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四边形教案

发布时间:2014-01-05 14:40:03  

四边形专题

第一节 平行四边形

知识点:

一 平行四边形的判定与性质

1. 平行四边形定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.平行四边形的性质:

(?1)两组对边分别平行;?(?2)两组对边分别相等;?因为ABCD是平行四边形?( ?3)两组对角分别相等;

?4)对角线互相平分;(??(?5)邻角互补.DCAB

3.平行四边形的判定:

(1)两组对边分别平行??(2)两组对边分别相等??(3)两组对角分别相等?ABCD是平行四边形.

(4)一组对边平行且相等???(5)对角线互相平分?DCAB

(一) 四边形的性质

【知识盘点】

1.两组对边分别_______的四边形叫做平行四边形.?平行四边形用符号“_____”表示.

2.平行四边形的对角______,邻角______.对角线______________.

3.夹在两平行线的平行线段_______,夹在两平行线间_______相等.

4.在□ABCD中,若∠A:∠B=3:2,则∠D=________.

5.在□ABCD中,若AB=3cm,AD=4cm,则它的周长为________cm.

6.已知□ABCD的周长为26,若AB=5,则BC=________.

7.在□ABCD中,若AB:BC=2:3,周长为30cm,则AB=______cm,BC=______cm.

【典型例题】

1、以长为5cm, 4cm, 7cm的三条线段中的的两条为边,另一条为对角线画平行四边形,可以画出形状不同的平行四边形的个数是 ( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2、平行四边形的一组对角的平分线 ( )

A. 一定相互平行 B. 一点相交 C. 可能平行也可能相交 D. 平行或共线 3、楠楠想出了一个测量池塘的两端A,B引两条直线AC,BC相交于点C,在BC上取点E,G,使

BE=CG,再分别过E,G作EF∥AB,交AC于F,H.测出EF=8m,

GH=3m, ,她就得出了结论: 池塘的宽AB为11m .你认

为她说的对吗?

【变式训练】

一、选择题

1.平行四边形的两邻角的角平分线相交所成的角为( )

A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不能确定

2.平行四边形的周长为24cm,相邻两边的差为2cm,则平行四边形的各边长为( )

A.4cm,4cm,8cm,8cm B.5cm,5cm,7cm,7cm

C.5.5cm,5.5cm,6.5cm,6.5cm D.3cm,3cm,9cm,9cm

3. 如图所示,四边形ABCD是平行四边形,∠D=120°,∠CAD=32°

.则∠ABC、∠CAB的度数分别为( )

A.28°,120° B.120°,28° C.32°,120° D.120°,32°

4. 在□ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是( )D

A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1

C.1∶1∶2∶2 D.2∶1∶2∶1

5下面的性质中,平行四边形不一定具有的是( )

A.对角互补 B.邻角互补 C.对角相等 D.对边相等.

二、解答题:

1. 在□ABCD中, ∠A+∠C=160°, 求∠A,∠C,∠B,∠D的度数

2. .如图所示,四边形ABCD是平行四边形,BD⊥AD,求BC,CD及OB的长.

4. 如图,在□ABCD中,E、F分别是BC、AD上的点,且AE∥CF,AE与CF相等吗?说明理由.

(二)平行四边形的判定

【典型例题】

1、 如图所示,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,DE∥BC交AB于E,EF∥AC交BC于F,猜想BE与CF的数量关系,并加以说明.

A

EB

F

D

C

2、如图,□ABCD中,AF平分?BAD交直线BC于F,DE平分?ADC交直线CB于E,试说明BE=CF。

E

F

3、如图,已知CD是?ABC的中线,CN=MN,求证:AM=CB

3、如图,在□ABCD中,BC=2AB,M为AD的中点,CE⊥AB于点E,连接ME,试说明?DME=3?AEM

4.如图19-1-29,?ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点O作两条直线分别与AB,BC,CD,AD交于G,F,H,E四点。求证:四边形EGFH是平行四边形。

5、如图19-1-30,分别以△ABC的三边为边长,在BC的同侧作等边三角形ABD,等边三角形BCE,等边三角形ACF,连接DE,EF。求证:四边形ADEF是平行四边形。

6、如图19-1-32,△ABC是边长为4cm的边三角形,P是△ABC内的任意一点,过点P作EF∥AB分别交AC,BC于点E,F,作GH∥BC分别交AB,AC于点G,H,作MN∥AC分别交AB,BC于点M,N,试猜想:EF+GH+MN的值是多少?其值是否随P位置的改变而变化?并说明你的理由。

B

7、如图,CD的Rt△ABC斜边AB上的高,AE平分∠BAC

交CD于E,EF∥AB,交BC于点F,求证CE=BF.

【变式训练】

一、判断题

1.一组对边平行,另一组对边相等,这样的四边形一定是平行四边形。( )

) 2.四边形ABCD中,如果AB=BC,CD=AD,那么四边形ABCD是平行四边形(

3.在四边形中,有一组对边平行,还有一组对角相等,那么它是平行四边形(

4.在四边形中,有一组对边平行且相等,那么这个四边形是平行四边形(

5.对角线相等的四边形是平行四边形( )

) ) ) 6.有两组对角分别相等的四边形一定是平行四边形(

7.四个角都相等的四边形一定是平行四边形( )

8.一条对角线经过另一条对角线的中点,那么这个四边形是平行四边形(

二、选择题

1.下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )

A.AB=CD,AD=BC B.AB∥CD,AB=CD

C.AB=CD ,AD∥BC D. AB∥CD,AD∥BC

2.已知等腰三角形的两条中位线长分别为3和5, )

则此等腰三角形的周长为 .

三、解答题

1.已知:如图所示,在ABCD中,E、F分别为AB、CD的中点,求证四边形AECF是平行四边形.

2. 如图所示,BD是ABCD的对角线,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,求证:四边形AECF为平行四边形.

3. 如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F是直线AC上的两点,

并且AE=CF,求证:四边形BFDE是平行四边形.

4.如图,已知在四边形ABCD中,AD=BC,∠D=∠DCE.求证:四边形ABCD?是平行四边形.

5.如图,已知

ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点,求证:EF=BC.

6.如图,已知E,F分别是

ABCD的边AD,BC上的点,且AE=CF,求证:BE=DF.

◆综合提高

7.如图,已知四边形ABCD和四边形AEFD都是平行四边形,求证:四边形BCFE?是平行四边形.

8.如图,已知ABCD,分别延长BC,DA至点E,F,如果∠E=∠F. 求证:四边形FBED是平行四边形.

?

第二节 矩形、菱形与正方形

1. 特殊的平行四边形的之间的关系

平行四边形矩形

正方形

菱形

2. 特殊的平行四边形的判别条件

成为矩形,需增加的条件是_______ _____ ;

要使

成为菱形,需增加的条件是_______ _____ ;

要使矩形ABCD成为正方形,需增加的条件是______ ____ ;

要使菱形ABCD成为正方形,需增加的条件是______ ____ .

3. 特殊的平行四边形的性质

◆ 典例精析

例1(2009年浙江杭州)如果用4个相同的长为3宽为1的长方形,拼成一个大的长方形,那么这个大的长方形的周长可以是_____________.

【答案】14或16或26

【解析】本题考查了学生的空间想象能力和发散思维能力。解答本题最好能将所有的拼法画出来后再进行求解。本题的不同拼法有:

例2(2009年浙江杭州) 如图,在菱形ABCD中,∠A=110°,E,

F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠FPC=( )

A.35° B.45° C.50° D.55°

【答案】 D

【解析】本题综合考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等、直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的内角和等知识点,是一道综合性很强的题目。

D

A

E P

C

B

解答本题应首先延长PF交AB的延长线于点G,根据题意,利用角角边可证明?BGF≌?CPF,于是得到?FPC??G,PF=FG,所以在Rt?EGP中,EF是斜边上的中线,于是得到FE=FG,所以?G??FEG,又因为E、F分别为中点,所以EB=FB,所以,FE=FG=BF,所以?FPC??G??BEF??BFE,又因为∠A=110°,所以?EBF?70,因此,02?FPC?700?1800,解得?FPC?550。

例3(2009年贵州贵阳)如图,已知面积为1的正方形ABCD的对角线相交

于点O,过点O任意作一条直线分别交AD、BC于E、F,则阴影部分的面积

是 .

10.25. 4【解析】本题综合考察了利用正方形的性质和全等三角形的判定的知识进行有关计算的能力,属于基础题,依据已知和正方形的性质及全等三角形的判定可知△AOE≌△COF,则得图1中阴影部分的面积为正方形面积的1,则其面积为1,于是这个图4

1中阴影部分的面积为。解答这类题时一般采取利用图形的全等的知识将分散的图形集中在4

一起,再结合图形的特征选择相应的公式求解。

例4(2009年山东威海)如图1,在正方形ABCD中,E,F,G,H分别为边

交点为O. AB,BC,CD,DA上的点,HA?EB?FC?GD,连接EG,FH,

(1)如图2,连接EF,FG,GH,HE,试判断四边形EFGH的形状,并证明你的结论;

D A C F H A C F B B E

图1 图

2 图3 (2)将正方形ABCD沿线段EG,HF剪开,再把得到的四个四边形按图3的方式拼接

成一个四边形.若正方形ABCD的边长为3cm,HA?EB?FC?GD?1cm,则图3中阴影部分的面积为_________cm.

【分析】(1)结合条件观察图形2容易发现:△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,得出:四边形EFGH是菱形;再由△DHG≌△AEH可知:?DHG??AHE?90°,从而证得四边形EFGH是正方形.(2)连接EH、HG、GF、FE,由第(1)小题可知:四边形EFGH是正方形,可得阴影部分面积是1.

【答案】(1)四边形EFGH是正方形.

证明: ?四边形ABCD是正方形,2

,AB?BC?CD?DA. ??A??B??C??D?90°

?HA?EB?FC?GD,

?AE?BF?CG?DH.

?△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.

?EF?FG?GH?HE.

?四边形EFGH是菱形.

由△DHG≌△AEH知?DHG??AEH.

??AEH??AHE?90°,

??DHG??AHE?90°.

??GHE?90°.

?四边形EFGH是正方形.

(2)1.

迎考精炼

一、选择题

1.(2009年吉林长春)菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示

,?AOC?45°,OC?B的坐标为( )

A

B

., C

.11) 1)

D

2.(2009年广西南宁)如图,将一个长为10cm,宽为8cm的矩形纸片对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下,再打开,得到的菱形的面积为( )

A.10cm2 B.20cm2

C.40cm2 D.80cm2

3.(2009年湖南长沙)如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,?AOB?60°,AB?2,则矩形的对角线AC的长是( )

A.2

A

B

B.4 D C C

. D

.4.(2009年湖北孝感)如图,正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF,M、N、

E、F分别在边AB、CD、AD、BC上.小明认为:若MN = EF,则MN⊥EF;小

亮认为: 若MN⊥EF,则MN = EF.你认为( )

A.仅小明对 B.仅小亮对 C.两人都对 D.两人都不对

5.(2009年黑龙江齐齐哈尔市)梯形ABCD中,AD∥BC,AD?1,BC?4,?C?70°,?B?40°,则AB的长为(

A.2 B.3 ) C.4 D.5

6.(2009年山西)如图(1),把一个长为m、宽为n的长方形(m?n)沿虚线剪开,拼接成图(2),成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形,则去掉的小正方形的边长为( )

A.m?nm B.m?n C. 22 D.n 2

(2) (1)

二、填空题

1.(2009年广西贺州)如图,正方形ABCD的边长为1cm,E、F分别是BC、CD的中点,连接BF、DE,则图中阴影部分的面积是 cm.

2

2.(2009年青海)如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为菱形,需要添加的条件是 (只填一个你认为正确的即可).

B C D

3.(2009年天津市)我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.若一个四边形ABCD的中点四边形是一个矩形,则四边形ABCD可以是 .

4.(2009年山东烟台)如图,将两张长为8,宽为2的矩形纸条交叉,使重叠部分是一个菱形,容易知道当两张纸条垂直时,菱形的周长有最小值8,那么菱形周长的最大值是 .

5.(2009年山东日照)如图,在四边形ABCD中,已知AB与CD不平行,∠ABD=∠ACD,请你添加一个条件: ,使得加上这个条件后能够推出AD∥BC且AB=CD

.

A

D

(第5题图) C

三、解答题

1.(2009年浙江嘉兴)如图,在平行四边形ABCD中,AE?BC于E,AF?CD于F,BD与AE、AF分别相交于G、H.

(1)求证:△ABE∽△ADF;

(2)若AG?AH,求证:四边形ABCD是菱形.

B

2. (2009年安顺安顺)如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作 D BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连结BF。

(1) 求证:BD=CD;

(2) 如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论。

3.(2009年湖南益阳)如图,△ABC中,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于D,BD=2,DC=3,求AD的长.

小萍同学灵活运用轴对称知识,将图形进行翻折变换,巧妙地解答了此题.

请按照小萍的思路,探究并解答下列问题:

(1)分别以AB、AC为对称轴,画出△ABD、△ACD的轴对称图形,D点的对称点为E、F,延长EB、FC相交于G点,证明四边形AEGF是正方形;

(2)设AD=x,利用勾股定理,建立关于x的方程模型,求出x的值.

4.(2009年吉林长春)如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边AD、DC上,

,AB?6,AE?9,DE?2,求EF的长. △ABE∽△DEF

A D

F

B

C

5.(2009年广西南宁)如图,要设计一个等腰梯形的花坛,花坛上底长120米,下底长180

米,上下底相距80米,在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道,上下底之间有两条纵向甬道,各甬道的宽度相等.设甬道的宽为x米.

(1)用含x的式子表示横向甬道的面积;

(2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时,求甬道的宽;

(3)根据设计的要求,甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系,比例系数是5.7,花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元,那么当甬道的宽度为多少米时,所建花坛的总费用最少?最少费用是多少万元?

6.(2009年福建龙岩)在边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发,沿A→B→C向终点C运动,连接DM交AC于点N.

(1)如图1,当点M在AB边上时,连接BN.

①求证:△ABN≌△ADN;

②若∠ABC = 60°,AM = 4,∠ABN =?,求点M到AD的距离及tan?的值;

(2)如图2,若∠ABC = 90°,记点M运动所经过的路程为x(6≤x≤12).试问:x为何值时,△ADN为等腰三角形.

M

(图1) (图2)

A B B

【参考答案】

一、选择题

1.C 2. A 3. B

二、填空题 1. 4. C 5. B 6. A 2

3

2.AC⊥BD或AB?BC,或BC?CD,或CD?DA,或AB?AD

3.正方形(对角线互相垂直的四边形均可)

4.17

5.∠DAC=∠ADB,∠BAD=∠CDA,∠DBC=∠ACB,∠ABC=∠DCB,OB=OC,OA=OD;(任选其一)

三、解答题

1.(1)∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD=90°.

∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABE=∠ADF.

∴△ABE∽△ADF

(2)∵△ABE∽△ADF,

∴∠BAG=∠DAH.

∵AG=AH,∴∠AGH=∠AHG,

从而∠AGB=∠AHD.

∴△ABG≌△ADH.

∴AB?AD.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴四边形ABCD是菱形.

2.(1)?AF∥BC,?∠AFE?∠DCE

?E是AD的中点,?AE?DE.

??AFE??DCE???AE?DE??AEF??DEC(3')

??AEF??DEC?

?AF?DC,?AF?BD ?BD?CD

(2)四边形AFBD是矩形

?AB?AC,D是BC的中点?AD?BC ,?∠ADB?90?

?AF?BD,AF∥BC?四边形AFBD是平行四边形

?又∠ADB?90 ?四边形AFBD是矩形.

3.(1)证明:由题意可得:△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF .

∴∠DAB=∠EAB

∴∠EAF=90°.

又∵AD⊥BC

∴∠E=∠ADB=90°∠F=∠ADC=90°.

又∵AE=AD,AF=AD

∴AE=AF.

∴四边形AEGF是正方形.

(2)解:设AD=x,则AE=EG=GF=x.

∵BD=2,DC=3

∴BE=2 ,CF=3

∴BG=x-2,CG=x-3.

在Rt△BGC中,BG+CG=BC

∴( x-2)+(x-3)=5.

化简得,x-5x-6=0

解得x1=6,x2=-1(舍)

所以AD=x=6.

4.解:∵四边形ABCD是矩形,AB=6

∴∠A=∠D=90°,DC=AB=6

又∵AE=9

∴在Rt△ABE中,由勾股定理得:BE=

∵△ABE∽△DEF, ∴2222222 ,∠DAC=∠FAC ,又∠BAC=45°, AE2?AB2?92?62? 6ABBE,即? ?2EFDEEF

3∴EF=

5.解:(1)横向甬道的面积为:120?180x?150x?m2? 2

(2)依题意:2?80x?150x?2x2?整理得:x?155x?750?0

2

1120?180??80 82

x1?5,x2?150(不符合题意,舍去)

?甬道的宽为5米.

(3)设建设花坛的总费用为y万元.

?120?180?

y?0.02???80??160x?150x?2x2???5.7x

2??

?0.04x2?0.5x?240

当x??

b0.5??6.25时,y的值最小. 2a2?0.04

因为根据设计的要求,甬道的宽不能超过6米,

?当x?6米时,总费用最少.

最少费用为:0.04?6?0.5?6?240?238.44万元 6.(1)①证明:∵四边形ABCD是菱形 ∴AB = AD,∠1 =∠2

M

又∵AN = AN ∴△ABN ≌ △ADN

②解:作MH⊥DA交DA的延长线于点H, 由AD∥BC,得∠MAH =∠ABC = 60°,

在Rt△AMH中,MH = AM·sin60° = 4×sin60° = 2, ∴点M到AD的距离为23.

易求AH=2,则DH=6+2=8.在Rt△DMH中,tan∠MDH=由①知,∠MDH=∠ABN=?. 故tan?

3= 4

MH23, ??

DH84

2

B

H

(2)解:∵∠ABC=90°,∴菱形ABCD是正方形 此时,∠CAD=45°. 下面分三种情形:

2 B

A

Ⅰ)若ND=NA,则∠ADN=∠NAD=45°. 此时,点M恰好与点B重合,得x=6; Ⅱ)若DN=DA,则∠DNA=∠DAN=45°.

此时,点M恰好与点C重合,得x=12; Ⅲ)若AN=AD=6,则∠1=∠2,

由AD∥BC,得∠1=∠4,又∠2=∠3,

∴∠3=∠4,从而CM=CN,

易求AC=62,∴CM=CN=AC-AN=62-6, 故x = 12-CM=12-(6-6)=18-62 综上所述:当x = 6或12 或18-62时,△ADN是等腰三角形

第三节 梯形

知识点:

1、梯形的相关概念

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底。

梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。

梯形的两底的距离叫做梯形的高。

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

一般地,梯形的分类如下: 一般梯形

直角梯形

等腰梯形

2、梯形的判定

(1)定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。

(2)一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

3、等腰梯形的性质

(1)等腰梯形的两腰相等,两底平行。

(3)等腰梯形的对角线相等。

(4)等腰梯形是轴对称图形,它只有一条对称轴,即两底的垂直平分线。

4、等腰梯形的判定

(1)定义:两腰相等的梯形是等腰梯形

(2)定理:在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

(3)对角线相等的梯形是等腰梯形。

5、梯形的面积

1(1)如图,S梯形ABCD?(CD?AB)?DE 2

(2)梯形中有关图形的面积:

①S?ABD?S?BAC;

②S?AOD?S?BOC;

③S?ADC?S?BCD

6、梯形中位线定理

梯形中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。

二.考查重点与常见梯形

1.考查梯形的判定、性质及从属关系,在中考题中常以选择题或填空题出现,也常以证明题的形式出现。如:

(A) 圆内接平行四边形是矩形;

(B) 一组对边平行另一组对边不平行的四边形一定是梯形;

(C) 顺次连结等腰梯形各边中点构成的四边形是菱形;

(D) 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。

2.求梯形的面积、线段的长,线段的比及面积的比等,在中考题中常以选择题或填空题出现,也常以证明题的形式出现。 如:如图梯形ABCD中,AD∥BC,AC、BD交于O点,

S⊿AOD:S⊿COB=1:9,则S⊿DOC:S⊿BOC=

3.梯形与代数中的方程、函数综合在一起,

如在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AB=103 ,AD、BC 的长是x2-20x+75=0方程的两根,那么以点D为圆心、AD长为半径的圆与以C圆心,BC为半径的圆的位置关系是 。

三.利用分类思想建立梯形的知识结构

1.梯形有关概念的教学.

(1)问:四边形按对边位置关系分为几类?

(2)引导学生分析梯形与平行四边形的区别以及梯形的判定方法.

巩固练习:

判断下列命题是否正确.

①一组对边平行的四边形是梯形;(×)

②一组对边平行且相等的四边形是梯形;(×)

③一组对边平行且不相等的四边形是梯形.(√)

教师引导学生注意:

①“有且仅有一组对边平行”的四边形,才能称为梯形;

②利用定义判定一个四边形是梯形时,判定两边不平行常有困难.可改为判定“平行的这组对边不相等”;

③让学生画一个梯形,指出它各部分的名称,教师应着重强调“下底、上底”的说法及梯形的高.

2.梯形的分类.

让学生画出两种特殊的梯形——等腰梯形和直角梯形,写出其名称,并叙述它们的定义,指出两者不能同时成立,教师带领学生完善四边形的知识结构图——图1.

3.梯形可化归为平行四边形和三角形.

教师引导学生思考:

(1)梯形是在学习完三角形和平行四边形的基础上进行研究的,因此,梯形的问题可通过添加辅助线化归成我们熟悉的平行四边形和三角形.这种化归的思想是数学中研究问题的重要方法.

(2)添辅助线可达到集中已知条件或构造基本图形等目的.

已知:如图2(a),梯形ABCD,AD∥BC.

(1)添加辅助线,把梯形转化成平行四边形和三角形.

(2)思考:各种添辅助线的方法分别起到什么作用?对于特殊的等腰梯形又有什么特殊的结论?

(一)与腰有关的辅助线.

(1)梯形内平移一腰.如图2(b),作AE∥DC交BC于E,则△ABE中包含梯形的两腰AB和AE,两底角的度数∠B,∠AEB和两底边之差BE=BC-AD.

(2)梯形外平移一腰.如图2(c),作CE∥BA交AD延长线于E,EABC中包含梯形的一底、一腰、两底角.

(3)延长两腰.如图2(d),分别延长BA,CD交于E,△BEC中包含梯形的两个底角和下底.

(二)与高有关的辅助线.

(4)图2(e),作AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,则BE+CF=BC-AD.

(三)与对角线有关的辅助线.

(5)连接对角线.如图2(f),连结AC,BD交于O,则S△ABC=S△DBC,S△BAD=S△CAD,S△AOB=S△DOC.

(6)平移对角线.如图2(g),作DE∥AC,交BC延长线于E,则△DBE中包含梯形的两条对角线BD,DE及梯形上、下底之和BE=BC+AD,△BDE与梯形ABCD有共同的高DF和面积.

(四)与梯形一腰中点有关的对角线.

(7)连结梯形一顶点及一腰中点.如图2(h),若E为DC中点,连结AE并延长,交BC延长线于F,则△ADE≌△FCE,S△ABF=S梯形ABCD,△ABF中包含梯形一腰AB,上、下底之和BF=BC+AD和一底角∠B.

(8)过一腰中点作另一腰平行线.如图2(i),若E为DC中点,过E作FG∥AB,交AD延长线于F,交BC于G,则△DEF≌△CEG,S梯形ABCD=

中包含梯形的一腰AB与两底角.

四.基础练习 ,ABGF

1.梯形两底的差是4,中位线长是8,则上底是 ,下底长是 。

2.等腰梯形有一个角是60°,上下底长分别是2cm和6cm,则腰长为 。

3.若梯形的中位线被它的两条对角线三等分,则梯形的上底a与下底b(a<b)的

比是( )

1122(A) (B) (C) (D) 2335

4.直角梯形一腰长10cm,则一条腰与底边所成的角是30°,则另一腰长为 cm。

5.等腰梯形ABCD中,AD∥BC,(1)如果延长BA和CD相交于E,则EA= ,

(2)如果作AF∥DC交BC于F,则⊿ABF是 三角形,四边形ADCF是

1形。(3)如果作AG⊥BC于G,DH⊥BC于H,则BG= = ,2(4)如果作DK∥AC交BC的延长线于K,则DK= = 。

6.下面四个命题中,错误的命题个数是( )

(1)有一组对边平行的四边形是梯形

(2)有一个角是直角的梯形是直角梯形

(3)有两个角相等的梯形是等腰梯形

(4)两条对角线相等的梯形是等腰梯形

(A)1 (B)2 (C)3 (D)0 第七题图 第八

题图

7.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,M,N分别是AB,CD的中点,AD=4,BC=6,

则MN= ,PQ= ,S△AOD:S△BOC= .

8.如图,△ABC的周长为18cm,面积为36cm2,它的三条中位线组成的新三角形

DFE的周长为 ,面积为 ,分别过A、B、C作对边的平行线相

交组成△PQR 周长为 ,面积为 .

五.典型例题

1.如图,矩形ABCD中,AC,BD交于O点,BE⊥AC于E,CF⊥BD于F,且∠

CDF

=60°,CF3 cm。(1)求证四边形BCFE是等腰梯形;(2)求这个梯形的中位线长。

2.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B+∠C=90°,E,F分别是AD,BC的中点,

1求证EF=-

AD) 2

3. 如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,E是AB上一点,EC=ED,∠BEC=75°,∠AED=45°,求证AB=BC。

4. 如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,CG⊥AB于G,对角线AC⊥BC于点O,EF是中位线,求证CC=

EF.

六.巩固练习

1.顺次连接等腰梯形两底及两对角线的中点所得的四边形足( )

(A)平行四边形 (B)矩形 (C)菱形 (D)正方形

2. 直角梯形的一条对角线把梯形分成两个三角形,其中一个是边长为30的等边三角形,则这个梯形的中位线长是( )

(A)15 (B)22.5 (C)45 (D)90

3. 如图,梯形ABCD中,AD∥MN∥GH∥BC,AM=MG=GB,AD=12,BC=28, 则MN十GH=( )

(A)30 (D)38 (C)40 (D)46

4.梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,BD平分∠ABC,BD⊥CD,延长BA,CD交于E点,则∠E的度数是

5. 如图,△ABC中,D,F,F分别是各边中点,AG⊥BC于G。

求证:四边形DGEF是等腰梯形

6. 梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=50°,∠C=80°,求证:AD+DC=BC

七.课后练习

1. 等腰梯形的腰与中位线的长都是6厘米,则它的周长是 厘米

2. 如图,把长为10cm的长方形纸片对折,按图中的虚线剪成梯形并打开, 则打开后,梯形中位线的长= cm

3. 直角梯形ABCD中,∠D=90°,AD=3,CD=4,且CA⊥AB,则BC= ,梯形面积是

4. 等腰梯形的两条对角线分别垂直于两腰,一底边等于腰,则梯形上底:下底=

5. 等腰梯形的腰长是24厘米,一对角线分中位线成8厘米和20厘米,则此对

角线长为 – 厘米.

6. 梯形ABCD中,AD∥BC,AD+BC=AB,F为CD中点,求证:AF⊥BF

7. 如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,设AB=a,DC=b,BC=c,

AC=m。求证:m2=c2+ab

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