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2012广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题(word精校版)

发布时间:2013-11-05 11:40:04  

2012学年广州市高二年级学生学业水平测试

数 学

一、选择题

1. 已知全集U?{1,2,3,4,5},集合A?{1,3},则CUA?( )

A.? B. {1,3} C. {2,4,5} D. {1,2,3,4,5}

2. 已知点P(3,?4)是角?终边上一点,则tan??( ) 4334A.? B. ? C. D. 4334

3. 若直线y?ax?3与直线y??2x?a垂直,则实数a的值为( )

11A.?2 B. 2 C. ? D. 22

4. 要用一根铁丝焊接围成一个面积为9的矩形框,不考虑焊接损耗,则需要铁丝的长度至少为( )

A.24 B. 12 C. 6 D. 3

5. 如图,在边长为2的正方形ABCD内随机取一点P,分别以A、B、C、D为圆

心,1为半径作圆,在正方形ABCD内的四段圆弧所围成的封闭区域记为M(阴

影部分),则点P取自区域M的概率为( ) ????A. B. C. 1? D. 1? 2442

6. 某几何体的三视图(均为直角三角形)及其尺寸如图所示,则该几何体的体积为( ) 111A. B. C. D. 1 632

27.

函数f(x)?的零点所在的区间为( ) x

?1??1?A.?0,? B. ?,1? C. ?2??2??3??3? D. 1,???,2? ?2??2?

?1?8. 已知等差数列{an}的首项为4,公差为4,其前n项和为Sn,则数列??的前n项和为( ) ?Sn?

A.n122n B. C. D. 2(n?1)2n(n?1)n(n?1)n?1

????????CD?( ) 9. 在长方形ABCD中,AB?2,AD?1,则AC?

A.?2 B. 2 C. 4 D. ?4

1

10. 设函数f(x)的定义域为R,若存在与x无关的正常数M,使f(x)?Mx对一切实数x恒成立,

则称f(x)为有界泛函. 则下面四个函数中,属于有界泛函的是( )

x

2

x?x?2

A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④

①f(x)?1 ②f(x)?x2 ③f(x)?2xsinx ④f(x)?

二、填空题

11. 已知幂函数f(x)?

x?的图象经过点,则函数f(x)的

定义域为 .

111

12. 如图给出的是计算S?1????

?23n

程序结束时,n的值为 .

13. 已知?ABC的三个顶点坐标分别是A(2,4,0),B(2,0,3),

C(2,2,z),若?C?90?,则z的值为 .

x?3??

14. 设实数x,y满足?x?y?2?0,则x2?y2的取值范围是.

?x?y?4?0?

三、解答题

15. 在平面直角坐标系xOy中,已知A(3,1),C(1,0). (1)求以点C为圆心,且经过点A的圆C的标准方程;

(2)若直线l的方程为x?2y?9?0,判断直线l与(1)中圆C的位置关系,并说明理由.

16. 已知函数f(x)?sinx?x,x?R.

??6????

(1)求函数f(x)的最小正周期; (2)若f?????,???0,?,求

3?5??2?

2

???

f?2???的值.

3??

17. 对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取N名学生作为样本,得到这N名学

生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:

(1)求出表中N,p及图中a的值; 次数

(2)在所给样本中,从参加社区服务的次数不少于9次的学生中任选2人,求至少有一人参加社区服务次数在区间[12,15]内的概率.

18. 如图,AB是?O的直径,点C是?O圆周上不同于A、B的任意一点,PA?平面ABC,点E是

AB上,且MO//AC. 线段PB的中点,点M在?

(1)求证:BC?平面PAC; (2)求证:平面EMO//平面PAC.

3

19. 已知数列{an}满足a1?1,an?1?an???2n(n?N*,?为常数),且a1,a2?2,a3成等差数列.

n29(1)求?的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)设数列{bn}满足bn?,求证:bn?. an?316

20. 设a为常数,a?R,函数f(x)?x2?|x?a|?1(x?R).

(1)若函数f(x)为偶函数,求实数a的值; (2)求函数f(x)的最小值.

4

参考答案

一、选择题

1-5 CADBC 6-10 BDADB

二、填空题

+?? 12. 2012 13. 4或﹣1 14.[8,34] 11. ?0,

三、解答题

15.解:(1)依题意可设圆C的标准方程为:?x?1?2??y?0??r2

222因为圆C经过A点,将A点坐标代入标准方程,即?3?1???1?0??

r2,得r?所以圆C的标准方程为:?x?1??y2?5

(2)圆心C到直线l

的距离d?

16.(1)

?1?f(x)?sinx?x?2??sinx?x??2???2???r,故直线l与圆C相离。

????

?2??cossinx?sincosx? 33??

??? =2sin?x??3??

所以T?2??2? 1

?????63??(2)∵f?????2sin??????2sin??,即sin?? 3?33?55??

4???又∵???0,?,∴cos??? 5?2?

?????4348???f?2????2sin?2?????2sin2??2?2sin?cos??2?2??? 3335525????

17.(1) N?2?0.05?40 n?N?10?4??24?0?10?4? 2

p?n?N? 6 组距=6﹣3=3 ∴a?p?3?0.20 24?40?0.

(2)设在区间[9,12)的四名同学的名称为A1,A2,A3,A4;区间[12,15]的两名同学的名称为B1,B2

5

在不低于9次的同学共有以上6人,任选2人的情况有:{A1,A2};{A1,A3};{A1,A4};{A1,B1};{A1,B2};

{A2,A3};{A2,A4};{A2,B1};{A2,B2};{A3,A4};{A3,B1};{A3,B2};{A4,B1};{A4,B2};{B1,B2}共15种情况,其中至少有一人在区间[12,15]的同学有:{A1,B1};{A1,B2};{A2,A3};;{A2,B1};{A2,B2};{A3,B1};{A3,B2};{A4,B1};{A4,B2};{B1,B2}共9种情况, 故P=9÷15=0.6

18.(1)证明:∵PA?平面ABC,BC?平面ABC ∴PA?BC

∵AB是圆O的直径,且C在圆周上, ∴?ACB=90?,即AC?BC

又∵PA?AC=A,∴BC?平面PAC

(2)∵点O是圆心点,即是AB线段的中点,且点E是PB线段的中点 ∴EO是?PAB的中位线,即 EO//PA 又∵EO??平面PAC,∴EO//平面PAC

∵MO//AC,且MO??平面PAC,∴MO//平面PAC 又∵EO?平面EOM,MO?平面EOM,且EO?MO=O ∴平面EOM//平面PAC

19.(1)∵a1,a2+2,a3成等差数列,∴2?a2+2?=a1+a3(1)

∵an+1=an+??2nn?N?,那么a2=a1+2?(2) a3=a2+4?(3) 将(2),(3)代入(1),得

2a2+4=a1+a2+4??a2+4=a1+4?

?a1+2?+4=a1+4??2?+4=4??2?=4??=2

∴将??=2代入an+1=an+??2n,得an+1=an+2n+1,即an+1?an?2n+1

?a2?a1?22 a3?a2?23 a4?a3?24 ?? an?an?1?2n

以上列等式的左边叠加得a2?a1?a3?a2?a4?a3??? an?an?1?an?a1

6

以上列等式的右边叠加得22?23?24???2n?22?1?2n?1?

1?2?2n?1?4

即an?a1?2n?1?4,又∵a1?1,∴an?2n?1?4?a1?2n?1?3 检验知a1?21?1?3?1也成立,故通项公式为an?2n?1?4?a1?2n?1?3

n2n2n2

?n?1?n?1?0 (2)∵bn?an?32?3?32

?n?1?2n?1?n?1?bn?1?n?1?n2

??n?1?1?n?1?n?1?1?2?bn222n2n2

222221?n?1?1?n?1?1?1? ????????1? ??222?n?2?n?n2

1?1?∵???1?在n?N?上单调递减, 2?n?2

b1?1?且当n?2时,???1??1,即n?1?1,∴b1?b2?b3 2?n?bn

b1?1?当n?3时,???1??1,即n?1?1,∴b3?b4?b5?? 2?n?bn22

329可知数列?bn?中b3为最大项,而b3?3?1?, 162

∴bn?

9 16

20.(1)因为f(x)是偶函数,所以f(x)?f(?x) 即x2?x?a?1???x???x?a?1 整理得x?a??x?a,即x?a?x?a,两边都平方,得 x2?2ax?a2?x2?2ax?a2,再次整理得4ax?0 2因为x?0不恒成立,故a?0

(2)本题关键在于如何去掉绝对值的影响,由题意知

2??1?3??x????a,x?a2?2?4?x?x?a?1,x?a??f(x)??2,则f(x)?? 2?1?3?x?x?a?1,x?a??x????a,x?a??2?4??

7

(1)当a?1时,f(x)在区间[a,??)上单调递增,其最小值为f(a)?a2?1 2

?1?3f????a ?2?41??1?? 在区间???,?上单调递减,在?,a?上单调递增, 其最小值为2??2??

1?1??1??3? f(a)?f???a2?1???a??a2?a???a???0 4?2??2??4?2

?1?3 所以f(x)在R上的最小值为f????a ?2?4

(2)当?11?a?时,f(x)在区间[a,??)上单调递增,其最小值为f(a)?a2?1 22

在区间???,a?上单调递减,其取值范围为?f(a),???, 即f(x)在R上的最小值为f(a)?a2?1 又因为?1115?a?,所以1?f(a)?a2?1??1? 2244

1?1??1?(3)当a??,f(x)在区间?a,??上单调递减,在??,???上单调递增, 2?2??2?

?1?3 其最小值为f?????a ?2?4

f(x)在区间???,a?上单调递减,其取值范围为?f(a),???,

31??1?? 其中f(a)?a2?1 又因为f????f(a)??a??a2?1????a???0, 42??2??2

?1?3 即f?????a为最小值 ?2?4

综上所述,

13时,f?x?min??a 24

11(2)当??a?时,f(x)min?a2?1 22

13(3)当a??,f?x?min??a 24当(1)当a?

8

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