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截长补短法培优第二课时(学生练习)

发布时间:2013-12-13 15:35:18  

“截长补短法”在几何证明中的运用专题

万全县第三初级中学 李彦军

截长补短法是几何证明题中十分重要的方法,通常来证明几条线段的数量关系;截长补短法有多种方法。

截长法:

(1)过某一点作长边的垂线;

(2)在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一短边相等;… 补短法:

(1)延长短边;

(2)通过旋转等方式使两短边拼合到一起;…

引例:已知:如图,ABCD是正方形,∠FAD=∠FAE. 求证:BE+DF=AE.

AD

F

BCE

例1.以?ABC的AB、AC为边向三角形外作等边?ABD、?ACE,连结CD、BE相交于点O.求证:OA平分

?DOE.

DAED

F

O

COCAE

例2.如图所示,?ABC是边长为1的正三角形,?BDC是顶角为120?的等腰三角形,以D为顶点作一个60?的?MDN,点M、N分别在AB、AC上,求?AMN的周长.

A

N M

BC 例3.如图所示,在?ABC中,AD是?BAC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较PB?PC与AB?AC的大小,并说明理由.

A

【补充】在?ABC中,AB?AC,AD是?BAC的平分线.P是AD上任意一点.求证:AB?AC?PB?PC.

ABCD

P

【补充】如图,?ABC中,AB?AC,?A?108?,BD平分?ABC交AC于D点.求证:BC?AC?CD.

A

DBDC

BC

【补充】如图所示,在?ABC中,AD平分?BAC,AD?AB,CM?AD于M,求证AB?AC?2AM.

A

BD

C

【补充】已知等腰?ABC,?A?100?,?ABC的平分线交AC于D,则BD?AD?BC.

A

BEC

截长补短强化训练

1、如图,?ABC中,AB=2AC,AD平分?BAC,且AD=BD,求证:CD⊥AC

DACB

2、如图,已知在?ABC内,?

BAC?60,?C?400,P,Q分别在BC0

AAP,BQ分别是

?BAC,?

ABC的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP

C

3、已知?ABCD,连接AC,AC=AB,E为线段BC上的一动点,F为直线DC上一动点,且?EAF??B。 (1)如图(1),当?B?600时,求证:CE+CF=CA。

4、已知?ABC,有一个以P为顶点的角,且?APE?

B

1

?ACD,将此角的顶点放在边BC上,角的一边始终经过2

点A,另一边与?ACB的外角的平分线交于点E。

(1)如图1,当?ABC三角形为等边三角形时,求证:CP+CE=CA。

5、在?ABC中,?B?2?C,且AD?BC于D,求证:CD=AB+BD

7、已知,在中?ABC,?C=900,AC=BC,直线l绕点A旋转,过点B,C分别向直线l做垂线,垂足分别是点D、点E。

(1)如图1,求证:BD+CE=AE;

(2)当直线l绕点A顺时针转到如图2,则BD、CE 、AE 之间满足的数量关系是

9、在中Rt?ABC中,?ACB?900,AC=BC,点P为BC所在直线上一点,分别过点B、C作直线AP的垂线,垂足分别为点D,X。

(1)当点P在线段BC上时,如图1,求证:AD?BD?2CE

(2)当点P在CB的反向延长线上时,如图2,线段AD、BD、CE三者之间满足的数量关系是

10、已知:△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F.

(1)如图l,若△ABC为锐角三角形,且∠ABC=45°,过点F作FG∥BC,交直线AB于点G,

求证:FG+DC=AD;

(2)如图 2,若∠ABC=135°,过点F作FG∥BC,交直线AB于点G,则FG、DC、AD之间满足的数量关

系是 ;

11、Rt??ABC中,?ACB?900,AC?BC,点D为直线BC上一点,CH?AD于H,直线CH与直线AB交于点P,作?BPE??APC,射线PE与直线BC交于点E。 (1)当点D在BC上时,如图1,求证:2CD?DE?AC

(2)当点D在的CB延长线上时,如图2,请直接写出线段CD,DE,AC的数量关系 。

(3)在(2)的条件下,设PE与AC交于点G,并且AG?

CG,PG?DG,分别交CH、AB于点M、N,

求的长MN的长。

A

A

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