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直线和圆的位置关系(秦平)

发布时间:2014-06-05 08:07:25  

亳州二中高一数学必修二解析几何复习指导

考点25 圆的标准方程与一般方程

考点26 直线与圆的位置关系

考点27 圆与圆的位置关系

考点28 直线和圆的方程解决简单的问题

【知识梳理】

1.圆的定义:在平面内到的点的集合叫圆.

2.圆的标准方程

(1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)表示圆心为r的圆的标准方程.

(2)特别地,以原点为圆心,半径为r(r>0)的圆的标准方程

为 x2+y2=r2 .

3.圆的一般方程

D+E-4FDEx+?2+?y+?2=方程x+y+Dx+Ey+F=0可变形为?故有: ?2??2?422

D+E-4FDE-为圆心,以(1)当D+E-4F>0时,方程表示以? 2?222222

DE-,-?; (2)当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点?2??2

(3)当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形. 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为:

4.P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系

(1)若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,则点P在圆外;

(2)若(x0-a)2+(y0-b)2=r2,则点P在圆上;

(3)若(x0-a)2+(y0-b)2<r2,则点P在圆内.

5.直线与圆的位置关系

位置关系有三种: 相离 、 相切 、 相交 .

判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法:

判别式?Δ>0?相交,?(1)代数法:――→?Δ=0?相切,

Δ=b2-4ac??Δ<0?相离.

(2)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:d<r?

d=r?d>r? . 计算直线被圆截得的弦长的常用方法

运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.

(2)代数方法 运用根与系数关系及弦长公式

6.圆与圆的位置关系的判定

2设⊙C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r1(r1>0),

⊙C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0),则有:

|C1C2|>r1+r2?⊙C1与⊙C2相离;

|C1C2|=r1+r2?⊙C1与⊙C

|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2?⊙C1与⊙C2 ;

|C1C2|=|r1-r2|(r1≠r2)?⊙C1与⊙C2

|C1C2|<|r1-r2|?⊙C1与⊙C2 内含 .

【考点分析】

1.考查根据所给的条件选取适当的方程形式,利用待定系数法求出圆的方程.

2.题型既有选择题、填空题,又有解答题.客观题突出小而巧,主要考查圆的方程;主观题往往在知识的交汇点处命题.

3.考查直线与圆相交、相切的问题.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系,能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.

4.考查与圆有关的量的计算,如半径、面积、弦长的计算.

【复习指导】

1.本讲复习时,应熟练掌握圆的方程的各个要素,明确圆的标准方程,一般方程.

2.能根据所给条件选取适当的方程形式,利用待定系数法求出圆的方程,结合圆的几何性质解决与圆有关的问题.

3.会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系.

4.掌握圆的几何性质,通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题,体会用代数法处理几何问题的思想.

【典型例题】

例1.(利用点与圆的位置关系求参数范围)若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是( ).

A.-1<a<1 B.0<a<1

C.a>1或a<-1 D.a=±1

解析 因为点(1,1)在圆的内部,

∴(1-a)2+(1+a)2<4,∴-1<a<1. 答案 A

例2.(求轨迹方程)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )

A.(x-2)2+(y+1)2=1 C.(x+4)2+(y-2)2=4

B.(x-2)2+(y+1)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1

x

?x4+2

M(x,y),则?-2+y

y=?2

解析 设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为

解得

??x0=2x-4,

?因为点Q在圆x2+y2=4上,所以(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2?y0=2y+2.?

=1.

例3.(求最值)已知点M是直线3x+4y-2=0上的动点,点N为圆(x+1)2+(y+1)2=1上的动点,则|MN|的最小值是( ). 9413A.5 B.1 C.5 D.5解析 圆心(-1,-1)到点M的距离的最小值为点(-1,-1)到直线的距离d=|-3-4-2|94

=,故点N到点M的距离的最小值为d-1=555 答案 C 例4.(利用直线与圆的位置关系求参数范围)若直线2x-y+a=0与圆(x-1)2+y2=1有公共点,则实数a的取值范围( ). A.-2-5<a<-2+5 C5≤a5

B.-25≤a≤-25 D5<a5

|a+2|解析 若直线与圆有公共点,即直线与圆相交或相切,故有1,解得-2

55≤a≤-25. 答案 B

例5.(求弦长)直线x+3y-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长度等于( )

A.25 B.23 C.3 D.1

?x+3y-2=0,解析 法一 联立方程组?22解得A、B两点的坐标为(2,0)、(-?x+y=4,

13),所以弦长|AB|= ?2+1?2+?0-3?2=23.

2

1+?3?22 法二 根据直线和圆的方程易知,圆心到直线的距离为

知圆的半径为2,所以弦长|AB|=22-1=3. 1,又

y-2例6.(利用几何意义求最值)已知x,y满足x2+y2=1,则的最小值为________ x-1

解析 y-2y-2P(x,y)与点Q(1,2)连线的斜率,所以的最小值是直线PQ与x-1x-1

|2-k|=1得kk+1圆相切时的斜率.设直线PQ的方程为y-2=k(x-1)即kx-y+2-k=0.由

y-2333=,故最小值为44x-14

例7.(直线和圆的位置关系简单应用)已知圆C:x2+y2+x-6y+m=0与直线l:x+2y-3=0.

(1)若直线l与圆C没有公共点,求m的取值范围;

(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,求实数m的值.

解析 (1)将圆的方程配方,

37-4m1得(x+2)2+(y-3)2=4, 故有37-4m37>0,解得m<44?x+2y-3=0,将直线l的方程与圆C的方程组成方程组,得?22 ?x+y+x-6y+m=0,

3-x3-x消去y,得x2+22+x-6×2+m=0,

整理,得5x2+10x+4m-27=0,①

∵直线l与圆C没有公共点,∴方程①无解,故有Δ=102-4×5(4m-27)<0,解得m>8.

37∴m的取值范围是(8,4.

(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),

→·→=0, 由OP⊥OQ,得OPOQ

即x1x2+y1y2=0,②

由(1)及根与系数的关系,得

4m-27x1+x2=-2,x1·x2=5③

又∵P、Q在直线x+2y-3=0上,

3-x13-x2∴y1·y2=22

1=4[9-3(x1+x2)+x1·x2].

m+12将③代入上式,得y1·y25,④

将③④代入②得x1·x2+y1·y2

4m-27m+12=5+50,解得m=3. 代入方程①检验得Δ>0成立,∴m=3.

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