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牛吃草问题档

发布时间:2013-12-15 12:42:48  

举世闻名的大科学家牛顿在他所著的《普通算术》一书中曾提出一个有趣的数学问题: 有三片牧场,场上的草长得一样密,并且长的速度一样快,它们的面积分别是31公3顷、10公顷和24公顷,第一片牧场饲养12头牛可以维持4个星期,第二片牧场饲养21头牛可以维持9个星期,在第三片牧场上放多少头牛可以维持18个星期?

这个问题被人们称为“牛顿问题”,也就是我们平常说的“牛吃草问题”。在这类问题中,草地原有草量、每天新增草量、每头牛每天吃草量都是未知数,这三者又都是不变量且存在一定的相互关系。一般首先假设每天牛吃草量为1份,再根据其中的相互关系求出每天新生草多少份,原有草量是多少份,在这三个不变量已知后,其他问题就好求了。 典例解析及同步练习

典例1、有一片牧场,如果饲养20头牛,6天可以把草吃完。如果饲养16头牛,9天可以把草吃完。如果饲养32头牛,多少天可以把草吃完?

解析:我们假设1头牛1天吃的草量为“1”,那么,根据已知的两组条件可以求出牧场每天新生出的草的数量,进而求出牧场原有草的数量,以及所求的问题。

解:设1头牛1天吃的草量为1。

20头牛6天吃的草量为:1×20×6=120

16头牛9天吃的草量为:1×16×9=144

牧场每天新生的草量为:(144-120)÷(9-6)=8

牧场原有草量为:120-6×8=72

饲养32头牛多少天可以把草吃完: 72÷(1×32-8)=3 (天)

答:如果饲养32头牛,3天可以把草吃完。

举一反三训练1

1、 有一个牧场,草每天匀速生长,可供1.2万只羊吃6个月,或供1.1万只羊吃10个月,为了不使草场的草被羊吃光,这个草场最多可放多少只羊?

2、 一水池不断往外漏水,每天漏水量相同。如果这池水9头牛5天可以饮完,6头牛7天也可以饮完,如果没有牛去饮,几天可以漏完?

3、 有三块草地,面积分别为5公顷、15公顷、24公顷,草地的草一样高,并且长得一样快。第一块地可供10头牛吃30天,第二块地可供28头牛吃45天,第三块草地可供几头牛吃80天?

典例2、有一块牧场,草每天匀速生长,这块牧场上的草可供17头牛吃25天,也可供15头牛吃30天,开始有一些牛在牧场上吃草,8天后,有5头牛被卖了,余下的牛用2天时间将牧场上的草吃完。开始有多少头牛在吃草?

解析:我们假设5头牛没有被卖掉,那么,全部的牛8+2=10天所吃的草将比现在吃草的总量多5头牛吃2天的草,这样用全部的牛10天吃草量除以每头牛的吃草量,就可以求出全部牛的头数。

解:设每头牛每天吃的草量为1

这块牧场每天生长的草量为:(1×15×30-1×17×25)÷(30-25)=5

这块牧场原有草量为:1×15×30-5×30=300

全部牛10天吃草量为:300+5×10+1×5×2=360

开始有牛头数为:360÷(1×10)=36(头)

答:开始有36头牛在吃草。

举一反三训练

1、 有一片草地,草每天生长的速度相同,若用15人去割草,40天可以割完。若用18

人去割草,32天可以割完,现有若干工人割了6天后,其中4人因事请假,余下的人用了2天把草割完,原有多少人割草?

2、 一个牧场,草每天匀速生产,1头牛1天吃的草可供1只羊吃3天。这个牧场上的草,可供18头牛吃30天或供11头牛和24只羊吃24天。牧场主准备全部养羊,那么,这个牧场最多可养多少只羊,才能使羊永远有草吃?

3、 有一处泉水,泉底不断的涌出泉水,且每小时涌出的泉水一样多,如果用8部大抽水机10小时能把全池水抽干,如果用36部小抽水机6小时也能把水抽干。如果1部大抽水机的抽水量等于3部小抽水机的抽水量,那么用8部大抽水机和18部小抽水机多少小时能把全池水抽干?

典例3、一艘船出现了一个漏洞,水以均速进入船仓,当船员发现时,舱内已经灌进了一些水,如果有12人来舀水,3小时可以舀完,如果有5人来舀水,10小时可以舀完,现在要求在2小时内把水舀完,需要多少人来舀?

解析:我们可以把它当作“牛吃草问题”来解,船舱内已经进入的水一定,每人每小时舀水量一定,每小时进水量一定。所以可设每人每小时舀水量为“1”,进而推导出舱内已有的水量和每小时的进水量。

解:设每人每小时舀水量为1.

原有水量+3小时进水量=12人3小时的舀水量=12×3=36

原有水量+10小时进水量=5人10小时的舀水量=5×10=50

比较可得10-3=7小时的进水量=50-36=14

每小时进水量为:14÷7=2

每小时进入的水需要2人去舀

原有水量为:(12-2)×3=30

2人去舀每小时进入的水,其他人在2小时内要舀完原有的水,需要的人数是: 30÷2=15 (人)

共需要人数:15+2=17 (人)

答:需要17人来舀。

举一反三训练3

1、 某火车站的检票口,在检票开始前已经有一些人排队,检票开始后,每分钟有15

人前来排队检票,一个检票口每分钟能让30人检票进站,如果只有一个检票口,检票开始6分钟后就没有人排队了,如果有两个检票口,那么检票开始后多少分钟就没有人排队了?

2、 两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走,20秒男孩走了27级,女孩走了24级,

按此速度男孩2分钟到达另一端,而女孩需要3分钟才能到达。该自动扶梯共有多少级?

3、 有三块草地,面积分别为31公顷、10公顷、4公顷,草地上的草长得一样密,并3

且长得一样快,如果每一块草地可供12头牛吃4周,第二块草地可供21头牛吃9周,每三块草地可供多少头牛吃18周?

能力加强

1、 牧场上长满牧草,牧草每天都匀速生长,这片牧草可供10头牛吃20天,可供15

头牛吃10天,那么可供25头牛吃多少天?

2、 商场的自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着,兄妹两人从扶梯上楼,哥哥每分钟

走20级,妹妹每分钟走15级,结果哥哥5分钟到达楼上,妹妹6分钟到达楼上,

自动扶梯有多少级?

3、 煤矿原有一部分煤没运出,每天又匀速采集一些煤,如果用火车运,80个车皮运

25天,或60个车皮运50天,现在要用10天把它运完,需要多少个车皮?

4、 12头牛28天可吃完10公顷牧场上全部的草,21头牛63天可吃完30公顷牧场上

全部的草。多少头牛126天可吃完72公顷牧场上全部的草?

5、 某农夫有三块牧场,面积分别是2公顷、4公顷、6公顷。三块牧场上的草长得一

样密,且每天均匀生长,生长速度都一样。农夫将8头牛赶到2公顷的牧场,5天吃完了;农夫又将这8头牛赶到4公顷的牧场,15天吃完了;最后将这8头牛赶到6公顷的牧场,这块牧场够吃多少天?

6、 画展9时开门,开门前已经有人在排队,若每分钟来的人数相同,如果开3个入场

口,9时9分就没有人排队,如果开5个入场口,9时5分就没有人在排队,第一个人是几时几分到达的?

7、 某水库建有10个泄洪闸,水库现在的水位已经超过安全线,上游河水按不变的速

度增加,为了防洪,需要调节泄洪速度,假设每个闸门泄洪的速度相等,经测算,若打开一个闸门,30个小时水位降至安全线;若打开两个泄洪闸,10小时水位降至安全线,现在抗洪指挥部要求在5.5小时使水位降至安全线以下,至少要同时打开几个闸门?

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