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《圆的基本性质》各节知识点及典型例题

发布时间:2013-10-09 13:37:10  

圆的基本性质

第一节 圆 第二节 圆的轴对称性 第三节 圆心角 第四节 圆周角 第五节 弧长及扇形的面积 第六节 侧面积及全面积 六大知识点:

1、圆的概念及点与圆的位置关系

2、三角形的外接圆

3、垂径定理

4、垂径定理的逆定理及其应用

5、圆心角的概念及其性质

6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 7、圆周角定理 8、圆周角定理的推论 9、圆锥的侧面积与全面积

【课本相关知识点】

1、圆的定义:在同一平面内,线段OP绕它固定的一个端点O ,另一端点P所经过的 叫做圆,定点O叫做 ,线段OP叫做圆的 ,以点O为圆心的圆记作 ,读作圆O。

2、弦和直径:连接圆上任意其中经过圆心的弦叫做是圆中最长的弦。

3、弧:圆上任意弧都叫做 。小于半圆的弧叫做 ,用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来,大于半圆的弧叫做 ,用弧两端的字母和中间的字母,再加上“⌒”就可表示出来。

4、等圆:半径相等的两个圆叫做等圆;也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆

5、点与圆的三种位置关系:

若点P到圆心O的距离为d,⊙O的半径为R,则:

点P在⊙O外 ;

点P在⊙O上 ;

点P在⊙O内 。

6、线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的点在上

7、过一点可作 上任意一点为圆心即可。

8、过的三点确定一个圆。

9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的,外接圆的圆心叫做三角形的的 。三角形的外心是三角形三条边的

【典型例题】

【题型一】证明多点共圆

例1、已知矩形ABCD,如图所示,试说明:矩形ABCD的四个顶点A、B、C、D在同一个圆上

【题型二】相关概念说法的正误判断

例1、(甘肃兰州中考数学)有下列四个命题:① 直径是弦;② 经过三个点一定可以作圆;③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;④ 半径相等的两个半圆是等弧。其中正确的有( )

A.4个 B.3个 C.3个 D.2个

例2、下列说法中,错误的是( )

A.直径是弦 B.半圆是弧 C.圆内最长的弦是直径 D.弧小于半圆

例3、下列命题中,正确的是( )

A.三角形的三个顶点在同一个圆上 B.过圆心的线段叫做圆的直径

C.大于劣弧的弧叫优弧 D.圆内任一点到圆上任一点的距离都小于半径

1

例4、下列四个命题:① 经过任意三点可以作一个圆;② 三角形的外心在三角形的内部;③ 等腰三角形的外心必在底边的中线上;④ 菱形一定有外接圆,圆心是对角线的交点。其中真命题的个数( )

A.4个 B.3个 C.3个 D.2个

【题型三】点和圆的位置关系的判断

例1、⊙O的半径为5,圆心O在坐标原点上,点P的坐标为(4,2),则点P与⊙O的位置关系是( )

A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外

例2、已知矩形ABCD的边AB=3cm,AD=4cm,若以A点为圆心作⊙A,使B、C、D三点中至少有一个点在圆内且至少有一个点在圆外,则⊙A的半径r的取值范围是

【题型四】“不在同一条直线上的三点确定一个圆”的应用

如“把破圆复原成完整的圆”;如“找一点,使它到三点的距离相等”:方法就是找垂直平分线的交点

例1、平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为

【题型五】圆中角的求解

如图,AB为⊙O的直径,CD为⊙O的弦,AB、CD的延长线交于点E,已知AB=2DE,∠E=18°,求∠AOC的度数

温馨提醒:(1)在同圆或等圆中,直径为半径的2倍;(2)圆中常用半径相等来构造等腰三角形,这些看似十分简单的性质和方法,却最容易被遗忘。

巩 固 练 习

1、如图,一根5m长的绳子,一端拴在柱子上,另一端拴着一只羊(羊只能在草地上活动),请画出羊的活动区域。

3m

2、如果⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为7,最小距离为1,那么此圆的半径为

3、如图,点A、D、G、M在半圆上,四边形ABOC,DEOF、HMNO均为矩形,设BC=a,EF=b,NH=c,则a,b,c的大小关系是

第5题

第3题

4、已知⊙O的半径为1,点P与圆心O的距离为d,且方程x2-2x+d=0有实数根,则点P在⊙O的

5、如图,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用次就可以找到圆形工件的圆心

2

6、若线段AB=6,则经过A、B两点的圆的半径r的取值范围是

7、在Rt△ABC中,∠C=90°,两直角边a、b是方程x2-7x+12=0的两根,则△ABC的外接圆面积为8、如图,平面直角坐标系中一第圆弧经过网格点A、B、C,其中B点坐标为(4,4),那么该圆弧所在圆的圆心坐标为

9、已知圆上有3个点,以其中两个点为端点的弧共有条

【课本相关知识点】

1、轴对称图形:如果一个图形沿着某一条直线直线,直线两旁的部分能够做轴对称图形,这条直线就是对称轴。

2、圆是轴对称图形,

3、垂径定理:垂直于弦的直径,并且平分

4、分一条弧成的点,叫做这条弧的中点。

5、

6、垂径定理的逆定理1:平分弦(垂径定理的逆定理2:平分弧的直径

【典型例题】

【题型一】应用垂径定理计算与证明

例1、如图所示,直径CE垂直于弦AB,CD=1,且AB+CD=CE,求圆的半径。

例2、如图所示,已知线段AB交⊙O于C、D两点,OA、OB分别交⊙O于E、F两点,且OA=OB,求证:

AC=BD

温馨提醒:在垂径定理中,“垂直于弦的直径”可以是直径,可以是半径,也可以是过圆心的直线或线段。

【题型二】垂径定理的实际应用

例1、某居民区内一处圆形下水道破裂,修理人员准备更换一段新管道,如图所示,污水的水面宽为60cm,水面至管道顶部距离为10cm,问:修理人员应准备内径多大的管道? 60cm

3 10cm

温馨提醒:要学会自己多画图,这样有助于书写解题过程。

例2、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径,假设钢珠的直径是10mm,测得钢

珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示,则这个小孔的直径AB是

【题型三】垂径定理与逆定理的实际应用

AB的中点,过点M的弦MN交AB于点C,设⊙O的半径为4cm,。 例1、如图,已知M是⌒

(1)求圆心O到弦MN的距离

(2)求∠ACM的度数

【题型四】应用垂径定理把弧2等份,4等份等

巩 固 练 习

1、下列说法正确的是( )

A.每一条直径都是圆的对称轴 B.圆的对称轴是唯一的

C.圆的对称轴一定经过圆心 D.圆的对称轴与对称中心重合

2、下列命题:① 垂直于弦的直径平分这条弦;② 平分弦的直径垂直于弦;③垂直且平分弦

的直线必定经过圆心。其中正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

3、如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长是整数,

则满足条件的点P有( )个

A.2 B.3 C.4 D.5

4、半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦,长度分别为6cm和8cm,则这两弦之间的距离为5、圆的半径等于,圆内一条弦长cm,则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于

6、如图,矩形ABCD与⊙O相交于M、N、F、E,如果AM=2,DE=1,EF=8,那么MN的长为

第6题 第7题 第8题 第9题

7、如图,AB是⊙O的直径,CD是弦。若AB=10cm,CD=6cm,那么A、B两点到直线CD的距离之和为

8、如图,半径为5的⊙P与y轴交于点M(0,-4)、N(0,-10),函数y=k(x<0)的图象过点P,则k= x

9、如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为10、如图,已知AB、AC为弦,OM⊥AB于点M, ON⊥AC于点N ,BC=4,则11、已知圆内接△ABC中,AB=AC,圆心O到BC的距离为3cm,圆的半径为7cm,求腰AB的长

4

12、如图,已知⊙O的半径为10cm,弦AB⊥CD,垂足为E,AE=4cm,BE=8cm,求弦CD的长

13、如图,某菜农在生态园基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚,大棚的跨度(弦AB大棚顶点C离地面的高度为2.3米. ⑴求该圆弧形所在圆的半径;

⑵若该菜农身高1.70

BD的中点,E为弦AC的中点,且在BD上。求四边形ABCD的面积。 14、⊙O的半径为2,弦A为⌒

【课本相关知识点】

1、中心对称图形:把一个图形绕着某一点,如果旋转后的图形能够与原来的图形那么,这个图形叫做中心对称图形,这个点是它的

2、过中心对称图形的

3、圆的旋转不变性:将圆周绕圆心O旋转,都能与自身重合,这个性质叫做圆的旋转不变性。

4、圆心角:叫做圆心角。

5、在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的圆心角定理)

6、n°的圆心角所对的弧就是的度数相等。

⌒B,那么所求的是弧长 注意:在题目中,若让你求A

7、在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等,那么 (姑且称之为圆心角定理的逆定理)

注解:在由“弦相等,得出弧相等”或由“弦心距相等,得出弧相等”时,这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等,优弧与优弧相等。

【典型例题】

【题型一】与圆心角定理的逆定理的相关说法的正确与否

例1、下列说法:① 等弦所对的弧相等;② 等弧所对的弦相等;③ 圆心角相等,所对的弦相等;④ 弦相等,所对的圆心角相等;⑤ 在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等。正确的个数为( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

5

【题型二】运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系证明线段、角度、弧相等

例1、如图,⊙O的弦AB、CD相交于点P,PO平分∠APD。求证:AB=CD

例2、如图⊙A与⊙B是两个等圆,直线CF∥AB,分别交⊙A于点C、D,交⊙B于点E、F。求证:∠CAD=∠EBF

⌒⌒D与AE相等吗?说明理由。

例3、如图所示,AB、CD是⊙O的直径,CE∥AB交⊙O于点E,那么A

【题型三】计算弧的度数

⌒AD的度数为40°,求BE的度数

例1、如图所示,C是⊙O的直径AB上一点,过点C作弦DE,使CD=CO,若⌒

【题型四】运用用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决实际问题

例1、已知张庄、李庄分别位于直径为300米的半圆弧上的三等分点M、N的位置,现在要在河边(直径所在的位置)修建水泵站,分别向两个村庄供水,求最小需要多少米的水管?(提示:将半圆补全,将军饮马问题)

6

巩 固 练 习

1、如果两个圆心角相等,那么( )

A.这两个圆心角所对的弦相等 B.这两个圆心角所对的弧相等

C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D.以上说法都不对

2、下列命题中,正确的是( )

A.相等的圆心角所对弦的弦心距相等 B.相等的圆心角所对的弦相等

C.

同圆或等圆中,两弦相等,所对的弧相等 D.同圆或等圆中,相等的弦所对的弦心距也相等

3、在半径为1的弦所对的圆心角的度数是( )

A.30° B.45° C.60° D.90°

⌒⌒B=⌒AC;③ ⌒BD=CD;4、在⊙O中,AD是直径,AB、AC是它的两条弦,且AD平分∠BAC,那么:① AB=AC;②A

④ AD⊥BC。以上结论中正确的有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

5、如图所示,在△ABC中,∠A=70°,⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等,则∠BOC等于( )

A.140° B.135° C.130° D.125°

第6题 第7题 第8题

AB=2⌒CD,则弦AB

和弦CD的关系是( ) 6、如图,在⊙O中,⌒

A. AB>2CD

B. AB<2CD C. AB=2CD D. 无法确定

7、如图,在条件:①∠COA=∠AOD=60°;②AC=AD=OA;③点E分别是AO、CD的中点;④OA⊥CD且 ∠ACO=60°中,能推出四边形OCAD是菱形的条件有 个。

8、如图所示,在⊙O中,弦AB>CD,OM⊥AB,ON⊥CD,M、N为垂足,那么OM、ON的关系是( )

A. OM>ON B. OM=ON C. OM<ON D. 无法确定

9、如图所示,已知AB为⊙O的弦,从圆上任一点引弦CD⊥AB,作∠OCD的平分线交⊙O于点P,连续PA、PB。求证:PA=PB

10、如图所示,M、N为AB、CD的中点,且AB=CD。求证:∠AMN=∠CNM

⌒N于点B,试求⌒BN的度数 11、如图,MO⊥NO,过MN的中点A作AB∥ON,交M

7

【课本相关知识点】

1、顶点在上,且两边

2、圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的

3、圆周角定理推论1:半圆(或直径)所对的圆周角是;90°的圆周角所对的弦是5、圆周角定理推论2:在同圆或等圆中,的也相等

【典型例题】

【题型一】圆周角定理的应用

例1、△ABC为⊙O的内接三角形,∠BOC=100°,求∠BAC的度数。

【题型二】圆周角定理推论的应用

例1、如图所示,点A、B、C、D在圆上,AB=8,BC=6,AC=10,CD=4,求AD的长。

例2、如图所示,A、B、C三点在⊙O上,CE是⊙O的直径,CD⊥AB于点D。

(1)求证:∠ACD=∠BCE;(2)延长CD交⊙O于点F,连接AE、BF,求证:AE=BF

【题型三】应用圆周角知识解决实际生活问题

例1、将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上,使点C在半圆上,点A、B的读数分别为86°,30°,则∠ACB的大小为

8

例2、现需测量一井盖(圆形)的直径,但只有一把角尺(尺的两边互相垂直,一边有刻度,且两边长度都长于井盖半径).请配合图形、文字说明测量方案,写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)

图形1 图形2

解法一:如图(1),把角尺顶点A放在井盖边缘,记角尺一边与井盖边缘交于点B,另一边交于点C(若角尺另一边无法达到井盖的边上,把角尺当直尺用,延长另一边与井盖边缘交于点C),度量BC长即为直径;

解法二:如图(2),把角尺当直尺用,量出AB的长度,取AB中点C,然后把角尺顶点与C点重合,有一边与CB重合,让另一边与井盖边缘交于D点,延长DC交井盖边于E,度量DE长度即为直径;

巩 固 练 习

1、图中圆周角有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

第3题 第1题 第2题

2

、如图,正方形ABCD

内接于⊙O,点P在

AB上,则∠DPC = . 第4题 第5题

3、如图,已知EF是⊙O的直径,把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上,斜边AB与⊙O交于点P,点B

与点O重合,将三角板ABC沿OE方向平移,使得点B

与点E重合为止.设∠POF=x°,则x的取值范围是(

A.30°≤x≤60° B.30°≤x≤90°

C.30°≤x≤120°

D.60°≤x≤120°

4、如图,PB交⊙O于点A、B,PD交⊙O于点C、D,已知⌒DQ的度数为42°,⌒BQ度数为38°,则∠P+∠Q=

5、如图,AB是⊙O的直径,C, D, E都是⊙O上的点,则∠1+∠2 = .

6、如图,AB是⊙O的直径,AD=DE,AE与BD交于点C,则图中与∠BCE相等的角有( )

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

第7题 第8题

7、已知,如图,AB为⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E,∠BAC=45°。给出下列

AE是⌒DE的2倍;④ AE=BC。其中正确结论的序号是 四个结论:① ∠EBC=22.5°;② BD=DC;③ ⌒

8、如图,⊙O的半径为1cm,弦AB、CD,1cm,则弦AC、BD所夹的锐角为

9

9、如图,AB, AC 是⊙O的两条弦,且AB=AC.延长CA到点D.使AD=AC, 连结DB并延长,交⊙O于点E.求证:CE是⊙O的直径.

10、如图,在⊙O中AB是直径, CD是弦,AB⊥CD.

?上一点(不与C, D重合)(1)P是CAD.求证:∠CPD=∠COB;

(2)点P’在劣弧CD上(不与C , D重合)时,∠CPD与∠COD有什么数量关系?请证明你的结论.

/

11、(1)如图(1)已知,已知△ABC是等边三角形,以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E.求证:△ODE是等边三角形;

(2)如图(2)若∠A=60°,AB≠AC,则(1)的结论是否成立?如果成立,请给出证明,如果不成立,请说明理由.

12、如图所示,直径AB、CD互相垂直,P是OC的中点,过点P的弦MN∥AB,

试判断∠MBC与∠MBA的大小关系。

13、如图,AB为⊙O的直径,弦DA、BC的延长线相交于点P,且BC=PC,求证: ??CD? (1)AB=AP (2)BC

10

【课本相关知识点】

1、弧长公式:在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l

2、在弧长公式中,有33个变量。我们只需要记住一个公式即可。(有些老师要求它的另外两个变形公式都要记住,其实完全没有必要)

3、扇形面积公式1:半径为R,圆心角为n°的扇形面积为3个变量: ,已知其中任意两个,都可以求出第3个变量。我们中需要记住一个公式即可。

4、扇形面积公式2:半径为R,弧长为l的扇形面积为5、求阴影部分面积一般遵循“四步曲”,即:一套,二分,三补,四换 一套:直接套用基本几何图形面积公式计算;二分:将其分割成规则图形面积的和或差;三补:用补形法拼凑成规则图形计算;四换:将图形等积变换后计算。 【典型例题】

【题型一】静止图形的弧长计算与运动图形的弧长计算

【例1】、如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,以C为圆心,CA交AB于点D。若AC=6,求?AD的长

【例2】、如图,菱形ABCD中,AB=2,∠C=60°,菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚,每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作,则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为

【题型二】求阴影部分的面积问题

【例1】、如图,在矩形ABCD中,AD=2AB=2,以B为圆心,以BA为半径作圆弧,交CB的延长线于点E,连接DE。求图中阴影部分的面积。

【例2】、如图所示,分别以n边形的顶点为圆心,以单位1为半径画圆,则图中阴影部分的面积之和为 A1

例2

A H O C B O1 H1 C1 例3

【例3】、如上图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=2,O、H分别为边AB、AC的中点,将△

ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1B1C1的位置,则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为( )

A.

11

7π?

3B.4π 3C.π

D

.4π 3

【例4】、如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm,其中水面高0.3cm,求截面上有水部分的面积。

【题型三】用弧长及扇形面积公式解决实际问题

【例1】、当汽车在雨天行驶时,为了看清楚道路,司机要启动前方挡风玻璃上的

雨刷器。如图是某汽车的一个雨刷器的示意图,雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固

定连接(不能转动),当杆AB绕A点转动90°时,雨刷CD扫过的面积是多少呢?

小明仔细观察了雨刷器的转动情况,量得CD=80cm、∠DBA=20°,端点C、D与点

A的距离分别为115cm、35cm.他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了

结果。也请你算一算雨刷CD扫过的面积为

2

巩 固 练 习

1、如果一条弧长等于1πr,它的半径是r,那么这条弧所对的圆心角度数为4

2、如果一条弧长为l,它的半径为R,这条弧所对的圆心角增加1°,则它的弧长增加

23、扇形的弧长为20cm,半径为5cm

,则其面积为 cm

24、一个扇形的弧长是20πcm,面积是240πcm,那么扇形的圆心角是

5、图中4个正方形的边长都相等,其中阴影部分面积相等的图形个数是( )

A.0 B.2 C.3 D.4

6、如图所示,扇形AOB的圆心角为90°,分别以OA、OB为直径在扇形内作半圆,P和Q分别表示两个阴影部分的面积,那么P和Q的大小关系是

第6题

第7题 第8题 7、如图,AB=12,C、D是以AB为直径的半圆上的三等分点,则图中阴影部分面积为

8、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,分别以AC、BC为直径画半圆,则图中阴影部分的面积为 (结果保留π)(到了初中阶段,其实即使不说,结果也要保留π,这是一个基本常识)

12

9、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=2.将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置,B,A,C′三点共线,则线段BC扫过的区域面积为

第9题

第10题

10、(2013年温州中考题)在△ABC中,∠C为锐角,分别以AB,AC为直径作半圆,过点B,A,C作如图所示,若AB=4,AC=2,S1?S2?

A. , ?4,则S3?S4的值是( ) 29?23?11?5? B. C. D. 4444

?,交AB于点E,11、如图,⊙O的半径为R,AB与CD是⊙O的两条互相垂直的直径,以B为圆心,BC为半径为CD

求圆中阴影部分的面积。

12、如图,已知矩形ABCD中,BC=2AB,以B为圆心,BC为半径的圆交AD于E,交BA的延长线于F ,设AB=1,求阴影部分的面积.

13、如图,在△ABC中,已知AB=4cm,∠B=30°,∠C=45°,若以A为圆心,AC长为半径作弧,交AB于点E,交BC于点F。

?的长 (2)求CF的长

(1)求CE

13

【课本相关知识点】 1、圆锥可以看做是直角三角形绕旋转一周所成的图形。旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。另一条直角边旋转而成的面叫做 。圆锥的 和 的和叫做圆锥的全面积(或表面积)。

2、沿圆锥的母线把圆锥剪开并展平,可得圆锥的侧面展开图是一个圆锥的侧面积等于这个扇形的面积,3、圆锥的侧面积:4、圆锥的母线长l,高h,底面圆半径r满足关系式5、已知圆锥的底面圆半径r和母线长l,那么圆锥的侧面展开图的圆心角为6、圆锥的侧面展开图的圆心角x的取值范围为

【典型例题】

【题型一】与圆锥有关的计算(主要是算面积)

【例1】如图所示,在△ABC中,∠BAC=30°,AC=2a,BC=b,以AB所在直线为轴旋转一周得到一个几何体,则这个几何体的全面积是( )

A. 2πa B. πab C. 3πa2+πab D. πa(2a+b)

【例2】如图,有一圆心角为120°,半径长为6cm的扇形,若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面,那么圆锥的高是( )

cm B. C. D. 【例3】如图,在纸上剪下一个圆形和一个扇形纸片,使之恰好能够围成一个圆锥模型,若圆的半径为r,扇形的半径为R,扇形的圆心角等于120°(如图),则r与R之间的关系是

例3 例1 例2

【题型二】与圆锥有关的方案设计题

【例1】在一个边长为a的正方形材料上截取一扇形,围成母线长为a的圆锥

(1)试设计两种不同的截法(要求每一种截法尽量减少浪费的材料),并把截法在图上表示出来

(2)分别求出(1)中两种不同截法所得的圆锥底面的半径和高

(3)(1)中哪一种截法所得的圆锥侧面积较大?

(1) (2)

14

【题型三】与圆锥有关的最短距离问题

【例1】如图,圆锥底面半径为r,母线长为3r,底面圆周上有一蚂蚁位于A点,它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点,请你给它指出一条爬行最短的路径,并求出最短路径。

巩 固 练 习

1、一个圆锥形零件的底面半径为4,母线长为12,那么这个零件侧面展开图的圆心角为2、一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则该圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角等于

3、如图,扇形OAB是圆锥的侧面展开图,若小正方形方格的边长为1cm,则这个圆锥的底面半径为

第3题 第5题 第4题

4、如图所示是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图,那么围成这个灯罩的铁皮的面积为

5、如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯,纸杯开口圆的直径EF长为10cm,母线OE(OF)长为10cm.在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣,且FA=2cm,一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点,则此蚂蚁爬行的最短距离 cm.

6、如图所示,有一直径为1m的圆形铁皮,要从中剪出一个圆心角为90°的最大扇形ABC

(1)求被剪后阴影部分的面积

(2)用所得的扇形铁皮围成一个小圆锥,则该圆锥的底面半径是多少?

15

16

第三章 《圆的基本性质》的知识点及典型例题

知识框图

圆的相关证明

1、过一点可作 上任意一点为圆心即可。过三点可作 个圆。过四点可作 个圆。

2、垂径定理:垂直于弦的直径,并且平分

垂径定理的逆定理1:平分弦( )的直径垂直于弦,并且平分

垂径定理的逆定理2:平分弧的直径

3、圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的,所对的圆心角定理的逆定理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等,那么 都相等。

注解:在由“弦相等,得出弧相等”或由“弦心距相等,得出弧相等”时,这里的“弧相等”是指对应的劣弧与

⌒B,那么所求的是弧长 劣弧相等,优弧与优弧相等。在题目中,若让你求A

4、圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的

圆周角定理推论1:半圆(或直径)所对的圆周角是 ;90°的圆周角所对的弦是

圆周角定理推论2:在同圆或等圆中, 所对的圆周角相等;相等的圆周角所对 的也相等

5、拓展一下:圆内接四边形的对角之和为6、弧长公式:在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l

17

7、扇形面积公式1:半径为R,圆心角为n°的扇形面积为3个变量: ,已知其中任意两个,都可以求出第3个变量。我们中需要记住一个公式即可。

扇形面积公式2:半径为R,弧长为l的扇形面积为

8、沿圆锥的母线把圆锥剪开并展平,可得圆锥的侧面展开图是一个圆锥的侧面积等于这个扇形的面积,其半径等于圆锥的 ,弧长等于圆锥的

9、圆锥的侧面积:10、圆锥的母线长l,高h,底面圆半径r满足关系式11、已知圆锥的底面圆半径r和母线长l,那么圆锥的侧面展开图的圆心角为12、圆锥的侧面展开图的圆心角x的取值范围为

考点一、与圆相关的命题的说法正确的个数,绝大多数是选择题,也有少部分是填空题(填序号)

考点二、求旋转图形中某一点移动的距离,这就要利用弧长公式

考点三、求半径、弦长、弦心距,这就要利用勾股定理和垂径定理及逆定理

考点四、求圆心角、圆周角

考点五、求阴影部分的面积

考点六、证明线段、角度、弧度之间的数量关系;证明多边形的具体形状

考点七、利用不在同一直线上的三点确定一个圆的作图题

考点八、方案设计题,求最大扇形面积

考点九、将圆锥展开,求最近距离

练习

一、选择题

1、下列命题中:① 任意三点确定一个圆;②圆的两条平行弦所夹的弧相等;③ 任意一个三角形有且仅有一个外接圆;④ 平分弦的直径垂直于弦;⑤ 直径是圆中最长的弦,半径不是弦。正确的个数是( )

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

AB?BO 的路径运动一周.设OP为s,运动时间2、如图,AB是半圆O的直径,点P从点O出发,沿OA??

为t,则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是( )

A. B. C. D.

3、如图所示,在△ABC中,∠BAC=30°,AC=2a,BC=b,以AB所在直线为轴旋转一周得到一个几何体,则这个几何体的全面积是( )

A. 2π

a

B. πab C. 3πa2+πab D. πa(2a+b)

4、如图,有一圆心角为120°,半径长为6cm的扇形,若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面,那么圆锥的高是( ) cm B.

O C. D.

第3题 第4题 18

5、如图所示,长方形ABCD中,以A为圆心,AD长为半径画弧,交AB于E点。取BC的中点为F,过F作

于G点。求?AGF=( ) 一直线与AB平行,且交

(A) 110? (B) 120? (C) 135? (D) 150? 。

第5题 第6题 第7题 第8题

6、如图,AB

是⊙O的直径,AD=DE,AE与

BD交于点C,则图中与∠BCE

相等的角有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

7、如图,弧BD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周, P为弧BD上任意一点,若AC=5,则四边形ACBP周长的最大值是( )

A. 15 B. 20 C.15+.15+8、如图,已知⊙O的半径为5,点到弦的距离为3,则⊙O上到弦A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

所在直线的距离为2的点有( )

9、如图,C为⊙O直径AB上一动点,过点C的直线交⊙O于D、E两点,且∠ACD=45°,DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时,设AF=x,DE=y,下列中图象中,能表示y与x的函数关系式的图象大致是

AB

A B C D

10、如图5,AB是⊙O的直径,且AB=10,弦MN的长为8,若弦MN的两端在圆上滑动时,始终与AB相交,

记点A、B到MN的距离分别为h1,h2,则|h1-h2| 等于( ) A、5 B、6 C、7 D、8

11、如上图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=2,O、H分别为边AB、AC的中点,将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1B1C1的位置,则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为( ) A

7A.π?

3

4B.π

3C.π

4

D.π

3

1

H A

O

C B

O1

H1 C1

19

12、(2013年温州中考题)在△ABC中,∠C为锐角,分别以AB,AC为直径作半圆,过点B,A,C作如图所示,若AB=4,AC=2,S1?S2?A.

?

4

,则S3?S4的值是( )

29?23?11?5?

B. C. D. 4444

的外接圆, .

A

B

二、填空题

1、如图,⊙O是等腰三角形

2、如图,

为⊙O的直径,

,连结

第1题

为⊙O的直径,点

第2题 在⊙O上,

第3题 ,则

第4题

3、如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,OD⊥AC于点D,连结BD、BC。 AB=5,AC=4,则?上一点,若∠CEA=28,则∠ABD= 4、如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,E为BC

?

°.

5、在半径为5cm的圆中,两条平行弦的长度分别为6cm和8cm,则这两条弦之间的距离为 6、在半径为1的⊙O中,弦AB、AC

,则∠BAC的度数为__________________

7、如图,扇形OAB是圆锥的侧面展开图,若小正方形方格的边长为1cm,则这个圆锥的底面半径为

第7题 第9题 第8题

8、如图所示是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图,那么围成这个灯罩的铁皮的面积为 9、如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯,纸杯开口圆的直径EF长为10cm,母线OE(OF)长为10cm.在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣,且FA=2cm,一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A

点,则此蚂蚁爬行的最短距离 cm.

10、如图,AB是⊙O的直径,弦CD∥AB.若?ABD?65°,则?ADC?

A B

第11题 O

(第10

11、如图, AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠BAC=30°,点P在线段OB上运动. 设∠ACP=x,则x的取值范围是 12、、如图,AB是⊙O的直径,C、D、E是⊙O上的点,则?1??2?

20

B

第12题

13、以半圆O的一条弦BC(非直径)为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D。若AD=4,DB=6,那么AC的长为14、如图,菱形ABCD中,AB=2,∠C=60°,菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚,每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作,则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为

第13题 第14题 第15题

15、当汽车在雨天行驶时,为了看清楚道路,司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。如图是某汽车的一个雨刷器的示意图,雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固定连接(不能转动),当杆AB绕A点转动90°时,雨刷CD扫过的面积是多少呢?小明仔细观察了雨刷器的转动情况,量得CD=80cm、∠DBA=20°,端点C、D与点A的距离分别为115cm、35cm.他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果。也请你算一算雨刷CD扫过的面积为 2 cm(π取3.14)

三、解答题

1、如图所示,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E在⊙O上。

(1)若∠AOD=52°,求∠DEB的度数;

(2)若OA=5,OC=3,求AB的长

2、如图,在一个横截面为Rt△ABC的物体中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=1米.工人师傅先将AB边放在地面(直线l)上。

(1)请直接写出AB,AC的长;

(2)工人师傅要把此物体搬到墙边(如图),先按顺时针方向绕点B翻转到△A1BC1位置(BC1在l上),最后沿BC1的方向平移到△A2B2C2的位置,其平移的距离为线段AC的长度(此时A2C2恰好靠在墙边),画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径,并求出该路径的长度。

(3)若没有墙,像(2)那样翻转,将△ABC按顺时针方向绕点B翻转到△A1BC1位置为第一次翻转,又将△A1BC1按顺时针方向绕点C1翻转到△A2B1C1(A2C1在l上)为第二次翻转,求两次翻转此物的整个过程点A经过路径的长度.

21

3、如图,要把破残的圆片复制完整,已知弧上的三点A、B、C。

(1)用尺规作图法,找出弧ABC所在圆的圆心O(保留作图痕迹,不写作法);

(2)设△ABC是等腰三角形,底边BC=8,AB=5,求圆片的半径

R

4、如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AC=BC,D为⊙O中?AB上一点,延长DA至点E,使CE=CD.

(1)求证:AE=BD (2)若AC⊥BC,求证:

5、已知一个圆锥的高

,侧面展开图是半圆,求:

(1)圆锥的母线长与底面半径之比;

(2)锥角的大小(锥角为过圆锥高的平面上两母线的夹角);

(3)圆锥的全面积.

6、如图,AB为⊙O的直径,CD为弦,且CD⊥AB,垂足为H

(1)如果⊙O的半径为4,

,求AC的长

(2)若点E为为ADB⌒的中点,连接OE、CE,求证:CE平分∠OCD

(3)在(1)的条件下,圆周上到直线AC的距离为3的点有多少个?并说明理由。

22

?7、①、如下图所示,点P在⊙O外,过点P作两射线,分别与⊙O相交于点A、B、C、D,猜想?AB的度数、CD

的度数与∠P之间的数量关系,并进行证明。

?的度数与∠APC之间的数量关系,并进行证明。 AC的度数、BD②、当点P在圆内时,猜想?

图(1) 图(2)

文字叙述:顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半;

顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其对顶角所截弧度数和的一半。

23

1、如图,AD是⊙O的直径.

(1) 如图①,垂直于AD的两条弦B1C1,B2C2把圆周4等分,则∠B1的度数是 ,∠B2的度数

是 ;

(2) 如图②,垂直于AD的三条弦B1C1,B2C2,B3C3把圆周6等分,分别求∠B1,∠B2,∠B3的度数;

(3) 如图③,垂直于AD的n条弦B1C1,B2C2,B3 C3,?,BnCn把圆周2n等分,请你用含n的代数式表示

∠Bn的度数(只需直接写出答案).

BC2 -2 B 图③ 图①

图②

2、如图9,在平面直角坐标系中,以点为圆心,2为半径作圆,交轴于两点,开口向下的抛物线经过点,且其顶点在⊙C上.

(1)求的大小;

(2)写出两点的坐标;

(3)试确定此抛物线的解析式;

(4)在该抛物线上是否存在一点,使线段请说明理由.

与互相平分?若存在,求出点的坐标;若不存在,

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