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探究一元二次方程的解法

发布时间:2013-09-21 11:23:53  

1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法? X2=a (a≥0) 直接开平方法

(x+h)2=k (k≥0)
配方法 公式法

? b ? b ? 4ac 2 x? . b ? 4ac ? 0 . 2a
2

?

?

试求以下一元二次方程 的解?

(1)5 x ? 4 x
2

(2) x ? 2 ? x( x ? 2)
(3)( x ? 1) ? (2 x ? 3)
2 2

? 用分解因式法解方程: ? (1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2);
解 : ?1?.5 x ? 4 x ? 0, ?2?.x ? 2 ? x?x ? 2? ? 0, x?5x ? 4? ? 0. ?x ? 2??1 ? x? ? 0. ? x ? 0, 或5x ? 4 ? 0. ? x ? 2 ? 0, 或1 ? x ? 0. 4 ? x1 ? 0; x2 ? . ? x1 ? 2; x2 ? 1. 5
2

因式分解法
用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,右边 等于零;

理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至 少有一个因式等于零.”

分解因式法
? 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分 解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分 解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二 次方程的方法称为分解因式法.

例1.解下列方程:

?1?.?x ? 2??x - 4? ? 0, ?2?.4 x?2 x ? 1? ? 3?2 x ? 1?. 解 :?1?.x ? 2 ? 0,或x ? 4 ? 0.
? x1 ? ?2; x2 ? 4. ?2?.4 x?2x ? 1? ? 3?2x ? 1? ? 0,

?2x ? 1??4x - 3? ? 0,
? 2 x ? 1 ? 0, 或4 x ? 3 ? 0. 1 3 ? x1 ? ? , x2 ? . 2 4

学习是件很愉快的事 ? 你能用分解因式法解下列方程吗? 1 .x2-4=0;
解:1.(x+2)(x-2)=0, ∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.

2.(x+1)2-25=0.
2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0, ∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.

这种解法是不是解这两个方程的最好方 法?你是否还有其它方法来解?

x 解方程:

2

? 3 x,你认为哪种方法正确?
小明是这样解的 :
解 : 方程x ? 3x两
2

小颖是这样解的 :
解 : x 2 ? 3x ? 0.
3? 9 ?x ? . 2

边都同时约去x, 得. ?x ? 3.

? 这个数是0或3.

? 这个数是3.

小颖做得对吗?

小明做得对吗?

? 一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这 个数.
解:设这个数为x,根据题意,得 2x2=7x. 2x2-7x=0, x(2x-7) =0, ∴x=0,或2x-7=0.

7 ? x1 ? 0, x2 ? . 2

学习是件很愉快的事

练习:用分解因式法解下列方程
1).(4 x ? 2) ? x(2 x ? 1)
2

2).3x( x ? 2) ? 5( x ? 2);

3).(3x ? 1) ? 5 ? 0;
2

4).2( x ? 3) ? x ? x ? 3? ;
2

5).2( x ? 3) ? ? x ? 9 ? .
2 2

?分解因式法解一元二次方程 的步骤是:
?1. 将方程左边因式分解,右边等于0; ?2. 根据“至少有一个因式为零”,转 化为两个一元一次方程. ?3. 分别解两个一元一次方程,它 们的根就是原方程的根.

学习是件很愉快的事

1.?4 x ? 1?(5 x ? 7) ? 0; 2.3x?x ? 1? ? 2 ? 2 x;
3.( 2 x ? 3) ? 4(2 x ? 3); 4.2( x ? 3) ? x ? 9;
2

作业:解下列方程

2

2

5.5( x ? x) ? 3( x ? x);
2 2

6.( x ? 2) ? ?2 x ? 3? ;

2 2

7.( x ? 2)?x ? 3? ? 12;


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