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《数列、不等式》寒假作业

发布时间:2014-02-05 15:47:31  

2013-2014学年度第一学期高二数学寒假作业

(数列、不等式 )

班别 学号 姓名 成绩

一、选择题

1、设数列{an}为等差数列,首项为?2,公差为5,则该数列的第8项为( )

A.31 B.33 C.35 D.37

2、设等比数列{bn}单调递增,且b2?2,b4?32,则该数列的公比为( )

A.4 B.8 C.?4 D.?8

3、下列结论正确的是( )

A.若ac>bc,则a>b B.若a2>b2,则a>b

C.若a>b,c<0,则 a+c<b+c D.若a<,则a<b

4、设aa2

1,a2,a3,a4成等比数列,其公比为2,则2a1?

2a的值为( )

3?a4

A.1

4 B.1

2 C.1

8 D.1

5、二次不等式ax2?bx?c?0的解集是R的条件是( )

A.??a?0B.??a?0

????0C.?

??0?a?0?a?0

???0    D.????0

6、下列函数中,最小值为4的函数是( )

A.y?2x?2

x B.y?sinx?4

sinx(0?x??)

C.y?4ax?a?x D.y?log2x?logx16

7、已知点(3,1)和(- 4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧,则a的取值范围是(

A. a<-7或 a>24 B. a=7 或 a=24 C. -7<a<24 D. -24<a<7 8、若实数a、b满足a?b?2,则3a?3b的最小值是 ( )

A.18 B.6 C.

D.

9、在等比数列?an?中,a1?1,a10?3,则a2a3a4a5a6a7a8a9?( ) )

A. 81 B.

C

D. 243

10、已知数列?an?满足a1?0,an?1?2n?an那么a2011的值为( )

2A.2010?2009 B.2011?2010 C.2011 D. 2011?2012

二、填空题

11、若?1?a?2,?2?b?1,则a-b的取值范围是

12、设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a1?1,公差d=2,则S10=_______ .

13

11,两数的等比中项是

14、若f(x)?x2?ax?1能取到负值,则a的范围是 15、不等式11<的解集是。 x2

?x?0?16、若实数x,y满足约束条件?y?0,则z?2x?y的最大值为________

?x?y?1?

三、解答题

17、已知不等式x?bx?c?0的解集为{x|x?2或x?1}

(1)求b和c的值; (2)求不等式cx?bx?1?0的解集.

18、求解下列数列问题

⑴已知等比数列{bn}的公比q=2,第3项为8,求数列{bn}的前8项和. 22

⑵已知数列?an?的前n项和Sn?3?2n,求an.

19、已知f(x)?x?(a?(I)当a? 21)x?1, a1时,解不等式f(x)?0;(II)若a?0,解关于x的不等式f(x)?0 2

20、12.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=n+2n,数列{bn}的通项公式为bn=2n.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=32,求n; (3)求数列{an?bn}的前n项和Tn.

21、已知Sn是数列{an}的前n项和,且a1?1,nan?1?2Sn(n?N*).

(1)求a2,a3,a4的值;

(2)求数列{an}的通项an;

(3)设数列{bn}满足b1?

2112,bn?1?bn?bn,求证:当n?k时有bn?1. 2ak

22、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m。如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低造价为多少元?

《数列、不等式》试题答案:

1-5 BADAD 6-10 CCBAB

11、??2,4?;12、100;13、?1;14、???,?2???2,???;15、???,0???2,???; 16、2;17、(1)b=-3;c=2;(2)?x?1??x?1? ?2?

?5,n?118、(1)510;(2)an??n?1 2,n?1?

19解:(I)当a?

∴(x?132时,有不等式f(x)?x?x?1?0, 221)(x?2)?0, 2

1?x?2} 2

1 (II)∵不等式f(x)?(x?)(x?a)?0 a

11 当0?a?1时,有?a,∴不等式的解集为{x|a?x?}; aa

11 当a?1时,有?a,∴不等式的解集为{x|?x?a}; aa∴不等式的解集为:{x|

当a?1时,不等式的解集为xx?1。

220、解:当n=1时,a1=S1=1+2?1??3;

22当n>1时,an=Sn-Sn-1=(n+2n)-[(n-1)+2(n-1)]=2n+1

经检验,a1=3也满足上式

所以 an=2n+1 (n N) (1)an=2n+1 (n N)

n(2)由bn=2=32得,n=5 ++

(3)因为an?bn=(2n+1)?2, n

所以 Tn=3?2

5?22?+(2n+1) 2n ①

2Tn=3?22

5?23?+(2n-1)?2n

(2n+1) 2n+1 ②

T2n)+(2n+1) 2n+

1

n=-3?22(22+23+?+4(1-2n-1②-①得 =-6-2?)

1-2

(2n+1) 2n+1

=-6-8(1-2n-1)+(2n+1) 2n+1

=2-2n+2+(2n+1)?2n+1

2+(2n-1) 2n+1

所以 T1)?n+2

1

n=2+(2n-

21、解:(1)由a1?1,nan?1?2Sn(n?N?)得 a2?2a1?2 , a3?S2?a1?a2?3, 由3a4?2S3?2(a1?a2?a3)得a4?4 (2)当n?1时,由nan?1?2Sn ① ,得(n?1)an?2Sn?1 ② ①-②得nan?1?(n?1)an?2(Sn?Sn?1),化简得nan?1?(n?1)an,∴

an?1a?

n?1

(n?1). nn

∴aa2?2,

3?3,……,ann

a?

22an?1n?1

以上(n?1)个式子相乘得a3n?2?

2???n

n?1

?n(n?1) 又a1?1,∴an?n(n?N?) (3)∵a1n?n?0,b1?

2?0,b?12

n?1abn?bn, k

(1分)2分)

3分) 4分) 5 分) 6 分) 7 分) (8 分)

( ( (

( ( (

∴{bn}是单调递增数列,故要证:当n?k时,bn?1,只需证bk?1. (9分) (i)当k?1时 ,b1?

(ii)当k?2时,

∵bn?1?bn?0,bn?1?1?1,显然成立; (10分) 212bn?bn, ak

∴bn?1?1111bn?1bn?bn,∴???. (11分) kbn?1bnk

∴?11?11?11??11??11????????????????????bk?bkbk?1??bk?1bk?2??bk?2bk?3??b2b1?b1

k?1k?1 ?2?kk

(12分) ??

∴bk?k?1. (13分) k?1

综上,当n?k时有bn?1. (14分)

22、解:设水池底面一边的长度为xm,水池的总造价为l元,根据题意,得

l?240000?720(x?1600),?x?0? x

?x>0,

1600??0x

?l?240000?720(x?1600)?240000?720?x?240000?720?2?40?297600 当x? 1600,即x?40时,l有最小值2976000. x

答:当水池的底面是边长为40m的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是297600

元。

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