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图形(三)

发布时间:2013-12-25 15:48:25  

图形(三)

在生活中,我们经常遇到各种图形。如何对图形进行识别、分类,并找出其中的规律呢?这就是本节要学习的内容。

例1 右图中共有多少个三角形?

分析与解答 观察右图,可以发现底边AE上有多少条线段就有多少个

三角形。

1+2+3+4=10(个)

答:共有10个三角形。

如果底边被分成n段,那么共有三角形的个数为:1+2+3+4+…+n=

请大家思考一下,右图中共有多少个三角形?

答案是15个。你能数对吗?

例2 左图中大大小小的等边三角形共有多少个?

分析与解答 图中重叠的三角形较多,一个个数下去,很容易丢失或

重复,必须分类数。一类是顶点向上的大小不同的等边三加形,另一类是

顶点向下的等边三角形。先数顶点向上的等边三角形的个数:

14×(1+4)⑴ 边长为的:1+2+3+4= =10(个) 42

23×(1+3)⑵ 边长为的:1+2+3==6(个) 42

32×(1+2)⑶ 边长为的:1+2==3(个) 42

⑷ 边长为1的:1(个)

共有1+3+6+10=20(个)

再数顶点向下的三角形个数:

13×(1+3)⑴ 边长为的: 1+2+3= =6(个) 42

1⑵ 边长为的:1(个) 2

共有1+6=7(个) ,

答:共有三角形27个。

如果把本题推广,一个大等边三角形的边长被分成八等分,这样尖向上的等边三角形有多少个?如果要是n等分呢?答案是:

2×(1+2)3×(1+3)4×(1+4)8×(1+8)⑴ 1++++…+=60(个)

2222n(n+1)。 2

⑵ 1+

2×(1+2)3×(1+3)4×(1+4)n×(1+n)

+++…+2222

同学们!你们悟到这个规律了吗?

例3 如图中4条横线与11条竖线相交,共有多少个

长方形?

分析与解答 横看第一行:2条横线,11条竖线共有长方形的个数为

10×(1+10)

1+2+3+…+9+10= =55(个)

2

竖看每一小列共有长方形为:1+2+3=6(个),那么总计有长方形个数为: (1+2+3+…+9+10)×(1+2+3)=

10×(1+10)3×(1+3)

×=330(个)

22

如推广,用m表示竖线的条数,n表示横线的条数,那么所组成的长方形总数为

(m-1)·mn·(n-1)

·

22

例4 图中共有多少个正方形?

分析与解答 依然用分类法数正方形的个数。最小面积正方形为第一类,

依次排下去。第一类有4×4=16(个);第二类有3×3=9 (个),注意这每个正方形由4个小正方形组成,数时不要丢失中间重叠部分;第三类有4个;第四类有1个。总计有16+9+4+1=30(个)。

如果是5×5的正方形(如图)共有多少个正方形?很显然为52+42+32+22

+12(个)。

总结规律如下:如果一个大正方形横竖各被n-1条直线切成每边是n个小正方形,那么这个图形中共有正方形的个数为:n2+(n-1)2+…+32+22+12 (其中n表示正方形每边被切成小正方形的个数)。

如果不是正方形而是长方形该有多少个小正方形?请同学们自己想一想。

例5 图为一正方形ABCD,将各边3等分,连接各分点。求:⑴有多少个三角形?⑵有多少个正方形?⑶有多少个长方形(包括正方形)?

分析与解答 本题较为复杂,分类解决较好。

⑵利用前几题的经验,先计算正的正方形个数,32+22+12=14(个),再计算斜的正方形个

数(4×2+3×1)+(4×2+3×l)-(22+12)=17(个),所以共有正方形14+17=31(个)。

⑶长方形的计算依照用前几例的经验,先算正的长方形(1+2+3)×(1+2+3)=36(个);再算斜的长方形,依然分两组计算,(1+2+3+4)×(1+2)+(1+2+3+4)×(1+2)=60(个);中间重叠部分(1+2)×(1+2)=9(个)。因此,长方形总个数为60-9+36=87(个)。这里须注意,长方形包括正方形。

例6 图中共有多少个梯形。

分析与解答 如果直接去数梯形,依然是不聪明的办法。最好

的方法是先数出长方形及梯形总数,再减去长方形的个数。

如图。长方形和梯形总数为(1+2+3+4+5+6)×(1+2)=

63(个),长方形个数为(1+2+3)×(1+2)=18(个) ,梯形总数为63

-18=45(个)。

例7 图中共有多少个长方体?

分析与解答 从长、宽、高三个角度考虑,分别为,(1+2+

3+4),(1+2),(1+2+3)因此,所有长方体总数为:(1+2+3

+4)×(1+2)×(1+2+3)=180(个)

例8 用5条直线最多把平面分为多少部分?

分析与解答 先由简单开始,一条直线将平面分成2部分,二条直线分成

4部分,三条直线最多分成7部分,四条直线分成11部分,在此基础上,再画一

条直线。那么四条直线共有4个交点,于是第五条直线被切成(4+1)份。那么

共分成11+5=16(部分)

列表如下:

因此,通过一步一步地递推:1,[1+(0+1)],[1+(0+1)+(1+1)],[1+(0+1)+(1+1)+(2+1)],……,即1,(1+1),(1+1+2),(1+1+2+3),(1+1+2+3+4),(1+1+2+3+4+5)……,我们得到n条直线最多把平面分成1+1+2+…+n=1n(n+1)+部分。 2

习 题

(1) 图中共有多少个锐角?

(2) 图中包含﹡号的长方形有多少个?

(3) 图中共有多少个三角形?

(4) 数出下图中三角形的个数。

⑴ ⑵ ⑶

(5) 含五角星的正五边形中,(如图),共含有多少个三角形?

(6) 在平面上画20个圆,这20个圆最多将平面分成多少部分?

(7) 由27个单位正方体拼成一个大正方体,问共有多少个长方体(要

求不包括正方体)?

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