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北师大版9年级上册数学

发布时间:2013-09-21 20:17:22  

第一章 证明(二)

一、你能证明它们吗?

班级:___________________________姓名:___________________________

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1.等腰、等边、直角三角形的性质

2.反证法

一、填空题

1.在等腰三角形中顶角为40°时底角等于_________,一个底角为50°,则顶角等于_________.

2.由在同一三角形中“等角对等边”“等边对等角”两个定理我们可以联想到大边对_________,大角对_________.

3.等腰三角形的两边分别是7 cm和3 cm,则周长为_________.

4.一个等边三角形的角平分线、高、中线的总条数为_________.

5.等腰三角形的一边长为2,周长为43+7,则此等腰三角形的腰长为_________.

6.等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为_________.

7.如图1,D在AC上,且AB=BD=DC,∠C=40°,则∠A=_________,∠ABD

=_________.

图1 图2

8.如图2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,且AD=AC,若∠A=40°,则 ∠ACD=_________,∠DCB=_________,若∠A=α,则∠BCD=_________,由此我们可得出∠BCD与∠A的关系是∠BCD=_________.

9.△ABC中,若∠A=∠B=1∠C,则此三角形为_________三角形. 2

10.Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB=60°,AD平分∠CAB,点D到AB的距离是3.8 cm,则BC=_________ cm.

11.△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AD⊥BC于D,AE是斜边上的中线,若DB=4,则AB=_________,BC=_________.

二、选择题

12.给出下列命题,正确的有( )

①等腰三角形的角平分线、中线和高重合; ②等腰三角形两腰上的高相等; ③等腰三角形最小边是底边;④等边三角形的高、中线、角平分线都相等;⑤等腰三角形都是锐角三角形

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

13.若等腰△ABC的顶角为∠A,底角为∠B=α,则α的取值范围是( )

A.α<45° B.α<90°

C.0°<α<90° D.90°<α<180°

14.下列命题,正确的有( )

①三角形的一条中线必平分该三角形的面积;②直角三角形中30°角所对的边等于另 1

一边的一半;③有一边相等的两个等边三角形全等;④等腰三角形底边上的高把原三角形分成两个全等的三角形

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

15.若三角形的一边等于另一边的一半,那么这边所对的角度为( )

A.30° B.45° C.60° D.无法确定

16.如果三角形一边的中线和这边上的高重合,则这个三角形是( )

A.等边三角形 B.等腰三角形

C.锐角三角形 D.钝角三角形

17.△ABC中, AB=AC, CD是△ABC的角平分线, 延长BA到E使DE=DC, 连结EC, 若 ∠E =51°,则∠B等于( )

A.60° B.52° C.51° D.78°

18.在△ABC中∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,CD⊥AB于D点,AB=a,则BD的长为( ) A.a 2 B.a 3 C.a 4 D.以上都不对

19.在直角三角形中,一条边长为a,另一条边长为2a,那么它的三个内角的比为( )

A.1∶2∶3 B.2∶2∶1

C.1∶1∶2 D.以上都不对

三、解答题

20.如图3,在AB=AC的△ABC中,D点在AC边上,使BD=BC,E点在AB边上,使AD=DE=EB,求∠ED

B.

图3

21.如图4,AB=CD,AD=BC,EF经过AC的中点O,分别交AB和CD于E、F,求证:OE=OF

.

图4

22.如图5,在△ABC中,AB=AC,D是AB上一点,DE⊥BC,E是垂足,ED的延长线交CA的延长线于点F,求证:AD=AF

.

图5

23.你以前证过的结论,有的是否可以用反证法证明,试试看.

2

§1.1.2 等角对等边

班级:__________ 姓名:__________

一、填空题

1.如右图,已知等腰△ABC,AB=AC,若AB>BC,则△ABC

为__________角三角形.

2.已知△ABC,如右图所示,其中∠B=∠C,则_______=________.

3.等腰三角形底边上的__________,底边上的__________,顶角

__________,均把它分成两个全等三角形.

4.如左下图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D是BC的中

点,DE⊥AC,则∠C=(__________)°;CE∶EA

=__________.

5.如右上图,已知AD是△ABC的外角平分线,且AD∥BC,则∠1__________∠B, ∠2__________∠C,△ABC是__________三角形.

6.在△ABC中,∠A=∠B=1∠C,则△ABC是__________三角形. 2

二、选择题

1.如果一个三角形的一个外角是130°,且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍,那么这个三角形是

A.钝角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等边三角形

2.如右图,在△ABC中,AB=AC,∠C=2∠A,BD是∠ABC

的平分线,则图中共有等腰三角形

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

3.如左下图,△BDC′是将矩形ABCD,沿对角线BD折起得

到的,图中(包括实线、虚线图形),共有全等三角形

A.2对 B.3对

C.4对 D.5对

3

4.如右上图,在△ABC中,∠B=∠C=40°,D,E是BC上两点,且∠ADE=∠AED=80°,则图中共有等腰三角形

A.6个 B.5个 C.4个 D.3个

5.如右图,已知△ABC中,CD平分∠ACB交AB于D,又DE

∥BC,交AC于E,若DE=4 cm,AE=5 cm,则AC等于

A.5 cm B.4 cm

C.9 cm D.1 cm

三、解答题

1.已知,如左下图,△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE∥

AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,AE=6,求四边形AFDE的

周长

.

2.如右上图,DE∥BC,CG=GB,∠1=∠2,求证:△DGE是等腰三角形.

3.如右图所示,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足

是D,∠A=60°.求证:BD=3AD.

§1.1.3 等边三角形的判定

班级:__________ 姓名:__________

一、填空题

1.已知,如右图,等腰△ABC,AB=AC:

(1)若AB=BC,则△ABC为__________三角形;

(2)若∠A=60°,则△ABC为__________三角形;

(3)若∠B=60°,则△ABC为__________三角形.

2.在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中,成轴对称图形的

是__________.

3.底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴,等边三角形有__________条对称轴.请你在图(1)中作出等腰△ABC,等边△DEF的对称轴

.

4

(1) (2)

4.如图(2),已知△ABC是等边三角形,AD∥BC,CD⊥AD,垂足为D、E为AC的中点,AD=DE=6 cm则∠ACD=(__________)°,AC=__________cm,∠DAC=(__________)°,△ADE是__________三角形.

5.如左下图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC,DE⊥AB,垂足分别为D,E,如果AB= 8 cm,则BD=__________cm,∠BDE=(__________)°,BE

=__________cm.

6.如右上图,Rt△ABC中,∠A=30°,AB+BC=12 cm,则AB=__________cm.

二、选择题

1.下列说法不正确的是

A.等边三角形只有一条对称轴

B.线段AB只有一条对称轴

C.等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线

D.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线

2.下列命题不正确的是

A.等腰三角形的底角不能是钝角

B.等腰三角形不能是直角三角形

C.若一个三角形有三条对称轴,那么它一定是等边三角形

D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形

3.在Rt△ABC中,如右图所示,∠C=90°,∠CAB=60°,AD平分∠

CAB,点D到AB的距离DE=3.8 cm,则BC等于

A.3.8 cm B.7.6 cm

C.11.4 cm D.11.2 cm

三、解答与证明

1. 如下图,在△ABC中,∠A=20°,D在AB上,AD=DC,∠ACD∶

∠BCD=2∶3,求:∠ABC的度数

.

2.如下图,在△ABC中,∠B=90°,M是AC上任意一点(M与A不重合)MD⊥BC,交∠ABC的平分线于点D,求证:MD=MA

.

5

3.如右图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,求证:AE=CD.

§1.2.1 勾股定理

班级:__________ 姓名:__________

一、判断题

1.如果一个命题正确,那么它的逆命题也正确

2.定理不一定有逆定理

3.在直角三角形中,任意给出两条边的长可以求第三边的长

二、填空题

1.Rt△ABC中,∠C=90°,如图(1),若b=5,c=13,则a=__________;若a=8,b=6,则c=__________.

2.等边△ABC,AD为它的高线,如图(2)所示,若它的边长为2,则它的周长为__________,AD=__________,BD∶AD∶AB=__________∶__________∶

__________.

(1) (2) (3)

3.如图(3),正方形ABCD,AC为它的一条对角线,若AB=2,则AC=__________;若AC=2,则AB=__________;AC∶AB=__________∶__________.

4.如右图,△ABC中,∠A+∠C=2∠B,∠A=30°,则

∠C=__________;若AB=6,则BC=__________.

5.若直角三角形的三条边长分别是6,8,a则

(1)当6,8均为直角边时,a=__________;

(2)当8为斜边,6为直角边时,a=__________.

三、选择题

1.如右图,等腰直角△ABC,AB=2,则S△ABC等于

6

A.2 B.1 C.4 D.2

2.若三角形的三边分别为a,b,c,则下面四种情况中,构成直角三角形的是

A.a=2,b=3,c=4 B.a=12,b=5,c=13

C.a=4,b=5,c=6 D.a=7,b=18,c=17

3.如左下图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=,DC=1,AC=,那么AB的长度是 A.27 B.27 C.

D.25

4.如右上图,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点,∠BAE=∠DEC=60°,AB=3,CE=4,则AD等于

A.4 8 B.24 C.10 D.12

四、解答题

1.已知,如下图,等边三角形ABC,AD为BC边上的高线,若AB=2,求△ABC的面积

.

2.已知:如下图,△ABC中,CD⊥AB于D,AC=4,BC=3,DB=9

. 5

(1)求DC的长;

(2)求AD的长;

(3)求AB的长;

7

4)求证:△ABC是直角三角形.

3.如右图,为修铁路需凿通隧道AC,测得∠A=50°,∠B=40°,AB=5

km,BC=4 km,若每天凿隧道0.3 km,问几天才能把隧道凿通?

§1.2.2 直角三角形全等的判定

班级:__________ 姓名:__________

一、填空题

1.如下图,Rt△ABC和Rt△DEF,∠C=∠F=90°

(1)若∠A=∠D,BC=EF,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

(2)若∠A=∠D,AC=DF,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

(3)若∠A=∠D,AB=DE,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

(4)若AC=DF,AB=DE,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

(5)若AC=DF,CB=FE,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

2.如右图,在Rt△ABC和Rt△DCB中,AB=DC,∠A=∠D=

90°,AC与BD交于点O,则有△__________≌△__________,

其判定依据是__________,还有△__________≌△__________,

其判定依据是__________.

3.已知:如图(1),AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,AE=DF,AB=DC,则△__________≌△__________(HL)

.

(1) (2) (3)

4.已知:如图(2),BE,CF为△ABC的高,且BE=CF,BE,CF交于点H,若BC=10

, 8

FC=8,则EC=__________.

5.已知:如图(3),AB=CD,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,且DE=BF,∠D=60°,则∠A=(__________)°.

二、选择题

1.如下图,O是∠BAC内一点,且点O到AB,AC的距离OE=OF,则△AEO≌△AFO的依据是

A.HL B.AAS C.SSS D.ASA

2.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,如下图,那么下列各条件中,不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是

A.AB=A′B′=5,BC=B′C′=3 B.AB=B′C′=5,∠A=∠B′=40°

C.AC=A′C′=5,BC=B′C′=3 D.AC=A′C′=5,∠A=∠A′=40°

3.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是

A.两条直角边对应相等 B.有两条边对应相等

C.一条边和一锐角对应相等 D.一条边和一个角对应相等

三、证明题

1.如下图,CD⊥AD,CB⊥AB,AB=AD,求证:CD=CB

.

2.已知:如下图,CD、C′D′分别是Rt△ABC,Rt△A′B′C′斜边上的高,且CB= C′B′,CD=C′D′.求证:△ABC≌△A′B′C′

.

9

3.如下图,已知∠ABC=∠ADC=90°,E是AC上一点,AB=AD,求证:EB=ED

.

二、直角三角形

班级:___________________________姓名:___________________________ 作业导航

1.直角三角形全等

2.原命题与逆命题

3.勾股定理与勾股定理的逆定理

一、填空题

1.Rt△ABC中,∠C=90°,若a=5,c=13,则b=_________.

2.直角三角形两直角边长分别为6和 8,则斜边上的高为_________.

3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,b=10,则c=_________.

4.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,则a∶b∶c=_________.

5.一个三角形三个内角之比为1∶1∶2,则这个三角形的三边比为_________.

6.在Rt△ABC中,∠C=90°,若a∶b=1∶2,且c=5,则ab=_________.

7.Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,垂足为D,若∠A=60°,AB=4 cm,则CD=_________.

8.若△ABC中,a=b=5,c=52,则△ABC为_________三角形.

9.高为h的等边三角形的边长为_________.

10.对角线长为m的正方形的边长为_________.

11.Rt△ABC中∠C=90°,CD是高,BC=3,AC=4,则BD=_________.

12.“等腰直角三角形三个内角之比为1∶1∶2”,它的逆命题是_____________.

13.△ABC的三边为a、b、c,且满足条件:a2c2-b2c2=a4-b4,试判断三角形的形状.

解:∵a2c2-b2c2=a4-b4 ①

c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2) ②

222 ∴c=a+b③

∴△ABC为直角三角形 ④

上述解答过程中代码_________出现错误;

正确答案应为△ABC是_________三角形.

二、选择题

14.以下各组数为边的三角形中,不是直角三角形的是( ) A.3+1,-1,22

10 B.4,7.5,8.5

C.7,24,25 D.3.5,4.5,5.5

15.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=CB,CD是斜边AB的中线,若AB=22,则点D到BC的距离为( )

A.1 B.2 C.2 D.2 2

16.等边三角形的高为2,则它的面积是( )

A.2 B.4 C.43 3 D.43

三、解答题

17.如图1,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,O是BD与CE的交点,求证:BO=CO

.

图1

18.如图2,一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上,这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么梯足将向外移多少米?

图2

19.折叠矩形纸片ABCD,先折出折痕(对角线)BD,再折叠AD边与对角线BD重合,得折痕DG,如图3所示,若AB=2,BC=1,求AG的长

.

图3

20.下列命题的逆命题是什么,判断它是否正确.

①等腰三角形的两底角相等;

②三角形的三内角之比为1∶1∶2,则三角形为等腰直角三角形;

③三内角之比为1∶2∶3的三角形为直角三角形;

④矩形的两组对边相等.

11

第二章 一元二次方程

§2.1 花边有多宽

导入:(1)x+5=0,x=__________.(2)10x+3=8,x=__________.(3)6x-1=1,x=__________. 2

(4)某村有一块200 m2的长方形空地,已知宽为8 m,设长为x m,求x.

村里面有一块长方形的耕地,面积为300 m2,现在交给王叔来耕,已知耕地的长是宽的3倍,如图:你能帮王叔算算这块地的长和宽吗?

经过刚才的思考,我们可以得出:

300=3x2(S表示长方形面积

)

这个方程的未知数已变成了二次,你会解这个方程吗?

新知:

一、判断题(下列方程中,是一无二次方程的在括号内划“√”,不是一元二次方程的,在括号内划“×”)

1.5x2+1=0 2.3x2+1+1=0 x

23x2?13.4x=ax(其中a为常数) 4.2x+3x=0 5. =2x 52

226.(x?x) =2x 7.|x2+2x|=4

二、填空题

1.一元二次方程的一般形式是__________.

2.将方程-5x2+1=6x化为一般形式为__________.

3.将方程(x+1)2=2x化成一般形式为__________.

4.方程2x2=-8化成一般形式后,一次项系数为__________,常数项为__________.

5.方程5(x2-2x+1)=-32x+2的一般形式是__________,其二次项是__________, 12

一次项是__________,常数项是__________.

6.若ab≠0,则121x+x=0的常数项是__________. ab

7.如果方程ax2+5=(x+2)(x-1)是关于x的一元二次方程,则a__________.

8.关于x的方程(m-4)x2+(m+4)x+2m+3=0,当m__________时,是一元二次方程,当m__________时,是一元一次方程.

三、选择题

1.下列方程中,不是一元二次方程的是

A.2x2+7=0

B.2x2+23x+1=0

C.5x2+1+4=0 x

2+1=0 D.3x2+(1+x)

2.方程x2-2(3x-2)+(x+1)=0的一般形式是

A.x2-5x+5=0 B.x2+5x+5=0

C.x2+5x-5=0 D.x2+5=0

3.一元二次方程7x2-2x=0的二次项、一次项、常数项依次是

A.7x2,2x,0 B.7x2,-2x,无常数项

C.7x2,0,2x D.7x2,-2x,0

4.方程x2-3=(-2)x化为一般形式,它的各项系数之和可能是 A.2 B.- C.2? D.1?2?2

5.若关于x的方程(ax+b)(d-cx)=m(ac≠0)的二次项系数是ac,则常数项为

A.m B.-bd C.bd-m D.-(bd-m)

6.若关于x的方程a(x-1)2=2x2-2是一元二次方程,则a的值是

A.2 B.-2 C.0 D.不等于2

7.若x=1是方程ax2+bx+c=0的解,则

A.a+b+c=1 B.a-b+c=0

C.a+b+c=0 D.a-b-c=0

8.关于x2=-2的说法,正确的是

A.由于x2≥0,故x2不可能等于-2,因此这不是一个方程

B.x2=-2是一个方程,但它没有一次项,因此不是一元二次方程

C.x2=-2是一个一元二次方程

D.x2=-2是一个一元二次方程,但不能解

四、解答题

现有长40米,宽30米场地,欲在中央建一游泳池,周围是等宽的便道及休息区,且游泳池与周围部分面积之比为3∶2,请给出这块场地建设的设计方案,并用图形及相关尺寸表示出来。

13

提高训练:

一、填空题

1.某地开展植树造林活动,两年内植树面积由30万亩增加到42万亩,若设植树面积年平均增长率为x,根据题意列方程_________.

2.某商品成本价为300元,两次降价后现价为160元,若每次降价的百分率相同,设为x,则方程为_____________.

3.小明将500元压岁钱存入银行,参加教育储蓄,两年后本息共计615元,若设年利率为x,则方程为_____________.

4.已知两个数之和为6,乘积等于5,若设其中一个数为x,可得方程为_____________.

5.某高新技术产生生产总值,两年内由50万元增加到75万元,若每年产值的增长率设为x,则方程为___________.

6.某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,且不考虑利息税,到期后本息共计1320元,若设年利率为x,根据题意可列方程_____________.

7.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨,通过优化管理,产量逐月上升,第一季度共生产化工原料60万吨,设一、二月份平均增长的百分率相同,均为x,可列出方程为_____________.

8.方程(4-x)2=6x-5的一般形式为_____________,其中二次项系数为_________,一次项系数为_________,常数项为_________.

9.如果(a+2)x2+4x+3=0是一元二次方程,那么a所满足的条件为___________.

10.如图1,将边长为4的正方形,沿两边剪去两个边长为x的矩形,剩余部分的面积为9,可列出方程为_____________,解得x

=_________.

图1

二、选择题

11.某校办工厂利润两年内由5万元增长到9万元,设每年利润的平均增长率为x,可以列方程得( )

A.5(1+x)=9

B.5(1+x)2=9

C.5(1+x)+5(1+x)2=9

D.5+5(1+x)+5(1+x)2=9

12.下列叙述正确的是( )

A.形如ax2+bx+c=0的方程叫一元二次方程

B.方程4x2+3x=6不含有常数项

C.(2-x)2=0是一元二次方程

D.一元二次方程中,二次项系数一次项系数及常数项均不能为0

14

13.两数的和比m少5,这两数的积比m多3,这两数若为相等的实数,则m等于( )

A.13或1 B.-13 C.1 D.不能确定

14.某超市一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的营业额共1000万元,如果平均每月的增长率为x,则根据题意列出的方程应为( )

A.200(1+x)2=1000

B.200+200×2x=1000

C.200+200×3x=1000

D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000

三、解答题

15.某商场销售商品收入款:3月份为25万元,5月份为36万元,该商场4、5月份销售商品收入款平均每月增长的百分率是多少?

16.如图2,所示,某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144 m2,求甬路的宽度

.

图2

17.直角三角形的周长为2+6,斜边上的中线为1,求此直角三角形的面积.

§2.2 配方法

§2.2.1 配方法(一)

导入:

解方程:(1)x2=4 (2)x2=16 (3)2x2=32 (4)2x2=82

.

解方程:

(5)(x+1)2=0 (6)2(x-1)2=0 (7)(2x+1)2=0 (8)(2x-1)2=1

15

由此,我们想到了以前学过的配完全平方,这节课我们就来具体学习一下用配方法解一元二次方程.

§2.2.1 配方法(一)新知:

一、填空题

1.方程x2=16的根是x1=__________,x2=__________.

2.若x2=225,则x1=__________,x2=__________.

3.若x2-2x=0,则x1=__________,x2=__________.

4.若(x-2)2=0,则x1=__________,x2=__________.

5.若9x2-25=0,则x1=__________,x2=__________.

6.若-2x2+8=0,则x1=__________,x2=__________.

7.若x2+4=0,则此方程解的情况是____________.

8.若2x2-7=0,则此方程的解的情况是__________.

9.若5x2=0,则方程解为____________.

10.由7,9两题总结方程ax2+c=0(a≠0)的解的情况是:当ac>0时__________________;当ac=0时__________________;当ac<0时__________________.

二、选择题

1.方程5x2+75=0的根是

A.5 B.-5

C.±5 D.无实根

2.方程3x2-1=0的解是

A.x=±1 3 B.x=±3

C.x=±3 3 D.x=±

3.方程4x2-0.3=0的解是

16

A.x?.075

C.x1?0.27 x2??0.27 4.方程A.x=

1

20

11

D.x1?30 30 x2??

2020

B.x??

527

x?=0的解是 22

B.x=±

7 57 57 5

C.x=±

5

D.x=±

5.已知方程ax2+c=0(a≠0)有实数根,则a与c的关系是 A.c=0 B.c=0或a、c异号 C.c=0或a、c同号 D.c是a的整数倍 6.关于x的方程(x+m)2=n,下列说法正确的是 A.有两个解x=±n

B.当n≥0时,有两个解x=±n-m C.当n≥0时,有两个解x=±n?m D.当n≤0时,方程无实根 7.方程(x-2)2=(2x+3)2的根是 A.x1=-C.x1=

1

,x2=-5 3

B.x1=-5,x2=-5 D.x1=5,x2=-5

1

,x2=5 3

三、解方程

1.x2=0 2.3x2=3 3.2x2=6 4.x2+2x=0 5.

§2.2.2 配方法(二)

一、填空题

1.a =__________,a2的平方根是__________.

2.用配方法解方程x2+2x-1=0时 ①移项得__________________ ②配方得__________________ 即(x+__________)2=__________

③x+__________=__________或x+__________=__________ ④x1=__________,x2=__________ 3.用配方法解方程2x2-4x-1=0

17

2

1

(2x+1)2=3 6.(x+1)2-144=0 2

①方程两边同时除以2得__________

②移项得__________________

③配方得__________________

④方程两边开方得__________________

⑤x1=__________,x2=__________

二、解答题

1.将下列各方程写成(x+m)2=n的形式

(1)x2-2x+1=0

(2)x2+8x+4=0

(3)x2-x+6=0

2.将下列方程两边同时乘以或除以适当的数,然后再写成(x+m)2=n的形式

(1)2x2+3x-2=0 (2)12x+x-2=0 4

3.用配方法解下列方程

(1)x2+5x-1=0

(2)2x2-4x-1=0 (3)

§2.3 公式法

一、填空题

1.配方法解一元二次方程的基本思路是:

(1)先将方程配方

(2)如果方程左右两边均为非负数则两边同时开平方,化为两个__________

(3)再解这两个__________

2.用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)时:

∵a≠0,方程两边同时除以a得__________________,

移项得__________

配方得__________

即(x+__________)2=__________

当__________时,原方程化为两个一元一次方程__________和__________

∴x1=__________,x2=____________

3.利用求根公式解一元二次方程时,首先要把方程化为__________,确定__________的值,当__________时,把a,b,c的值代入公式,x1,2=____________求得方程的解.

4.方程3x2-8=7x化为一般形式是________,a=__________,b=__________,c=__________,方程的根

x1=__________,x2=__________.

二、选择题

1.用公式法解方程3x2+4=12x,下列代入公式正确的是

12x-6x+3=0 4

18

12?2?3?4A.x1、2= 2

?12?2?3?4B.x1、2= 2

12?2?3?4C.x1、2= 2

?(?12)??(?12)2?4?3?4D.x1、2= 2?3

2.方程x2+3x=14的解是

A.x=3?65 2

3?23 2 B.x=?3?65 2?3?23 2C.x= D.x=

3.下列各数中,是方程x2-(1+5)x+5=0的解的有

①1+ ②1- ③1 ④-

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

4.方程x2+(?2)x+6=0的解是

A.x1=1,x2=6

B.x1=-1,x2=-6 D.x1=-2,x2=- C.x1=2,x2=

三、用公式法解下列各方程

1.5x2+2x-1=0 2.6y2+13y+6=0 3.x2+6x+9=7

四、你能找到适当的x的值使得多项式A=4x2+2x-1与B=3x2-2相等吗?

§2.4 分解因式法

一、填空题

19

1.如果两个因式的积是零,那么这两个因式至少有__________等于零;反之,如果两个因式中有__________等于零,那么它们之积是__________.

2.方程x2-16=0,可将方程左边因式分解得方程__________,则有两个一元一次方程____________或____________,分别解得:x1=__________,x2=__________.

3.填写解方程3x(x+5)=5(x+5)的过程

解:3x(x+5)__________=0

(x+5)(__________)=0

x+5=__________或__________=0

∴x1=__________,x2=__________

4.用因式分解法解一元二次方程的关键是

(1)通过移项,将方程右边化为零

(2)将方程左边分解成两个__________次因式之积

(3)分别令每个因式等于零,得到两个一元一次方程

(4)分别解这两个__________,求得方程的解

5.x2-(p+q)x≠qp=0因式分解为____________.

6.用因式分解法解方程9=x2-2x+1

(1)移项得__________;

(2)方程左边化为两个平方差,右边为零得__________;

(3)将方程左边分解成两个一次因式之积得__________;

(4)分别解这两个一次方程得x1=__________,x2=__________.

二、选择题

1.方程x2-x=0的根为

A.x=0

B.x=1

C.x1=0,x2=1

D.x1=0,x2=-1

2.方程x(x-1)=2的两根为

A.x1=0,x2=1 B.x1=0,x2=-1

C.x1=1,x2=-2 D.x1=-1,x2=2

3.用因式分解法解方程,下列方法中正确的是

A.(2x-2)(3x-4)=0 ∴2-2x=0或3x-4=0

B.(x+3)(x-1)=1 ∴x+3=0或x-1=1

C.(x-2)(x-3)=2×3 ∴x-2=2或x-3=3

D.x(x+2)=0 ∴x+2=0

4.方程ax(x-b)+(b-x)=0的根是

A.x1=b,x2=a

C.x1=a,x2= B.x1=b,x2=1 a1 bD.x1=a2,x2=b2

5.已知a2-5ab+6b2=0,则ab?等于 ba

111111A.2 B.3 C.2或3 D.2或3 232332

三、解方程

20

1.x2-25=0 2.(x+1)2=(2x-1)2 3.x2-2x+1=4 4.x2=4x

四、求证

如果一个一元二次方程的一次项系数等于二次项系数与常数项之和,则此方程必有一根是-1.

三、公式法与分解因式法

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1.一元二次方程的求根公式

2.因式分解法解一元二次方程

一、填空题

1.关于x的方程(m-3)xm2?7-x=5是一元二次方程,则m=_________.

2.2x2-2x-5=0的二根为x1=_________,x2=_________.

3.当x=______时,代数式x2-3x的值是-2.

4.方程x2-5x+6=0与x2-4x+4=0的公共根是_________.

5.已知y=x2+x-6,当x=_________时,y的值等于0;当x=_________时,y的值等于24.

6.2-3是方程x2+bx-1=0的一个根,则b=_________,另一个根是_________.

7.已知方程ax2+bx+c=0的一个根是-1,则a-b+c=___________.

8.已知x2-7xy+12y2=0,那么x与y的关系是_________.

9.方程2x(5x-)+2 (-5x)=0的解是x1=_________,x2=_________.

10.方程x2=x的两根为___________.

二、选择题

11.下列方程中不含一次项的是( )

A.3x2-8=4x

C.x(x-1)=0 B.1+7x=49x2 D.(x+3)(x-3)=0

12.2x(5x-4)=0的解是( )

4 5

4C.x1=0,x2= 5A.x1=2,x2= 5 414D.x1=,x2= 25B.x1=0,x2=

13.若一元二次方程(m-2)x2+3(m2+15)x+m2-4=0的常数项是0,则m为( )

A.2 B.±2 C.-2 D.-10

14.方程2x2-3=0的一次项系数是( )

A.-3 B.2 C.0 D.3

15.方程3x2=1的解为( )

21

A.±

1 3

B.±3

C.

1 3

D.±

3 3

16.下列方程中适合用因式分解法解的是( ) A.x2+x+1=0 B.2x2-3x+5=0 C.x2+(1+2)x+2=0

D.x2+6x+7=0

17.若代数式x2+5x+6与-x+1的值相等,则x的值为( ) A.x1=-1,x2=-5 B.x1=-6,x2=1 C.x1=-2,x2=-3 D.x=-1

2

18.已知y=6x-5x+1,若y≠0,则x的取值情况是( )

1

且x≠1 61C.x≠

3

A.x≠A.x=

1 211D.x≠且x≠

23

B.x≠B.x=-3或x=D.x=-

19.方程2x(x+3)=5(x+3)的根是( )

5

2

5 2

C.x=-3

5

或x=3 2

三、解下列关于x的方程 20.x2+2x-2=0

21.3x2+4x-7=0

22.(x+3)(x-1)=5

23.(3-x)2+x2=9

24.x2+(2+3)x+6=0

25.(x-2)2+42x=0

26.(x-2)2=3

27.随着城市人口的不断增加,美化城市,改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容,某城市计划到2004年末要将该城市的绿地面积在2002年的基础上增加44%,同时要求该城市到2004年末人均绿地的占有量在2002年的基础上增加21%,当保证实现这个目标,这两年该城市人口的年增长率应控制在多少以内.(精确到1%)

22

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