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正弦余弦第一课时

发布时间:2013-12-31 14:59:12  

直角相似三角形判定方法
1、(定义法)三个角对应相等,且三条边对应成比例的 两个三角形叫作相似三角形.

2、(判定定理1)三边对应成比例的两个三角形相似。
3、(判定定理2)两角对应相等的两个三角形相似。 4、(判定定理3)两边对应成比例且夹角相等的 两个三角形相似 5、(特殊)任意两边对应成比例的两个直角三角形相似

锐角三角函数

左你 图能 是求 我出 国该 上塔 海的 东高 方度 明吗 珠? 电 视 塔 的 远 景 图 ,

学 了 本 章 内 容 , 你 就 能 简 捷 地 解 决 这 类 问 题

探 究

一艘帆船从西向东航行到 B处时,灯塔A在船的正北方向, 帆船从B处继续向正东方向航行2000m到达C处,此时 灯塔A在船的北偏西65o 的方向.试问:C处和灯塔A的 距离约等于多少米?(精确到1m) 北 A 东 由题意,△ABC是直角三角形, 其中∠B =90o ,∠A= 65o , ∠A所对的边BC=2000m,求斜 65o 边AC=? 2000m B C 上述问题就是:知道直角三角形的一个为65o 的锐角和这个锐 角的对边长度,想求斜边长度,为此,可以去探究直角三角 形中, 65o 角的对边与斜边的比值有什么规律?

做一做

每位同学画一个直角三角形,其中一个锐 角为65o ,量出65o 角的对边长度和斜边长 度,计算:

65?角的对边 斜边

的值,

与同桌和邻近桌的同学交流,计算出 的比值是否相等(精确到0. 1)? 结论:在有一个锐角为65o 的直角三角形中, 65o 角的对边与 斜边的比值是一个常数,它约等于0.9

结论证明

已知:任意两个直角三角形△DEF和△D'E'F', ∠D =∠D ' =65o ,∠E =∠E'= 90o

EF E ?F ? ? 求证: DF D?F ?
证明: ∵ ∠E =∠E ' = 90o , ∠D =∠D ' =65o , ∴ △DEF ∽ △D'E'F ' . ∴ D

F'

D'
E

E'



EF DF ? E ?F ? D?F ? EF E ?F ? ? DF D?F ?

F

因此在有一个锐角为65o 的所有直角三角形中, 65o 角的 对边与斜边的比值是一个常数.

现在解决帆船航行到C处时和灯塔A的距 离约等于多少米的问题. 解: 在直角三角形ABC中,BC=2000m , ∠A= 65o ,

2000 ? 0.91 . AC
解得

2000 AC ? ? 2200(m). 0.91

预备知识
∠C(直角)的对边

AB
B
∠A的对边a

∠A的对边 BC ∠A的邻边 AC ∠B的对边 AC ∠B的邻边 BC
A A
∠A的邻边b C

B
∠B的邻边a ∠B的对边b C

抽象概念

sin A sin ? sin ?1 sin ?ABC sin 30

0

类似地可以证明:在有一个锐角等于α的所有直角三 角形中,角α的对边与斜边的比值为一个常数. 定义 在直角三角形中,锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正 弦,记作: sin

?

即:

角?的对边 sin ? ? 斜边 a BC ? ? AB

A

?
C

c

c

a

B

定义 在直角三角形中,锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正

弦,记作: 即:

sin ?

角?的对边 sin ? ? . 斜边
b

A

如图:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB =c, AC =b, BC =a. 则 sinA = 注意:(1).“ (2).“

c

BC a ? AB c

sinB =

AC b ? AB c

C

a

B

sin ? sin ?

今后所学的其他的三角函数符号也是这样。

”是一个完整的符号,不要误解为sin×? ,

”的值与Rt△ABC的三边的大小无关,只与锐角的大小有关,

如果锐角的大小固定,则这个比值固定;不同的锐角对应不同的比值。

例 题

1.在直角三角形ABC中, ∠C= 90o BC=3,AB=5. , (1)求∠A的正弦 sin A; (2)求∠B的正弦 sin B . B 3 C 5 A



(1) ∠A的对边BC=3,斜边 AB=5.于是

3 sin A ? . 5

(2) ∠B的对边是AC.根据勾股定理,得

AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 52 ? 32 ? 16.
于是 AC=4.

因此

4 sin B ? . 5

练习
练 习 1.在直角三角形ABC中, ∠C= 90o BC=5, , AB=13. B (1)求 (2)求

sin A sin B

的值; 的值.

5 C

13

A

2.小刚说:对于任意锐角α,都有 0< <1 sin ?

你认为他说得对吗?为什么?

规律探究 用计算器计算10°、20°、30°、 40°、50°、60°、 70°、80°的正弦值,你从中能发现什么规律? 角度越小,这个角的对边与斜边的比值就越小,因此它的 正弦值越小;

角度越大,这个角的对边与斜边的比值就越大,因此它的 正弦值越大;

sin30°=1/2 sin45°=√2 / 2 sin60°= √3 /2

知识梳理 在直角三角形中,锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正

弦,记作:
即:

角?的对边 BC sin ? ? ? AB 斜边

sin ?

a ? c

A

?
C

c

注意:(1).“

sin ?

今后所学的其他的三角函数符号也是这样。

”是一个完整的符号,不要误解为sin×? ,

a

B

(2).“

sin ?

”的值与Rt△ABC的三边的大小无关,只与锐角的大小有关,

如果锐角的大小固定,则这个比值固定;不同的锐角对应不同的比值。

sin ?

的取值范围 0°<

则 0<

sin ?

? < 90°
<1

1、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示,则
sinα的值是﹙ ﹚

2. 在△ABC中,∠C=90°,BC=2,sinA=2/3,则 边AB的长是( )

3、小明沿与地面成65°的山坡向上走了90米, 那么他上升了多少米?﹝精确到1米﹞。
B

C

A


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