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数学问题

发布时间:2013-12-27 15:56:15  

如图,形如量角器的半圆O的直径DE=12cm,形如三角板的△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=12cm,半圆O以1cm/s的速度从左向右运动,在运动过程中,点D、E始终在直线BC上,设运动时间为t(s),当t=0(s)时,半圆O在△ABC的左侧,OC=8cm.

(1)当t=0(s)时,点A在半圆O

,当t=8(s)时,点A在半圆O

(2)当t为何值时,△ABC的边AC与半圆O相切?

(3)当t为何值时,△ABC的边AB与半圆O相切?

考点:直线与圆的位置关系;点与圆的位置关系. 专题:动点型.

分析:(1)根据线段AC的长度可知当t=0(s)时,点A在半圆外,介绍可知AC>6,所以当t=8时点A在半圆外;

(2)△ABC的边AC与半圆O相切有2个位置,当点E与点C重合时,AC与半圆O所在的圆相切,所求运动时间为t=2;当点D与点C重合时,AC与半圆O所在的圆相切,所求运动时间为t=14;

(3)过C点作CF⊥AB,交AB于F点,当半圆O与△ABC的边AB相切时,圆心O到AB的距离等于6cm,且圆心O又在直线BC上,即当O点运动到C点时,半圆O与△ABC的边AB相切,此时点O运动了8cm,所求运动时间为t=8. 解答:解:(1)当t=0(s)时,点A在半圆O外. ∵AC>6,

∴当t=8时,点A在半圆O外.

(2)①如图1,当点E与点C重合时,AC⊥OE,OC=OE=6cm,AC与半圆O所在的圆相切,

此时点O运动了2cm,

所求运动时间为t=

2 1

=2(s);

②如图2,当点D与点C重合时,AC⊥OD,OC=OD=6cm,AC与半圆O所在的圆相切,

此时点O运动了14cm,所求运动时间为t=

14 1

=14(s)

(3)③如图3,过C点作CF⊥AB,交AB于F点; ∵∠ABC=30°,BC=12cm,

∴OC=6cm;

当半圆O与△ABC的边AB相切时,

又圆心O到AB的距离等于6cm,

且圆心O又在直线BC上,

∴O与C重合,

即当O点运动到C点时,半圆O与△ABC的边AB相切; 此时点O运动了8cm,所求运动时间为t=

8 1

=8(s).

④当点O运动到B点的右侧,且OB=12cm时,过点O作OQ⊥直线AB,垂足为Q.

在Rt△QOB中,∠OBQ=30°,则OQ=6cm,

即OQ与半圆O所在的圆相切.此时点O运动了32cm. 所求运动时间为:t=32÷1=32s

答:当t等于2s或14s时,AC与半圆O所在的圆相切. 当t等于8s或32s时,AB与半圆O所在的圆相切.

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