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新课教案(1

发布时间:2014-01-26 15:01:36  

§1.1.正弦定理(1)

学习目标 :

1. 会用向量法证明正弦定理;

2. 理解正弦定理,并且会用正弦定理解斜三角形;

3. 掌握与正弦定理有关的三角形的面积公式。

一、课前准备

复习:直角三角形的边角有怎样的关系?

二、预习思考

问题1:用几何画板“任意画一个三角形,测量此三角形三个内角的大小及三条边的长, 再对每条边计算其长度与对角的正弦值之比。”三个比相等吗?__________.

问题2:改变三角形的形状再试一试,猜想能得到什么结论?

结论:

__________________________________________________________________________. 提炼新知1:什么是正弦定理?___________________________________________; 公式形式是:_________________________;

思考:如何证明?

提炼新知2:证法一:直角三角形证法;

证法二:向量证法(重点);

证法三:外接圆法;

证法四:等积法

三、知识应用

例1在 ?ABC中,A=30°,C=105°,a=10,求b、c.

例2:根据条件解三角形:

1) 在?ABC中,b?

2)?ABC中,c?3,B?600,c?1,求a和A,C 6,A?450,a?2,求b和B,C

3)在△ ABC中,已知a?3,b?2,B=45? 求A、C及c。

小结:利用正弦定理可以解决______类解斜三角形的问题:

(1)_______________________________________________________________;

(2)________________________________________________________________. 练一练:

1.一个三角形的两个内角分别是30°和45 °角所对的边长为8,那么30°角所对的边长为___________;

2.在?ABC中,已知A=30°,B=45°,a=2,则b=______________;

3.在?ABC中,已知a=3,b=4,sinB=

4. 已知?ABC中,A=2,则sinA=_____________; 3?,a=36,b=6,则B=______________; 3

abc5.在?ABC中,边a,b,c所对的角分别为A,B,C,且,则?ABC是??sinBsinCsinA

___________三角形。

思考:在锐角三角形ABC中,A=2B,边a,b,c所对的角分别为A,B,C,试求

四、总结提升

1.知识收获:

2.能力感悟:

3.知识拓展: a的取值范围。 b

1. 在?ABC中,若a=4,A=45°,B=60°,则b=_______________;

2. 在?ABC中,已知a=6,A=C=30°,则b=_________________;

3. 在?ABC中, 已知a=2,b=22,A=30°,则B=_________________;

4. 在?ABC中,sinA:sinB:sinC =5:6:7,且三角形周长为36,则其三边长分别为

_________________;

5. 在?ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,求a,b,和B 。

6. 在?ABC中,b=3,B=60°,c=1,求a,和A,C.

7. 在?ABC中,已知b?4asinB,求A.

8. 在?ABC中,设22cosBcosCcosA,求cosA的值. ??3b2ca

9.根据下列条件判断符合条件的三角形的个数:

(1)b=11,a=20,B=30°;___________________________.

(2)a=28,b=20,A=45°;_________________________.

(3)c=54,b=39,C=115°;_________________________.

(4)a=20,b=28,A=120°._________

§1.1正弦定理(2)

学习目标:

熟练运用正弦定理解三角形,解决实际问题;

学习导航:

一、课前准备:

复习:正弦定理的内容是__________________________________________,

公式是_____________________.

双基演练:

1. 在?ABC中,若A??

3,a?3,b?,则C=___________。

2. 在?ABC中,已知A?

??6,c?3a,则?ABC是________________三角形。 ,则3.在△ABC中,若A?60,a?a?b?c?_____________。 sinA?sinB?sinC

4.若钝角三角形三内角满足关系:A+C=2B,且最大边与最小边的比值是,则m的取值范围是______________.

探索:△ABC中,已知两边和一边的对角A,求角B。若角A为锐角,那么可能出现哪些情况?若角A为钝角呢?

小结:已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:

?a?bsinA 无解??a?bsinA 一解(直角)⑴若A为锐角时:?

bsinA?a?b 二解(一锐, 一钝)??a?b 一解(锐角)?

已知边a,b和?

a<CH=bsinA

无解a=CH=bsinA仅有一个解

CH=bsinA<a<b有两个解

?a?b 无解⑵若A为直角或钝角时:? a?b 一解(锐角)?

三、知识应用:

abc??,试判断该三角形的形状。 cosAcosBcosC

(2)△ABC中,求证:a(sinB?sinC)?b(sinC?sinA)?c(sinA?sinB)?0 例1 (1) 在△ABC中,

例2.某登山队在山脚A处测得山顶B处的仰角为45°,沿倾斜角为30°的斜坡前进1000米后到达D处,有测得山顶的仰角为60°,求山的高度。

例3 已知△ABC,AD为?BAC的平分线,求证:AB∶AC=BD∶DC

分析:前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题,而?BAC的平分线AD将△ABC分成了两个三角形:△ABD与△ACD,故要证结论成立,可证明它的等价形式:AB∶BD=AC∶DC,从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比,故可利用正弦定理将所证继续转化为

ABADACDC,再根据相等角正弦值相等,互补角正弦?,?sin?ADBsin?ABDsinADCsin?DAC

练一练:

1根据下列条件判断△ABC的形状:(1)sinA?sinB?sinC;

(2)acosA?bcosB; (3)在△ABC中,

形状。

2. 在△ABC中,若222sinAcosBcosC,试判断△ABC的??abcA??

3,b?12,C??

6,则

sa?b?c等于_A?isBn?isCnin_____. _______

?__?3. 为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩A,B(如图)要测算出A,B两点间的距离,测量人员在岸边定出基线BC,测得BC=78m,,?B?60,?C?45,试计

算AB的长。

四.总结提升:

1.知识收获:

2.能力提高:

3.知识拓展:

把比例的性质用在正弦定理中可得:a

sAi?b

snBi?ca?ba?b?c???2R sncisnAi?snBisnAi?snBi?snCin

检测反馈:

4,则?A的值是______________. 3

2222.在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,sinA?sinB?sinC,则△ABC的形状为1.在△ABC中,已知B=45°,c?22,b?

_________________.

a?b?____________. a?b

20?4.在△ABC中,若c?102,C?60,a?,则?A?____________. 33.在△ABC中,若A=45°,B=60°,则

5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证:sinA?sinBa?b。 ?sinCc

6.在△ABC中,已知2B=A+C,b=1,求a+c的取值范围。

§1.2余弦定理(1)

学习目标:使学生掌握余弦定理,并能运用余弦定理解斜三角形,解决实际问题。 学习导航:

一、课前准备:

复习1:正弦定理内容是___________________________________________________,; 公式是_______________________________________;

正弦定理的证明方法有(1)_______________;(2)_________________;

(3)___________________;(4)_______________。

复习2:运用正弦定理可以解决哪两类解斜三角形问题?

_________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________.

二、预习思考:

问题1:通过什么途径可将等式BC?BA?AC数量化?

提炼新知1:什么是余弦定理?___________________________________________________________

思考:如何证明?

2.余弦定理还可以写成什么形式?

_______________________________________________;

3.余弦定理的特点:(1)_______________________________________________ _____;

(2)______________________________________________________.

三.知识应用:

例1:在?ABC中,已知(1)b=3,c=1,A=60°,求a.; (2)已知a=4,b=5,c=6,求cosA。 小结:利用余弦定理可以解决两类解斜三角形的问题:

(1)_____________________________________________;

(2)__________________________________________________.

例2:A,B两地之间隔着一个水塘,现选择另一个点C,测得CA==182m,

CB=126m,?ACB?60, 求A,B两地之间的距离。

?

小结:利用余弦定理可以求:(1)不可通又不可见的两点间的距离;(2)两点间可视

但不可达的两点间的距离 例3.用余弦定理证明:在?ABC中,当?C为锐角时,a2?b2?c2;当?C为钝角222时,a?b?c。

思考:逆命题也成立吗?

小结:余弦定理可以看做是勾股定理的推广

练一练:

1. 在?ABC中,(1)已知A=60°,b=4,c=7,则a=____________.;

(2) 已知a=7,b=5,c=3,则cosA=________________;

(3) 已知a?b?ab?c,则 ?C=_______________;

(4)若a=6,b=6,A=30°,则边c =__________________;

2..若三条线段的长分别为5,6,7,则用这三条线段能构成三角形吗?若能,请说明可构成什么三角形?

3.两游艇自某地同时出发,一艇以10km/h的速度向正北行驶,另一艇以7km/h的速度向北偏东45°的方向行驶,问:经过40分钟,两艇相距多远?

四.总结提升:

1.知识收获:

2.能力感悟:

3.知识拓展: 222

检测反馈:

1.在?ABC中,若a?b?c?bc,则A=______________;

2.三角形三边的比是2:3:4,则三角形的形状为___________三角形;

3.已知和的模分别为2和3,

?222?,则,的夹角为______________;

2224.?ABC的三内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,当a?c?b?ac时,角B的取值范

围是_____________;

5.在?ABC中,已知A>B>C,且A=2C,b=4,a+c=8,求a,c的长.

6.如图,在四边形ABCD中,已知AD?CD,AD=10,AB=14,?BDA=60°,?BCD=135°,(1)求BC的长;(2)四边形ABCD的面积;

7,在?ABC中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角。(1)求最大角的余弦值;

(2)求以此最大角为内角,夹次角的两边之和为4的平行四边形的最大面积。 8在?ABC中,已知2B=A+C,b?ac,证明:?ABC为等边三角形。

§1.2余弦定理(2) 2 :

熟练运用余弦定理解斜三角形,解实际问题。

学习导航:

一、课前准备

复习:余弦定理的内容是:

________________________________________________________________;

公式是:

___________________________________________________________________________________;

变形公式是:

_________________________________________________________________________________.

二、双基演练:

1.在?ABC中,AB=3,AC=4,BC= ,则AC边上的 高为_______________;

122,a?,则b?bc?c的值为______________; 2

3. 在?ABC中,sinA:sinB:sinC?2:3:4,则角B的余弦值为________________;

4. 在?ABC中,BC=10,周长为25,则cosA的最小值是_________________; 2. 在?ABC中,cosA?

提炼新知:在同一三角形中,知道两边一角求边、知道三边求一角时用余弦定理;知道两角一边求其 它知道两边一角求角时要用正弦定理。

三、知识应用:

例1:如图,AM是?ABC中BC 边上的中线,求证:

1AM?2(AB2?AC2)?BC2.

2

C

例2:在?ABC 中,BC?a,AC=?ABC,且a,b是方程x2?23x?2?0的两根,

(2)求AB 的长;(3)求?ABC的面积. 2cos(A?B)?1.(1)求角C的度数;

例3:在?ABC中,已知sinA?2sinBcosC,试判断该三角形的形状。

例4;在长江某渡口处,江水以5km/h的速度向东流。一渡船在江南岸的A码头出发,预定要在0.1小时后到达江北岸B码头。设为正北方向,已知B码头在A码头的北偏东30°,并与A码头相距1.2千米。该渡船应按什么方向航行?速度是多少? B练一练:

1. 在?ABC中,已知a=2,b=3,C=60°,证明此三角形是锐角三角形。 2. 在?ABC中,设CB?a,AC?

b,

且?2?3,a?b??3,求AB的

长。

3.已知a?7.b?43,c?,求最小的内角。

4.在?ABC中,已知CB=7,AC=8,AB=9,试求AB边上的中线长。

四.总结提升:

1.知识收获:

2.能力感悟:

3.知识拓展:(1)可用余弦定理推导平行四边形的对角线长定理; (2).余弦定理的变形:

a2?(b?c)2(a?b?c)(a?b?c)1?cosA??,2bc2bc

A(a?b?c)(a?b?c)(a?b?c)(a?b?c)?tan?. 1?cosA?2(a?b?c)(a?b?c)2bc

检测反馈: 1. 已知?ABC的面积为(a2?b2?c2),其中a,b,c为叫A,B,C所对的边,则

C=__________

2. 在?ABC中,若则角A是____________(选填“锐角”、“直角”、“钝角”); 14

3. 已知?ABC的面积为23,BC=5,A=60°,则?ABC的周长是_________; 4. 在?ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 则acosC+ccosA的值为________;

bsinB的值; c

6.在?ABC中,已知AB?5,AC?21BC边上的中线AD长为19,求边BC的长; 5. 在?ABC中,已知b2?ac,a2?c2?ac?bc,求A及

7.如图,已知圆内接四边形ABCD中,AB=2,BC=6,AD=CD=4,如何求四边形ABCD的面积?

延伸:如何求四边形ABCD 的外接圆的半径?

8.在?ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A,B,C满足关系式a2?b2?c2?bc,

A 求tan. 2

§1.2 习题课

学习目标:

 学习重点:利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向

学习难点:

学习导航:

一、课前准备:

复习1:正弦定理:

复习2:余弦定理:

二、双基演练:

1.在△ABC中,已知A=30°,且3a? b?12,则c=_____________________;

2. 在△ABC中,若(a?b?c)(b?c?a)?3bc,则A=______________;

3. 在△ABC中,已知2sinAcosB?sinC,则△ABC的形状为___________________; 4.在△ABC中,若a?,b?4,A?30?,则满足条件的三角形有______________个。 三、知识应用:

它们可以把边的关系转化为角的关系,也可以把角的关系转化为边的关系,从而使许多问题1.(1)已知a、b为△ABC的边,A、B分别是a、b的对角,且sinA2?,sinB3

(2)在△ABC中,(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判断△ABCa?bb

例2.已知△ABC中,三边a、b、c所对的角分别是A、B、C,且a、b、c求证:sinA+sinC=2sinB

某些三角习题的化简和求解,若能巧用正、余弦定理,则可避免许多繁杂的运算,从而使问题较轻松地获得解决,现举例说明如下

例3.求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值.

例4、在△ABC中,三边长为连续的自然数,且最大角是最小角的2倍,求此三角形的三边

分析:由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系,中sin2??2sin?cos?利用正弦二倍角展开后出现了cosα,可继续利用余弦定理建立关 5.已知三角形的一个角为60°,面积为10cm,周长为20cm,求此三角形的各边长:此题所给的题设条件除一个角外,面积、周长都不是构成三角形的基本元素,但是都与三角形的边长有关系,故可以设出边长,利用所给条件建立方程,这样由于边长为三个未知数,所以需寻求三个方程,其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦,其二可2用面积公式S?ABC?1absinC 2

评述: (1)在方程建立的过程中,应注意由余弦定理可以建立方程,也要注意含有正弦形式的面积公式的应用;(2)由条件得到的是一个三元二次方程组,要注意要求学生体会其求解

练一练:

a2?b2sin(A?B)1.在?ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,证明:2?. sinCc

ABC中,已知B=30°,b=50,c=150,那么这个三角形是__________三角形; ABC中,已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4,则cosA

tanAsinA,则三角形为 ?tanBsinB

2?b2?c2

?c2且acosB?bcosA,试判断△ABCABC中,a?b?cABC中,四、总结提升:

1.知识收获:熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用,并利用正、余弦定理对三角恒等式 2.能力感受:

3.知识拓展:

检测反馈:

1. 在△ABC中,若(a?b)?c?ab,则?C?___________;

2. 在△ABC中,若a?(3?1)b,C?30,则A=_______________;

3.已知锐角三角形的三边长分别为2,3,x, 则x的取值范围是___________________;

4.在四边形ABCD中,?B??D?75,C?60,AB=3,AD=4,求对角线AC的长。

5.试用三种方法证明:在△ABC中,a?bcosC?ccosB。

6.在△ABC中有两个角分别为30°和40°,且a?b?c?4(sinA?sinB?sinC),求△ABC的面积。 ???22

ABC中,已知sinAsin(A?B),求证:a2,b2,c2?sinCsin(B?C)

ABC中,A=30°,cosB=2sinB-sin(1)求证:△ABC为等腰三角形;(提示B=C=75°)

(2)设D为△ABC外接圆的直径BE与AC的交点,且AB=2,求AD∶DC9. 在△ABC中,已知tanA?11,tanB?,试求最长边与最短边的比。 23

§1.3 正弦地理和余弦定理的应用(2)

学习目标:利用正弦定理和余弦定理解决几何问题。

学习导航:

一、课前准备:

复习1:正弦定理:

复习2:余弦定理:

二、双基演练::

1. 边长分别为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是________________;

2. 在?ABC中,若a=1,B=45°,?ABC的面积为2,那么?ABC的外接圆直径为

_______________;

3. 在?ABC中,若A>B,则sinA与sinB的大小关系是_____________________;

4. 某高尔夫球场内有A,B,C三洞,其中A,C两涧洞有一水池,已知

AB=20m,BC=35m,?ABC=60°则A,C的距离为__________m;

三、知识应用:

例1.、如图,半圆O的直径为2,A为直径延长线上一点,OA=2,B为半圆上任意一点,以AB为一边作等边三角形。问:点B在什么位置时,四边形OACB面积最大?

例2.已知a,b,c是?ABC中角A,B,C的对边,S是?ABC的面积,若a=4,b=5,S=53,求c的长。

例3. 在?ABC中,a,b,c是?ABC中角A,B,C的对边,已知4sin

(1) 求?A的度数;(2)若a?2O

AC?B7?cos2A?, 223,c?b?3,求b和c的值。

练一练:

1. 在?ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3bc,求A的度数。

2. 一梯形的两腰长分别为4和6,它的一个底角为60°,它的另一个底角

的余弦值为________;

3. 边长为10 的正五边形的对角线长为____________;

4. 如图,在?ABC中,已知?BAC?135°,D为BC上一点,

AD?AB,BD=4,DC=10,求tan?ABC.

5.给出下列三个命题:(1)若tanAtanB?1则?ABC一定是钝角三角形;(2)若

(3)若sin2A?sin2B?sin2C 则?ABC一定是直角三角形;

cos(A?B)cos(B?C)cos(C?A)?1,则?ABC一定是等边三角形.以上正确的命题是_________________.

四、总结提升:

1. 知识收获:

2. 能力感悟:

3. 知识拓展:

检测反馈:

?1. 如图,在四边形ABCD中,?DAB??ABC?60,AB=6,BC=4,AD=2,若BC上有一点

E,DE将四边形ABCD的面积二等分,求CE的长。

A2.如图我炮兵阵地位于A处,两观察所分别设于C,D,已知?ACD为边长等于a的正三角形,测得?CDB?45,?BCD?75,试求炮击目标的距离AB。

??

B

3.已知圆内接四边形ABCD 中,AB=4,BC=12,AD=CD=8.求:(1)四边形ABCD 的面积;

(2)四边形ABCD 的外接圆半径。

4.已知?ABC的三边长分别为4,5,6,求:(1)?ABC各内角的余弦值;(2)BC边上的中线AD的长;(3)?ABC的面积;(4)?ABC的外接圆面积;(5)?ABC的内切圆半径 A5. ?ABC中,已知2a?b?c,sin2A?sinBsinC,试判断?ABC的形状。

6. 在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,设a+c=2b,A-C=?,求sinB3

7.如图,已知?A为定角P,Q分别在?A的两边上,PQ为定长,当P,Q处于什么位置时,?APQ的面积最大?

A

出这个最大值。

8.将一块圆心角为120°,半径为40cm的扇形铁片裁成一块矩形,有如图两种裁法:让矩形一边在一条半径上,或让矩形一边与弦平行,请问哪种裁法能得到最大面积的矩形?并求

B

OA

《解三角形》复习课

学习目标:

1. 进一步巩固正弦定理和余弦定理及其推理方法 ,

2. 能正确运用正弦定理和余弦定理解决与三角形有关的各类问题

3. 通过解斜三角形应用举例的学习,进一步提高解决实际问题的能力。 学习导航:

一、课前准备:

看本章回顾总结本章主要学习了哪些内容?

二、双基演练:

1.已知?ABC中,a?

1. 2,b?,?B?60?,那么?A?___________; _; 在?ABC中,a?1,c?2,B?30?,则S?ABC?__________

2. 在锐角?ABC中,c=1, ?ABC的外接圆半径为1,则?C?_________;

3. 在?ABC中,a?2,b?3,c?3,则cosC?_________;

四、 例题讲评:

例1. 在?ABC中,已知a?2,b?3,?A?45?,求C及c;

小结:在解决“已知三角形中的两边及其中一边的对角,求三角形其他的边角”的问题的时候,首先必须判明是否有解?如果有解,是一解还是两解?这是学习中值得引起注意的问题.解决这一类问题时,除了要掌握教材中关于解的个数的讨论的有关方法外,还要能够灵活地运用“三角形中大边对大角”的结论。

例2.若?ABC的周长为2?1,且sinA?sinB?2sinC.(1)求AB边的长;(2)若

1?ABC得面积为sinC,求?C;(3)求该三角形的外接圆半径. 6

例3.如图所示,在等边三角形ABC中,AB=a,O为中心,过O的直线交AB于M,交AC于N,求11的最大值和最小值。 ?22OMON

C

B例4.为进行科学实验,观测小球A,B在两条相交成60°的直线轨道上运动的情况,如图所示,运动开始前A和B分别距离O点3米和1米,后来它们同时以4米每分钟的速度各沿轨道l1和l2按箭头指示的方向运动,问:

(1) 运动开始前A,B间的距离是多少米?

(2) 几分钟后,两个小球的距离最小?

总结提升:

1. 在解决“已知三角形的两边及其一边的对角,求其它的边和角”的时候要注意解的个数

问题;

2. 在解决综合题时,要注意考虑问题的全面性。

3.在?ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知a2?c2?2b,且sinAcosC?3cosAsinC, 求b

?????A???4.在?ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,

b,c,且满足cos?,AB?AC?3.(I)2求?ABC的面积;(II)若b?c?6,求a的值.

?46. 在?ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B?,cosA?,b? 3

5

(Ⅰ)求sinC的值;(Ⅱ)求?ABC的面积.

327.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,cos(A?C)?cosB?,b?ac,2

求B.

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