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寒假五

发布时间:2014-01-30 14:45:27  

寒假五(一元二次方程的整数解-分类讨论的提升)

方法一:

从求根入手,求出根的有理表达式,利用整除求解.

例1. 若关于x的方程(6?k)(9?k)x2?(117?15k)x?54?0的解都都是整数,则符合

条件的整数的值有____________个。(全国初中数学竞赛)

思维点拨 先利用因式分解法求出方程的根,再利用整数理论进行分析。

1. 已知关于x的方程(a?1)x2?2x?a?1?0的根都是整数,那么符合条件的整数a有-

___________ 个

2. 已知k是整数,且关于x的方程(k2?1)x2?3(3k?1)x?18?0有两个不相等的正整数

根,求k的值。

方法二:从判别式入手,运用判别式求出参数或解的取值范围,或引入参数设(??k),通过穷举,逼近求解。

例2 当m为整数时,关于x的方程(2m?1)x?(2m?1)x?1?0是否有有理根?如果有,求出m的值;如果没有,请说明理由。(第十七届江苏省竞赛题)

举一反三:

已知方程x?6x?4n?32n?0的根都是整数,求整数n的值。(全国初中数学联赛)

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方法三:从韦达定理入手从根与系数的关系去消去参数,得关于两根的不定方程,借助因式分解、因式分解求解。(重点)

例4.求满足如下条件的所有k值:使关于x的方程kx2?(k?1)x?(k?1)?0的根都是整数。

1.试确定一切有理数r,使得关于x的方程rx2?(r?2)x?r?1?0有根且只有整数根。

2.若a、b都是整数,方程ax?bx?2008?0的相异两根都是质数,则3a+b的值为( )。

3.求使方程x?pqx?p?q?0有整数根的所有正整数p和q。

反客为主方法四:从变根主元入手,当方程中参数次数比较低时,可以考虑以参数为主元求解。

例4.试求出所有这样的正整数a,使得二次方程ax?2(2a?1)x?4(a?3)?0至少有一个整数根。

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