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【高一年级】每天一道数学题——1月9日

发布时间:2013-09-21 15:01:33  

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【高一年级】每天一道数学题——1月9日

考察知识点:不等式

难度: 中等 ★★

时间要求:8分钟

题目:

已知a>0,b>0,且a+b=1求证a+11)(b+)ba

答案:

证法一分析综合法)

欲证原式,即证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0,

即证4(ab)2-33(ab)+8≥0,即证ab≤或ab≥81

4

∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab≥8不可能成立

∵1=a+b≥2ab,∴ab≤1

4

证法二均值代换法) 设a=+t1,b=+t2 1212

∵a+b=1,a>0,b>0,∴t1+t2=0,|t1|<,|t2|<

11a2?1b2?1?(a?)(b?)??abab

111122(?t1)2?1(?t2)2?1(?t1?t1?1)(?t2?t2?1)???1111?t1?t2(?t1)(?t2)2222

1152222 (?t1?t1?1)(?t2?t2?1)(?t2)2?t2??1122?t2?t244

2532254?t2?t225???.1124?t244

1显然当且仅当t=0,即a=b=时,等号成立21212证法三比较法)

∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+b≥2ab,∴ab≤ 1

4

中国权威高考信息资源门户 www.gaokao.com 1125a2?1b2?1254a2b2?33ab?8(1?4ab)(8?ab)(a?)(b?)???????0ab4ab44ab4ab 1125?(a?)(b?)?ab4

证法四综合法)

∵a+b=1, a>0,b>0,∴a+b≥2ab,∴ab25?2(1?ab)?1?2139??16(1?ab)?1252?1?ab?1???(1?ab)?????4416?1ab4?4??ab

1125 即(a?)(b?)?ab4

证法五三角代换法)

∵ a>0,b>0,a+b=1,故令a=sin2α,b=cos2α,α∈(0,11112(a?)(b?)?(sin2??)(cos??)22absin?cos?

sin4??cos4??2sin2?cos2??2(4?sin2?)2?16??24sin2?4sin22?

?sin22??1,?4?sin22??4?1?3.

4?2sin22??16?25??(4?sin22?)225???11244sin2???2sin2?4?

1125即得(a?)(b?)?.ab4?) 2分析:

不等式在高中阶段的证法或用法大体上就以这几种为主了,大家好好对比区别下。

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