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3.4实际问题与一元一次方程(二)(提高)知识讲解

发布时间:2014-01-24 10:59:02  

实际问题与一元一次方程(二)(提高)知识讲解

【学习目标】

(1)进一步提高分析实际问题中数量关系的能力,能熟练找出相等关系并列出方程;

(2)熟悉利润,存贷款,数字及方案设计问题的解题思路.

【要点梳理】

要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

分析求解列方程解应用题的基本思路为:问题???方程??由此可得解决此类问???解答.抽象检验

题的一般步骤为:审、设、列、解、检验、答.

要点诠释:

(1)“审”是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的关系,寻找等量关系.

(2)“设”就是设未知数,一般求什么就设什么为x,但有时也可以间接设未知数.

(3)“列”就是列方程,即列代数式表示相等关系中的各个量,列出方程,同时注意方程两边是同一类量,单位要统一.

(4)“解”就是解方程,求出未知数的值.

(5)“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义,当有不符合的解时,及时指出,舍去即可.

(6)“答”就是写出答案,注意单位要写清楚.

要点三、常见列方程解应用题的几种类型(续)

1.利润问题

(1)利润率=利润?100% 进价

(2) 标价=成本(或进价)×(1+利润率)

(3) 实际售价=标价×打折率

(4) 利润=售价-成本(或进价)=成本×利润率

注意:“商品利润=售价-成本”中的右边为正时,是盈利;当右边为负时,就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售.

2.存贷款问题

(1)利息=本金×利率×期数

(2)本息和(本利和)=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×(1+利率×期数)

(3)实得利息=利息-利息税

(4)利息税=利息×利息税率

(5)年利率=月利率×12

(6)月利率=年利率×1 12

3.数字问题

已知各数位上的数字,写出两位数,三位数等这类问题一般设间接未知数,例如:若一个两位数的个位数字为a,十位数字为b,则这个两位数可以表示为10b+a.

4.方案问题

选择设计方案的一般步骤:

(1)运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况.

(2)用特殊值试探法选择方案,取小于(或大于)一元一次方程解的值,比较两种方案的优劣性后下结论.

【典型例题】

类型一、利润问题

1.文星商店以每支4元的价格进100支钢笔,卖出时每支的标价6元,当卖出一部分钢笔后,剩余的打9折出售,卖完时商店赢利188元,其中打9折的钢笔有几支?

【答案与解析】

解:设打折的钢笔有x支,则有:

6(100-x)+6×90%x=100×4+188

解得x=20

答:打9折的钢笔有20支.

【总结升华】本题可以采用列表法分析问题:

此外本题还可以这样列方程:(6-4)(100-x)+(6×0.9-4)x=188,这是以利润作为相等关系来构建方程的,其结果一样.

举一反三:

【高清课堂:实际问题与一元一次方程(二) 388413 思考与研究1】

【变式】某种商品的标价为900元,为了适应市场竞争,店主打出广告:该商品九折出售,并返100元现金.这样他仍可获得10%的利润率(相对于进货价),问此商品的进货价是多少?(用四舍五入法精确到个位)

【答案】

解:设此商品的进货价为x元,依题意,得:

(900×0.9-100)-x=10%x,

得:x=6455 ∴ x≈645. 11

答:此商品的进价约为645元.

类型二、存贷款问题

2.某公司从银行贷款20万元,用来生产某种产品,已知该贷款的年利率为15%(不计复利),每个产品成本是3.2元,售价是5元,应纳税款为销售款的10%.如果每年生产10万个,并把所得利润(利润=售价-成本-应纳税款)用来偿还贷款,问几年后能一次性还清?

【答案与解析】

解:设x年后能一次性还清贷款,根据题意,

得(5-3.2-5×10%)·10x=20+20×15%x.

解之,得x=2.

答:所以2年后能一次性还清贷款.

【总结升华】解答本题利用了类比的数学方法,把贷款与存款相类比,贷款金额相当于存款本金,贷款的年利率相当于存款的年利率,每年产品的利润=售价-成本-应纳税款,产品的总利润等于本息和.

举一反三:

【高清课堂:实际问题与一元一次方程(二) 388413 贷款问题】

【变式】小华父母为了准备她上大学时的16000元学费,在她上初一时参加教育储蓄,准备先存一部分,等她上大学时再贷一部分.小华父母存的是六年期(年利率为2.88%),上大学贷款的部分打算用8年时间还清(年贷款利息率为6.21%),贷款利息的50%由政府补贴.如果参加教育储蓄所获得的利息与申请贷款所支出的利息相等,小华父母用了多少钱参加教育储蓄?还准备贷多少款?

【答案】

解:设小华父母用x元参加教育储蓄,依题意,

x×2.88%×6=(16000-x)×6.21%×8×50%,

解得, x≈9436(元)

16000-9436=6564(元).

答:小华父母用9436元参加教育储蓄,还准备贷6564元.

类型三、数字问题

3.一个两位数,十位数字比个位数字的4倍多1,将这两个数字调换顺序所得的数比原数小63,求原数.

【答案与解析】

解:设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为4x+1.根据题意得:

10(4x+1)+x=10x+(4x+1)+63,

解得x=2,

∴ 4x+1=4×2+1=9,故这个两位数为92.

答: 这个两位数是92.

【总结升华】在数字问题中应注意:(1)求的是一个两位数,而不是两个数;(2)这类应用题,一般设间接未知数,切勿求出x就答;(3)两位数的表示方法是10位上的数字乘以10,把所得的结果和个位数字相加

类型四、方案设计问题

4.某牛奶加工厂有鲜奶9吨,若在市场上直接销售鲜奶,每吨可获取利润500元,制成酸奶销售,每吨可获取利润1200元;制成奶片销售,每吨可获利润2000元,该工厂的生产能力是:如制成酸奶,每天可加工3吨;制成奶片每天可加工1吨,受人员限制,两种加工方式不可同时进行,受气温条件限制,这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕.为此,该厂某领导提出了两种可行方案:

方案1:尽可能多的制成奶片,其余直接销售鲜牛奶;

方案2:将一部分制成奶片,其余制成酸奶销售,并恰好4天完成.

你认为选择哪种方案获利最多,为什么?

【答案与解析】

解:(1)若选择方案1,依题意,

总利润=2000元×4+500元×(9-4)=10500元.

(2)若选择方案2.

设将x吨鲜奶制成奶片,则用(9-x)吨鲜奶制成酸奶销售, x9?x??4, 13

解得x?1.5.

当x?1.5时,9?x?7.5. 依题意得,

总利润=2000元×1.5+1200元×7.5=12000元.

∵ 12000>10500,

∴ 选择方案2较好.

答:选择方案2获利最多,只要在四天内用7.5吨鲜奶加工成酸奶,用1.5吨的鲜奶加工成奶片.

【总结升华】如果题目中的数量关系较复杂,常借助列表,画线段图,示意图等手段帮助我们理顺题目中的数量关系,列出方程.例如本题方案2中,设将x吨鲜奶制成奶片,则列表如下:

从表中能一目了然条件之间的关系,从而,得到等量关系.

举一反三:

【变式1】商场出售的A型冰箱每台售价2190元,每日耗电量为1度,而B型节能冰箱每台售价比A型冰箱高出10%,但每日耗电量却为0.55度.现将A型冰箱打折出售(打一折后的售价为原价的1),问商场将A型冰箱打几折,消费者买A型冰箱10年的总费用与B型10

冰箱10年的总费用相当(每年365天,每度电按0.40元计算).

【答案】

解:设商场A型冰箱打x折,依题意,买A型冰箱需2190×x元,10年的电费是365×10

10×1×0.4元;买B型冰箱需2190×(1+10%)元,10年的电费是365×10×0.55×0.4元,依题意,得:

2190×x+365×10×1×0.4=2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4 10

解得:x=8

答:商场将A型冰箱打8折出售,消费者买A型冰箱10年的总费用与B型冰箱10年的总费用相当.

【变式2】某市居民生活用电的基本价格为每度0.40元,若每月用电量超过a度,超出部分按基本电价的70%收费.

(1)某户五月份用电84度,共交电费30.72元,求a;

(2)若该户六月份的电费平均每度0.36元,求六月份共用电多少度?应交电费多少元?

【答案】

解: (1)根据题意,得0.40a+0.40×70%×(84-a)=30.72.

解得:a=60.

(2)设该户六月份共用电x度,因0.36<0.40,所以x>60,于是超出部分电量为(x-60)

度,依题意,得:0.40×60+0.4×70%(x-60)=0.36x.

解得:x=90.

所以0.36x=0.36×90=32.40元.

答:(1)a=60;(2)该用户六月份共用电90度,应交电费32.40元.

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