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立体几何初步复习课设计

发布时间:2013-12-29 11:54:06  

立体几何初步复习课设计

【数学分析】

几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科,体现了转化与化归的重要数学思想。

本章先从对空间几何体的整体观察入手,认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,能画出空间图形的三视图与直观图;再以长方体为载体,直观认识和理解空间点、线、面的位置关系,能把自然语言转化为图形语言和符号语言;能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定,并能进行线、面之间平行与垂直的相互转化;最后探究一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。培养学生的空间想像能力,即空间形体的观察分析和抽象的能力,要求是“四会”:①会识图——根据题目给出的图形,想象出立体的形状和有关线面的位置关系;②会画图——根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面),作出的图形要直观、虚实分明;③会析图——对图形进行必要的分解、组合;④会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术.有助于发展学生的推理论证能力、语言交流的能力以及几何直观能力。

现代几何学已经与其他数学有了非常紧密的联系,如几何与方程理论、几何与函数理论、几何与群理论、几何与现代物理学。

【基本定位】

几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科,体现了转化与化归的重要数学思想。对于柱、锥、台、球及其简单几何体的结构特征、空间几何体的三视图和直观图都是从形的角度研究现实世界中的物体;对于几何体的大小,主要是根据公式,计算球、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台的表面积和体积;而位置关系主要包括直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系。要能进行线、面之间平行与垂直的相互转化;以及能把自然语言转化为图形语言和符号语言。

“立体几何初步”所培养的几何直观的思想对今后学习线性规划很重要,对于希望在理工科方面发展的学生,在选修2中将学习用向量来进一步探索、证明和计算空间图形的几何性质和度量关系。

【重点分析】

本章的教学重点是各知识点间的网络关系,空间中线面平行、垂直关系的有关性质与判定,以及帮助学生逐步形成空间想像能力。将转化与化归的数学思想贯穿本节课的始终。

【学情分析】

本章知识内容与义务教育阶段“空间与图形”部分联系密切,在义务教育阶段学生对正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等份都有了直观认识;会画直棱柱、圆柱、圆锥与球的三视图,会判断简单物体的三视图,能根据展开图描述基本几何体或实物原型;了解直棱柱、圆锥的侧面展开图,能根据展开图判断和制作立体模型;能够求解正方体、长方体、圆柱、圆锥的表面积与体积;能够利用基本几何体与其三视图、展开图之间的关系解决现实生活中的简单问题。本章对柱体、锥体、台体以及球体的研究更加深入,给出了它们的结构特征。

【教学方法】

建构主义理论认为:学生是知识的主动接受者、知识的主动建构者。知识不是通过教师传授得到,而是学习者在一定的情境即社会文化背景下,借助学习是获取知识的过程,其他人(包括教师和学习伙伴)的帮助,利用必要的学习资料,通过意义建构的方式而获得。建构主义提倡在教师指导下的、以学习者为中心的学习,也就是说,既强调学习者的认知主体作用,又不忽视教师的指导作用,教师的角色由舞台上的主角变成幕后的导演,教师是意义建构的帮助者、促进者,而不是知识的传授者与灌输者。

本章内容的设计遵循从整体到局部、具体到抽象的原则,教师应提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现的空间几何体,帮助学生认识空间几何体的结构特征,使用具体的长方体的点、线、面关系作为载体,使学生在直观感知的基础上,认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系;通过对图形的观察、实验和说理,使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法,学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系,并能解决一些简单的推理论证及应用问题。在教学中,要充分发挥学生的主体地位,注重培养学生探索新知识的经历和获得新知的体验,以及科学的研究方法,体现认知规律,调动学生的主动性和积极性,使数学教学成为数学活动的教学,激发学生学习数学的兴趣,提高学生分析问题、解决问题的能力,提高学生合作交流精神和数学地表达能力,培养他们的创新意识和科学研究精神。

【学法指导】

建构主义提倡学生主动建构客观事物及其关系的表征,但这种建构不是外界刺激的直接反应,而是通过己有的认知结构(包括原有知识经验和认知策略)对新信息进行主动加工而建构成的。以问题为载体,在教师的引导和帮助下,激发学生的学习兴趣和探索欲望,在探究性学习中使学生经历学数学、用数学进而发现问题走向新的学数学、用数学的过程,培养学生主动参与,自主探究,合作学习,分析和研究问题,制定解决问题的策略,选择解决问题的方法。

【教学流程】 学生

教师 第 一 课 时

教学目标

1、知识与技能

(1)使学生掌握知识结构与联系,进一步巩固、深化所学知识。

(2)通过对知识的梳理,提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。

2、过程与方法

利用框图和表格对本章知识进行系统的小结,直观、简明再现所学知识,化抽象学习为直观学习,易于识记;同时凸现数学知识的发展和联系。

3、情态与价值

学生通过知识的整合、梳理,理清空间点、线面间的位置关系及其互相联系,进一步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。

教学重点、难点

根据《高中数学新课程标准》和教学大纲的要求,结合学生的基本情况,我对教学重点、难点确立如下:

重点:各知识点间的网络关系.

难点:空间点、线面间的位置关系及其互相联系.

教学设计

一、知识结构框图

二、主要知识归纳

1.几种常见简单多面体之间的关系图

特殊地四棱柱之间的关系图:

侧棱与底面边长相等 2.简单几何体的面积和体积公式

(1)柱、锥、台体的侧面积关系

(2

注:S表示侧面积,c′、c分别表示上、下底面周长,h表斜高,h′表示斜高。

S锥、台体的高。

(3)球体的表面积和体积公式

注:S上、S下分别表示台体上、下底面面积,S表示柱体和锥体的底面面积,h

表示柱、

43?R 3

3.一些简单几何体的概念和主要性质 S球?4?R2 V球?

(2)旋转体的概念和主要性质

设计意图:让学生构建本章的知识网络,使知识体系由点到面,把教材由厚读薄。 师生活动:教师提前布置任务,可以以学案的形式提前发给学生,要求每位学生先自己独立完成,然后四个学生组成一个小组互相探讨,接着班级四个小组的小组长选出本组最优秀的作品在课堂上展示,展示时选出一名学生代表与全班同学交流,四个小组展示完后,其他小组可以补充完善,最后教师进行点评。

三、应用深化

例1.下图是一几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图. (1)若F为PD的中点,求证:AF⊥面PCD; (2)求几何体BEC-APD的体积.

设计意图:由三视图想象出原几何体的形状,并由相关数据得出几何体中的量,进而求得表面积或体积.

教师活动:引导学生先由三视图想象出原几何体的形状,在还原时注意“长对正,宽相等,高平齐”。然后引导学生思考如何求不规则几何体的体积的方法,接着让一名学生在黑板上进行板演,最后教师点评。此题完成后,教师进一步引导学生进行归纳总结:(1)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体变化为规则几何体,易于求解.(2)求几何体的体积问题,可以多角度、多方位地考虑问题,对三棱锥,等体积转化法是常用的方法,转换底面的原则是使其高易求,常把底面放在已知几何体的某一面上.

解析:(1)由几何体的三视图可知,底面ABCD是边长为4的正方形,PA⊥平面ABCD,PA∥EB,PA=2EB=4.∵PA=AD,

F

为PD的中点,∴PD⊥AF.又∵CD⊥DA,CD⊥PA,∴CD⊥AF.∴AF⊥平面PCD.

111180

(2) VBEC-APD=VC-APEB+VP-ACD=××(4+2)×4×4+.

32323

例2.如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.

设计意图:通过此题使学生学会求旋转体的表面积和体积.

教师活动:引导学生先分析阴影部分旋转后形成几何体的形状, 再将图形进行合理的分割,分割成熟悉的简单几何体,然后利用有关公式进行计算,最后师生共同完成计算过程.

解:如图所示,过C作CO1⊥AB于O1,在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,∴AC=3R,BC=R,∴S球=4πR, 23R?R?πR2,S圆锥BO1侧?π?R?R?πR2,2222 3311?3?S几何体表?S球?S圆锥AO1侧?S圆锥BO1侧?4πR2?πR2?πR2?πR2,222

11?3?旋转所得到的几何体的表面积为πR2. 2S圆锥AO1侧?π?

又V球?

?V几何体41111πR3,V圆锥AO1??AO1?πCO2πR2?AO1,V圆锥BO1?BO1?πCO2?πR2?BO11?133434415?V球?(V圆锥AO1?V圆锥BO1)?πR3?πR3?πR3.326

例3.已知?ABC的平面直观图?A?B?C?是边长为a的正三角形,那么原?ABC的面积为_______.

设计意图:本题给出了直观图图形的边长,求原图形的面积,主要考查学生逆向思维对斜二测画法的理解和掌握程度。通过此题使学生学会原图形与直观图之间如何进行转化,明确斜二测画法的原理,并且能够逆向思考问题.

教师活动:教师先让学生四个人组成一个小组进行讨论,学生在开始求解过程中容易将直观图中坐标系里的坐标原点放在正三角形底边的左端点或底边的中点,这样难于求解,教师可以在巡回指导过程中引导学生将直观图中正三角形的顶点A?放在O?y?轴上,最后让一名学生在讲台上展示自己的成果。正确答案为2a.当然,本题作为选择题,也可以直2

2倍. 4接利用以下结论求解:采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的

变式:给出正三角形的边长,求其直观图的面积。

例4.如图所示,球面上有四个点P、A、B、C,如果PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,这个球的表面积是_______.

设计意图:这是球的内接几何体问题,球的组合体、球面距离以及球外接(内切或外切)几何体等问题是近几年高考常考的内容。

教师活动:引导学生分析,并寻找解决问题的思路。最后教师归纳总结:涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面,把空间问题化归为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系.此类问题常用结论:①长、宽、高

分别为a、b、c的长方体的体对角线长等于外接球的直径,即a+b+c=2R;②棱长为a的正方体的体对角线等于外接球的直径,即3a=2R. 若球面上四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,则4R2=a2+b2+c2,把有关元素“补形”成为一个球内接长方体(或其他图形),从而显示出球的数量特征,这种方法是一种常用的好方法.本题也可将P—ABC补成一个正方体,由对称性可知,正方体内接于球,则球的直径就是正方体的对角线,易得球半径R=a,下略. 2

解:如上图,设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r,圆心为O′,球心O到该圆面的距离为d。在三棱锥P—ABC中,∵PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,∴AB=BC=CA=2a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′。由正弦定理得

2a6=2r,∴r=a。又根据球的截面的性质,有OO′⊥平面ABC,而PO′⊥平面sin60?3

222ABC,∴P、O、O′共线,球的半径R=r?d。又PO′=PA?r=a?22322a=a,33

∴OO′=R -

R2=3πa2. 33a=d=R?r,(R-223a)2=R2 – (62a),解得R=a,∴S球=4π32

四、反馈总结

通过本节课你学到了哪些数学知识?哪些数学方法和技巧?哪些数学思想?教师先让学生思考,然后叫一名学生回答,其他学生补充完善,在学生回答过程中,教师及时给予点评,好的方面要给予表扬。

五、作业设计

1.练习:复习题一A组1、2、3、4、5,B组1、2

2.作业:复习题一A组11、12、13、14,B组第5题

3.课外探究:复习题一C组第3题

第 二 课 时

教学目标

1、知识与技能

(1)使学生掌握和熟练应用空间线面之间的平行关系的判定和性质。

(2)使学生掌握和熟练应用空间线面之间的垂直关系的判定和性质。

2、过程与方法

利用表格对空间线面之间的平行关系和垂直关系的判定和性质进行系统的小结,简明再现所学知识,化抽象学习为直观学习,同时凸现数学知识的发展和联系。

3、情态与价值

学生通过知识的梳理,理清空间线面之间的平行关系和垂直关系的判定和性质,进一步培养学生的空间想象能力以及分析和解决问题的能力。

教学重点、难点

根据《高中数学新课程标准》和教学大纲的要求,结合学生的基本情况,我对教学重点、难点确立如下:

重点:空间线面之间的平行关系和垂直关系的判定和性质.

难点:在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化. 教学设计

一、构建知识网络

二、应用深化

例1.两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M∈AC,N∈FB,且AM=FN,求证:MN∥平面BCE.

设计意图:通过一题多证,一题多变,让学生熟悉证明线面平行的判定定理和面面平行的性质定理,掌握线、面平行关系的互相转换,并与其他知识结合,提升学生的思维能力、综合应用数学知识解决问题的能力。

教师活动:先引导学生进行分析,要证线面平行常根据:“如果平面外的一个直线和另一平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行”或“如果两个平面平行,那么一个平面内的一条直线与另一平面平行”,再利用初中平面几何中的方法证明线线平行。

证法一:作MP⊥BC,NQ⊥BE,P、Q为垂足,则MP∥AB,NQ∥AB。∴MP∥NQ,又AM=NF,AC=BF,∴MC=NB,∠MCP=∠

PNBQ=45°∴Rt△MCP≌Rt△NBQ ∴MP=NQ,故四边形MPQN为平

行四边形∴MN∥PQ

∵PQ?平面BCE,MN在平面BCE外,∴MN∥平面BCE。

AMAH证法二:如图过M作MH⊥AB于H,则MH∥BC,∴ ?ACAB

FNAH

连结NH,由BF=AC,FN=AM,得∴ NH//AF//BE ?

BFAB

由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE ∴MN∥平面

变式一:复习题一B组第3题.

变式二:已知正方形ABCD和ABEF的边长都是1,平面ABCD和平面ABEF互相垂

直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM?BN?a(0?a?

(1)求M N的长;

(2)当a为何值时,M N的长最短?并求出MN的最小值.

2).

例2.如图,在三棱锥P?ABC中,PA?底面AB,C?P?A,?A?B?60A?B,?CBCPBA,PC上,,点D,E分别在棱且DE//BC.

(Ⅰ)求证:BC?平面PAC;

(Ⅱ)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的大小;

(Ⅲ)是否存在点E使得二面角A?DE?P为直二面角?并说明

理由.

设计意图:本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、

二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.

教师活动:先引导学生进行分析,要证线面垂直就是要证一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直即可,再利用初中平面几何中的方法或转化为另一个线面垂直证明线线垂直。

证明:(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.又?BCA?90,∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.

(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴DE??1 BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,2

AB,∴在Rt△ABC中,∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,∴△ABP为等腰直角三角形,

∴AD?

?ABC?60?,∴BC?DEBC1??, AB.∴在Rt△ADE

中,sin?DAE?AD2AD42

. 4∴AD与平面PAC

所成的角的大小arcsin

(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,又∵AE?平面PAC,PE?平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,∴∠AEP为二面角A?DE?P的平面角, ∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴?PAC?90.∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时?AEP?90,故存在点E使得二面角A?DE?P是直二面角.

变式:如图,在三棱锥P?ABC中,PA?底面ABC,??

AB?BC,AD?PB,垂足为D,DE?PC,垂足为E.求证:

PC?AE.

例3.如图所示,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=AB=a,F、F1分别是AC、A1C1 的中点.求证:

(1)平面AB1F1∥平面C1BF;

(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.

设计意图:线线垂直、线面垂直、面面平行、垂直之间可以相互转化,因此此题始终沿

着线线平行、线面平行、面面平行的转化以及线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行,让学生要熟练掌握这种转化。线线、线面、面面的平行与垂直的关系可以通过下列形式转化.

在证明平行或垂直的问题中,认真体会“转化”这一数学思想方法.让学生不仅领悟“平

行”“垂直”内部间的转化,还要注意平行与垂直之间的转化关系.

教师活动:先引导学生进行分析,要证两平面平行,常根据:“如果一个平面内有两相交直线分别和另一平面平行,那么这两个平面平行”或“一个平面内两相交直线分别与另一平面内两相交直线平行,那么这两个平面平行”,还可以利用线面垂直的性质,即“垂直于同一条直线的两个平面平行”.要证明两平面垂直,常根据“如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直”.

说明:本题第(1)问还可证平面AB1F1内有两条相交直线与平面C1BF平行.第(2)问可证B1F1⊥平面ACC1A1.

例4.如图,平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,AD=4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD.

(1)求证:AB⊥DE;

(2)求三棱锥E—ABD的侧面积.

设计意图:让学生初步了解与图形的展开、折叠、切割等有关的问题要综合考虑折叠前后的图形,既要分析展开、折叠、切割后的图形,也要分析展开、折叠、切割前的图形,关键是搞清展开、折叠、切割前后的变化量和不变量,弄清图形变化前后的点、线、面的对应关系,并分析清楚变化前后点、线、面的位置变化.

教师活动:教师先提问学生与图形的展开、折叠、切割等有关的问题的解决方法、关键和注意事项,让学生明白一般情况下,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口.然后引导学生分析展开、折叠、切割前后的变化量和不变

量,弄清图形变化前后的点、线、面的对应关系,师生共同分析清楚变化前后点、线、面的

位置变化.(1)先在△ABD中计算BD=AB+AD-2AB·ADcos∠DAB=23,从而得AB⊥BD,再由面面垂直的性质得AB⊥平面EBD,进而证得AB⊥DE.(2)先求Rt△DBE的

11面积S△DBE=·DE=23,立即求出S△ABE·BE=4.再证ED⊥平面ABD,然后再求出S△ADE22

1=·DE=4.综上,三棱锥E—ABD的侧面积S=8+23. 2

例5(机动题).下面的一组图形为某四棱锥S-ABCD的底面和侧面.

(1)请画出四棱锥S-ABCD的直观图,在该四棱锥中,是否存在一条侧棱垂直于底面?如果存在,请给出证明.

(2)用多少个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1?试证明你的结论.

(3)在(2)的条件下,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1的中点为M,DD1的中点为N,求证:平面MAC∥平面NA1C1.

设计意图:本题主要考查学生直线和平面垂直、平面与平面平行等基础知识,以及空间想象能力、运算能力、推理论证能力和学生准确画立体图形的能力.

教师活动:(1)本问的难点是画出四棱锥S-ABCD的示意图,如何合理的把上述的图形组合起来,引导学生通过尝试找出有效途径,对学生的空间想象能力要求较高,只要图形做正确,证明存在一条侧棱垂直于底面可以让学生口述过程.

(2)引导学生先计算正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为2×2×2=8,再计算四棱锥S

188-ABCD的体积VS-ABCD=ABCD·SA=.因为=3,所以用3个这样的四棱锥可以拼成一333

个棱长为2的正方体.

(3)要证明平面与平面平行,常用的方法是证明一个平面内的两条相交直线都和另一个平面平行.如图,设CC1的中点为P,连接MC1、MP、AN、NP.让一名学生口述证明AM∥平面A1NC1的过程,引导学生得到AC∥平面A1NC1,于是证明出平面MAC∥平面NA1C1.

三、反馈总结

通过本节课你学到了哪些数学知识?哪些数学方法和技巧?哪些数学思想?教师先让学生思考,然后叫一名学生回答,其他学生补充完善,在学生回答过程中,

教师及时给予点

评,好的方面要给予表扬。

四、作业设计

1.练习:复习题一A组6、7、8、9

2.作业:复习题一A组第10题,B组第4题,C组第1题

3.课外探究题:如图所示,正三棱柱A1B1C1—ABC中,点D是BC的中点,BC=2BB1,设B1D∩BC1=F.求证:(1)A1C∥平面AB1D;(2)BC1⊥平面AB1D.

五、教学反思

我这节课的设计是按照新课程理论,强调探究性学习,注重培养学生的终身学习能力。“学生既是教育的客体,又是教育的主体.”教育者应当为学生主体性的发展提供适当的环境和一切便利的条件,并在教育过程中充分调动他们学习和自我发展的积极主动性.“活动”是主体性的具体体现,只有在活动中,人的特征才得以形成和发展,人格的各种要素才得以产生并结合成一个整体.人的活动越丰富,人的发展就越充分、越全面;人的活动越深入,人的研究意识就越强,越有创造力.数学教育家傅种孙先生也说过:“几何之务不在知其然,而在知其所以然;不在知其然,而在知何由以知其所以然。”实际上也为数学的学习标明了三个递进的境界:一是知其然,二是知其所以然;三是知何由以知其所以然。本节课设计时注重充分发挥学生的主体地位,注重培养学生探索新知识的经历和获得新知的体验,以及科学的研究方法,体现认知规律,调动学生的主动性和积极性,使数学教学成为数学活动的教学,激发学生学习数学的兴趣,提高学生分析问题、解决问题的能力,提高学生合作交流精神和数学地表达能力,培养他们的创新意识和科学研究精神。教师在其中充当组织者、合作者与引导者的角色。

(设计者:西安市长安区第一中学 韩红军)

(校对者:西安市长安区第一中学 南宏波)

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