机.经过网上查询,途中的火车有4班,汽车有3班,飞机有2班.每种交通工具任意选择其中一个班次,有多少种选择方法?

,这样的三位数有多少个? 例题8 (1)每个数位可以是1~4中的一个数字(可以重复)

(2)每个数位可以是0~4中的一个数字(可以重复),这样的三位数有多少个?

(3)每个数位可以是0~4中的一个数字(可以重复),这样的三位偶数有多少个?

例题9 (1)用1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位数?

(2)用0、1、2、3、4可以组成多少个没有重复数字的三位数?

(3)用0、1、2、3、4可以组成多少个没有重复数字的三位奇数?

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例题10 “IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写,要求把这三个字母涂上不同的颜色,且每个字母只

能涂一种颜色.现有五种不同颜色的笔,按要求能有多少种不同的涂色方法?如果要求相邻字母不能同色,有多少种方法?

综合提高

例题11 商店里有三类笔,铅笔、钢笔和圆珠笔.铅笔有4种颜色,钢笔有3种颜色,圆珠笔有2种颜

色.

(1)要买任意一支笔,有多少种买法?

(2)要从三类笔中各买一支,有多少种买法?

(3)要买两支不同类的笔,有多少种买法?

例题12 如右图所示,要用红、黄、蓝三色给这个图形的5个区域进行染色,每个区

域染一种颜色,那么共有多少种不同的染色方法?如果相邻区域不得同色,那么

共有多少种不同的染色方法?

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例题13 某省的地图如图,共有A、B、C、D、E、F、G七个区县,用5种颜色给地图染色,要求相

邻区县的颜色不能相同,共有多少种不同的染色方法?

在方格中放入五枚相同的棋子,使得每行、每列中都只有一枚棋子,例题14 下图是一个阶梯形方格表,

这样的放法共有多少种?

例题15 (1)如图,在一个4行4列的方格表内放入4枚相同的棋子,要求每列至多有1枚棋子,每行也至多有1枚棋子,那么一共有多少种不同的放法?

(2)同上图,在这个4行4列的方格表内放入4枚相同的棋子,要求每列至

多有1枚棋子,每行不作限制,那么一共有多少种不同的放法? (3)同上图,在这个4行4列的方格表内放入4枚互不相同的棋子,要求每列至多有1枚棋子,每行也至多有1枚棋子,那么一共有多少种不同的放法?

(4)同上图,在这个4行4列的方格表内放入4枚互不相同的棋子,要求每列至多有1枚棋子,每行不作限制,那么一共有多少种不同的放法?

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计数专题精讲班

五六年级

标数法

例题16 按右图中箭头所示的方向行走,从A点走到B点有多少条不同的路线?

B

例题17 如右图,从A地沿网格线走到B地,规定只能朝右或朝上走.

(1)如果每次只能走一步共有多少种不同的走法?

(2)如果每次只能走一步且不能通过黑点,共有多少种不同的走法? (3)如果每次可以走一步或两步(不能转弯),共有多少种不同的走法?

B

思维的发掘

B

B

能力的飞跃 8

计数专题精讲班 五六年级

思维飞跃

例题18 如图,在一个3?4的方格表内放入4枚相同的棋子,要求每列至多有1枚棋子,一共有多少

种不同的放法?如果放入4枚互不相同的棋子,要求每列至多有1枚棋子,一共有多少种不同的放法?

例题19 如图,一只蚂蚁从A点出发,沿着八面体的棱行进,要求恰好经过每个顶点各一次,一共有

多少种不同的走法?

E

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作业

1. 妈妈买来7个鸡蛋,每天至少吃2个,吃完为止.如果天数不限,可能的吃法一共有多少种?

2. 用0、1、2、3、4、5可以组成_______个没有重复数字的四位数.

3. 把1分、2分、5分、1角的硬币各一枚排成一排,其中1分硬币不在两边,共有_______种排硬币

的方法.

4. 如图,把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色,且相邻的部分不能使用同一种颜色.那

么共有________种不同的染色方法.

B A C D E

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10

计数专题精讲班

五六年级 5. 在右图的道路上按照箭头所示的方向行进,从甲地到乙地共有_______条不同的路线.

6. 在5×5的方格纸中放入两枚相同的棋子,要求这两枚棋子既不同行也不同列,

不考虑旋转,一共有_______种放法.

7. 如图,用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色,每个小圆圈只能染一种颜色.请问:

(1)如果每个小圆圈可以随意染色,一共有多少种不同的染法?

(2)如果要求关于中间那条竖线左右对称,一共有多少种不同的染法?

8. 王老师家装修新房,需要2个木匠和2个电工.现有木匠3人、电工3人,另有1人既能做木匠也

能做电工.要从这7人中挑选出4人完成这项工作,共有多少种不同的选法?

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第二讲 排列组合

知识总结归纳

一. 排列的概念:

从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作Anm.排列数的计算公式如下:

mAn?n……?(n?m?1)

二. 组合的概念:

从n个不同的元素中取出m个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数,记作Cnm.组合数的计算公式如下:

mmmCn?An?Am?[n?(n?1)?……?(n?m?1)]?[m?(m?1)?……?1]

例如:C5?A5?A3?5?4?3?(3?2?1)?10 333

三. 组合重要公式:

m?nCn

m?Cm

四. 排列、组合以及和乘法原理的联系:

1. 排列是乘法原理的延续,是乘法原理在特殊情况下的应用。

2. 组合和排列的对应关系:排列+除法原理=组合

五. 遇到比较复杂的计数问题时,可能需要综合运用分步思想、分类思想以及排列组合公式。解题可以按照如下步骤

1. 首先这个计数问题看成某一个要完成的事情,仔细思考这个事情如何去完成,弄

清是先分类还是先分步;

2. 每一步或每一类再根据加乘原理或者排列组合公式计算。有可能这些问题还需要

继续拆成几个更简单的问题。

3. 最后根据前面的步骤列出总的算式计算.

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基础训练

3422例题1 计算:(1)A4; (2)A7; (3)A6?A6

例题2 有5面不同颜色的小旗,任取3面排成一行表示一种信号,用这5面小旗一共可以表示出多少

种不同的信号?

例题3 用1,2,3,4,5这五个数码可以组成多少个没有重复数字的四位数?将这些四位数从小到大

排列起来,4125是第几个?

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3324173例题4 计算:(1)C9; (2)C10?2?C10; (3)C5,C5; (4)C10,C10.

例题5 学校十佳歌手大赛的10名获奖选手中,每3人都要照一张合影.问:需要拍多少张照片?

例题6 如图所示,在一个圆周上有8个点,以这些点为顶点或端点,一共可以画出多少条线段?多少

个三角形?多少个四边形?

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计数专题精讲班 五六年级

例题7 有13个队参加篮球比赛,比赛分两个组,第一组七个队,第二组六个队.各组先进行单循环

赛(即每队都要与组内其它各队比赛一场),然后由各组的前两名共四个队再进行单循环赛决定冠亚军.问:共需比赛多少场?

综合提高

例题8 周末大扫除,老师要从第一组的10名男生和10名女生中选出5人留下打扫卫生.请问:

(1)如果老师随意选择,一共有多少种选择方法?

(2)如果老师决定选出2名男生和3名女生,一共有多少种选择方法?

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例题9 (1)用两个1,三个2可以组成多少个五位数?

(2)用两个1,三个2,4个3可以组成多少个九位数?

(3)用两个0,三个2,4个3可以组成多少个九位数?

(4)用三个1和0、2、3、4各一个,可以组成多少个七位数?

例题10 从1、3、5、7中任取两个数字,再从2、4、6、8中任取两个数字,共可组成多少个没有重复

数字的四位数?

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例题11 从1、3、5、7中任取两个数字,再从0、2、4、6、8中任取两个数字,共可组成多少个没有

重复数字的四位数?

捆绑法和插空法

例题12 学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生.某次比赛后他们站成一排照相,请问:

(1)如果要求男生不能相邻,一共有多少种不同的站法?

(2)如果要求女生都站在一起,一共有多少种不同的站法?

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例题13 3名男生、2名女生和2名教练排成一排照相,请问:

(1)如果要求教练员站在一起,一共有多少种站法?

(2)如果要求教练员不能站在一起,那么又有多少种照法?

(3)如果要求任意两名男生都不能相互站在一起,那又有多少种照法?

思维飞跃

例题14 四年级三班举行六一儿童节联欢活动.整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成.请问:

(1)如果要求同类型的节目连续演出,那么共有多少种不同的出场顺序?

(2)如果第一个和最后一个节目不能是小品,那么共有多少种不同的出场顺序?

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例题15 篮球队共有8人,其中有2个中锋、3个后卫和3个前锋,排成一排准备照合影:若中锋必须

彼此相邻,前锋两两不相邻,一共有多少种排法?

例题16 用1,2,3,4这四个数字组成四位数,至多允许有1个数字重复两次.例如1234,1233和

2414是满足条件的,而1212,3334和3333都不满足条件.请问:一共能组成多少个满足条件的四位数?

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作业

1. 用5,6,7,8,9这五个数码可以组成多少个没有重复数字的四位数?将这些四位数从小到大排列

起来,7598是第几个

2. 如图所示,从端点O出发的射线共有7条,图中一共有多少个锐角?

P7 P6 P5

P4

P3

P2

P1

O

3. 在新学期的班会上,大家要从11名候选人中选出班干部.请问:

(1)选出三人组成班委会,一共有多少种选法?

(2)从剩下的候选人中,选出三人分别担任语文、数学、英语的课代表,一共有多少种选法?

4. 从1、3、5、7中任取一个数字,再从0、2、4、6、8中任取两个数字,共可组成多少个没有重复

数字的三位数?

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5. (1)用1个1,2个2,3个3可以组成几个六位数?

(2)用1个0,2个2,3个3可以组成几个六位数?

(3)用2个0,2个1,3个2可以组成几个七位数?

6. 现有3名女生和5名男生,请问:

(1)如果要求女生不能相邻,一共有多少种不同的站法?

(2)如果要求5名男生必须站在一起,一共有多少种不同的站法?

7. 8个人站队,小慧和大智不能相邻,小光和大亮必须相邻,满足要求的站法一共有多少种?

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第三讲 计数综合提高

知识总结归纳

一. 和分类相关的计数方法:

(1) 正面分类.

(2) 反面排除.

(3) 容斥原理.

二. 对应计数思想:

把某个看起来比较复杂的计数问题转化成一个简单的计数问题;

分类和排除

例题1 如图,在半圆弧及其直径上共有9个点,以这些点为顶点可画出多少个三角形?

例题2 从10个人中挑出5人,求满足下列条件的选法有多少种.

(1) A和B至少有一个人入选;

(2) A、B、C至少有一个人入选.

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例题3 甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起,四人每人随便拿了一本.问:

(1)甲拿到自己作业本的拿法有多少种?

(2)至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种?

例题4 张华、李明等七个同学照相,分别求出在下列条件下有多少种站法:

(1)七个人排成一排;

(2)七个人排成一排,张华必须站在中间;

(3)七个人排成一排,张华、李明必须有一人站在中间;

(4)七个人排成一排,张华、李明必须站在两边;

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计数专题精讲班 五六年级 (5)七个人排成一排,张华、李明必须有一人站在中间,一人站在边上;

(6)七个人排成一排,张华、李明都没有站在边上;

(7)七个人排成两排,前排三人,后排四人;

(8)七个人排成两排,前排三人,后排四人,张华、李明不在同一排;

(9)七个人排成两排,前排三人,后排四人,张华、李明在同一排.

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例题5 利用数字0、1、2、3能拼出多少个无重复数字的自然数?

例题6 数字0、2、4、6、8称为偶数数码,数字1、3、5、7、9称为奇数数码.在有些四位数的各位

数字中,奇数数码的个数比偶数数码的个数多,例如1370、3591等.那么这样的四位数共有多少个?

例题7 不含数字3的四位数有多少个?

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例题8 把一根圆木棍分成等长的5节,每节用红、黄、蓝三中颜色的一种来涂,共有_____种不同的

涂法。(如果两根木棍可以经过翻转使得颜色顺序相同,那么认识者两根是一种涂法)

对应计数

例题9 一个三位数,百位必十位大,十位比个位大,这样的三位数有多少个?

例题10 在8?8的方格表中,取出一个如图所示的由3个小方格组成的“L”形,共有多少种不同的取

法?

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例题11 在8?8的方格棋盘中,一共可以数出多少个如图所示的由4个单位小正方形组成的“L”型?

例题12 (1)4×7的方格表中,共有多少个正方形?

(2)4?4的方格表中,共有多少个正方形?

例题13 如图,这是一个长为9,宽为4的网格,每一个小格都是一个正方形.请问:

1)从中可以数出多少个长方形?

(2)从中可以数出包含黑点的长方形有多少个?

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例题14 一次射击比赛中,7个泥制的靶子如右图挂成3列.一射手按下列规则去击碎

靶子:每次任意挑选一列,然后击碎这列中尚未被击碎的靶子中最下面的一个.若每次都遵循这一原则,则击碎全部7个靶子共有多少种不同的顺序?

例题15 (此题不用标数法)如右图,从A地沿网格线走到B地,规定只能朝右或朝上走.

(1)如果每次只能走一步共有多少种不同的走法?

(2)如果每次只能走一步且不能通过黑点,共有多少种不同的走法?

B

A A

B

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例题16 (1)一只青蛙沿着一条直线跳跃4次后回到起点.如果它每一次跳跃的长度都是1分米,那

么这只青蛙共有多少种可能的跳法?

(2)如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃4次后回到起点,每次跳跃的长度仍是1分米,那么这只青蛙共有多少种可能的跳法?

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作业

1. 一个三位数,百位必十位小,十位比个位小,这样的三位数有多少个?

2. 把一根圆木棍分成等长的4节,每节用红、黄、蓝三中颜色的一种来涂,共有_____种不同的涂法。

(如果两根木棍可以经过翻转使得颜色顺序相同,那么认识者两根是一种涂法)

3. 张华、李明等五个同学照相,分别求出在下列条件下有多少种站法:

(1)五个人排成一排,张华、李明必须有一人站在中间;

(2)五个人排成一排,张华、李明必须站在两边;

(3)七个人排成一排,张华、李明必须有一人站在中间,一人站在边上;

(4)五个人排成一排,张华、李明都没有站在边上;

(5)五个人排成两排,前排两人,后排三人;

(6)五个人排成两排,前排两人,后排三人,张华、李明不在同一排;

(7)七个人排成两排,前排三人,后排四人,张华、李明在同一排.

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4. 不含数字5的三位数有多少个?

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5. (1)5×8的方格表中,共有多少个正方形?

(2)5×5的方格表中,共有多少个正方形?

6. 如图,数一数图中一共有多少条线段?多少个矩形?

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