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北师大《能得到直角三角形吗》“同步课堂”

发布时间:2013-12-27 10:45:20  

八年级上同步教学资料

第一章 勾股定理 1.2 能得到直角三角形吗?

一.教学目标与要求:

1.经历探索勾股定理的逆定理的过程,发展合情推理能力,体会由特殊到一般及数形结合思想。

2.掌握勾股定理及其逆定理,能运用它们解决一些实际问题。

二. 重点与难点

(一)重点

1. 掌握勾股定理的逆定理。

2. 把勾股定理和勾股定理的逆定理学好并能解决一些简单的问题。

(二)难点

1. 掌握好勾股定理的逆定理。

3. 能熟练的区分勾股定理和勾股定理的逆定理。

4. 能把勾股定理和勾股定理的逆定理运用于实际,解决实际问题。

三.典型例题

例1 如图,已知:△ABC中,CH是AB边上的高,且CH=AH·BH

试判断△ABC的形状。

分析:这里有直角三角形、有CH、可先用勾股定理以了解三边平方的关系 解:∵Rt△ACH中,AC=AH+CH

Rt△BCH中,BC=BH+CH

∴两式相加得,AC+BC=AH+BH+2CH=AH+BH+2AH·BH

=(AH+BH)=AB

∴△ABC为直角三角形

说明:本题最后一步是利用的勾股逆定理。

例2 如图,已知:在△ABC中,CD是AB边上的高,且CD2=AD.BD,求证:△ABC是直角三角形。

22222222222222222B

点析:勾股定理的逆定理,是另一种判别“直角三角形”的方法,它仅仅依据三边的长度之间的数量关系,而不必计算角度的大小。

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2222例3 已知:在△ABC中,a=m-n,b=2mn,c=m+n,其中m、n是正整数,且m>n。

试判断△ABC的形状。

分析:首先要确定最大边,然后再用直角三角形判别条件

解:由题意可知,c>b,c>a

∵a+b=(m-n)+(2mn)=m-2mn+n+4mn=m+2mn+n=(m+n)=c

∴△ABC是直角三角形。

说明:事实上,上例提供了一种寻找勾股数组(有无数组)的方法。另外还有2n+1、2n+2n、2n+2n+1;2n、n-1、n+1,也都是勾股数组,你会证明吗?

例4 若△ABC的三边满足条件:a?b?c?338?10a?24b?26c,试判断△ABC的形状。

解: 原式变形得,a?b?c?338?10a?24b?26c?0

∴(a?5)?(b?12)?(c?13)?0

∴a?5 ,b?12,c?13

∵a?b?169?c

∴△ABC是直角三角形,且∠C是直角。

说明:当方程有多个未知数时,一般先进行恒等变形,挖掘隐含条件

1例5 如图,正方形ABCD中,E为AD的中点,G为DC上一点,且DG= ,请问:BE与EG4

垂直吗?为什么?

分析:连结BG,运用勾股逆定理证△BEG为直角三角形

解:连结BG,设DG=x (以便数形结合,用代数方法判别)

则DC=4a,ED=2a,AE=2a,AB=4a。

∵Rt△ABE中,BE=AB+AE=20a,

Rt△EDG中,EG=5a,

Rt△BCG中,BG=BC+CG=25a

∴△BEG中,BG=BE+EG

∴△BEG为直角三角形,BE⊥EG

说明:这种用设未知数的代数方式证明几何问题的方法在数学中经常用到。 2222222222222222222222242242242242222222222222222AEGB四、巩固练习

1、 判断

(1)在△ABC中,若a=b-c,则△ABC为直角三角形。 ( )

2、选择

(1)从长度分别为9cm,12cm,15cm,36cm,39cm的五根木棒中,选出三根首尾连接,能组成直角三角形的个数为 ( )

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(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

(2)△ABC的三边a、b、c满足:a3?a2b?ab2?ac2?bc2?b3?0,则△ABC的形状

为( )

(A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等边三角形 (D)等腰直角三角形

2、 填空

(1)请完成以下未完成的勾股数:9、40、 , 8、 、17。

(2)一个三角形的三边为0.9,1.5,1.2,这个三角形的面积为 。

4、解答:

(1)如图,已知:AB=4,BC=12,CD=13,DA=3,AB⊥AD。问:BC⊥BD

吗?为什么?

(2) 如图,直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系?

五、中考题选讲

1、(本小题满分14分)

据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连结得一个直角三角形,如果勾是三、股是四,那么弦就等于五。后人概括为“勾三、股四、弦五”。

(1)、观察:3,4,5; 5,12,13; 7,24,25;??,发现这些勾股数的勾都.是奇数,且从3起就没有间断过。计算1111(9?1)、(9?1)与(25?1)、(25?1),2222

并根据你发现的规律,分别写出能表示7,24,25的股和弦的算式;(4分) ..

(2)、根据(1)的规律,用n(n为奇数且、...n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾.股、弦,合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明;(12分) ..

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(3)、继续观察4,3,5; 6,8,10; 8,15,17;??,可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过。运用类似上述探索的方法,直接用m(m为偶数且...

和弦。(14分) m>4)的代数式来表示他们的股..

考生注意:除第(2)小题中已发现的相等关系之外,你还有其他新的发现,并能正确证明,

将酌情另加1~3分。(2004年福建省三明市初中毕业、升学考试)

解:

1、(14分)本小题是研究勾股数,考查学生观察、分析、类比、猜想、验证和证明。

1111(9?1)?4,(9?1)?5;(25?1)?12,(25?1)?13; 2222

112∴7,24,25的股的算式为(49?1)?7?1 22

112 弦的算式为(49?1)?7?1…………………….4分 22

(2)、当n为奇数且n≥3,勾、股、弦的代数式分别为:

121 n, n?1,n2?1。……………………………………….7分 22解:(1)、∵????????

例如关系式①:弦-股=1;关系式②:勾?股?弦????? 9分

证明关系式①:弦-股=

或证明关系式②:

21111?1?勾?股?n??n2?1??n4?n2??n2?1?弦2 4244?2?22222212112n?1?n2?1?n?1?n2?1?1 222????????????2??

∴猜想得证。………………………………………………………………12分

(3)、例如探索得,当m为偶数且m>4时,股、弦的代数式分别为:

?m??m????1,???1………………………………………….…14分 ?2??2?

另加分问题,

例如:连结两组勾股数中,上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股。 即上一组为:n, 22121n?1,n2?1(n为奇数且n≥3), 22????

分别记为:A1、B1、C1,

下一组为:n?2, 1?n?2?2?1,1?n?2?2?1 (n为奇数且n≥3), 22????

分别记为:A2、B2、C2,

则:A1+B1+ A2=n+12112n?1+(n?2)=n2?4n?3=?n?2??1= B2。 222??????

或B1+ C2= B2+ C1(证略)等等。

评阅注意:

①本题(2)、(3)和另加分的解答,仅仅是提供一种参考案例。

②考生只要有一个新的再发现(2分),并能正确证明(1分),均属另加分范围。

注:由于考生学习经验和思考角度不同,所提出的新结论和证明必然是多样化、多层次本站部分信息资源来源于网络,仅供学习|研究|探讨|收藏之用,版权归原作者所有,如有侵权,来信删除!

的,应尊重各层次考生经独立思考后的想法,保护考生的创新意识。

五、参考答案

1 对

2(2)B (3)A

3(1)41,15 (2)0.54

4 略

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